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文档简介
甘肃省兰州大学附中2024年高考冲刺模拟数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.22.已知,复数,,且为实数,则()A. B. C.3 D.-33.两圆和相外切,且,则的最大值为()A. B.9 C. D.14.已知函数在上单调递增,则的取值范围()A. B. C. D.5.若为虚数单位,则复数,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.若圆锥轴截面面积为,母线与底面所成角为60°,则体积为()A. B. C. D.7.如果实数满足条件,那么的最大值为()A. B. C. D.8.在棱长为a的正方体中,E、F、M分别是AB、AD、的中点,又P、Q分别在线段、上,且,设平面平面,则下列结论中不成立的是()A.平面 B.C.当时,平面 D.当m变化时,直线l的位置不变9.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.10.在中,,,,点,分别在线段,上,且,,则().A. B. C.4 D.911.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为()A. B.C. D.12.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中的系数为,则_______.14.能说明“若对于任意的都成立,则在上是减函数”为假命题的一个函数是________.15.在中,,点是边的中点,则__________,________.16.函数的极大值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆上有一动点,点的坐标为,四边形为平行四边形,线段的垂直平分线交于点.(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点作直线与曲线交于两点,点的坐标为,直线与轴分别交于两点,求证:线段的中点为定点,并求出面积的最大值.18.(12分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.(1)求椭圆的方程;(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.19.(12分)已知函数(,),.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知a,b∈R,设函数f(x)=(I)若b=0,求f(x)的单调区间:(II)当x∈[0,+∞)时,f(x)的最小值为0,求a+5b的最大值.注:21.(12分)在平面四边形(图①)中,与均为直角三角形且有公共斜边,设,∠,∠,将沿折起,构成如图②所示的三棱锥,且使=.(1)求证:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线交于点,将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.(1)求曲线的参数方程;(2)求面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.2、B【解析】
把和代入再由复数代数形式的乘法运算化简,利用虚部为0求得m值.【详解】因为为实数,所以,解得.【点睛】本题考查复数的概念,考查运算求解能力.3、A【解析】
由两圆相外切,得出,结合二次函数的性质,即可得出答案.【详解】因为两圆和相外切所以,即当时,取最大值故选:A【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数,属于中档题.4、B【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.5、B【解析】
首先根据特殊角的三角函数值将复数化为,求出,再利用复数的几何意义即可求解.【详解】,,则在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.故选:B【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值,属于基础题.6、D【解析】
设圆锥底面圆的半径为,由轴截面面积为可得半径,再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为,由已知,,解得,所以圆锥的体积.故选:D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算,涉及到圆锥的定义,是一道容易题.7、B【解析】
解:当直线过点时,最大,故选B8、C【解析】
根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.【详解】因为,所以,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以,所以,因为面面,所以.选项A、D显然成立;因为,平面,所以平面,因为平面,所以,所以B项成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直线与不垂直,所以C项不成立.故选:C【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.9、C【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.10、B【解析】
根据题意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得结果.【详解】根据题意,,则在中,又,则则则则故选:B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算,掌握基本概念和公式即可解决,属于简单题目.11、D【解析】
当时,函数周期为,画出函数图像,如图所示,方程两个不同实根,即函数和有图像两个交点,计算,,根据图像得到答案.【详解】当时,,故函数周期为,画出函数图像,如图所示:方程,即,即函数和有两个交点.,,故,,,,.根据图像知:.故选:.【点睛】本题考查了函数的零点问题,确定函数周期画出函数图像是解题的关键.12、D【解析】
用诱导公式和二倍角公式计算.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
首先求出的展开项中的系数,然后根据系数为即可求出的取值.【详解】由题知,当时有,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数,属于简单题.14、答案不唯一,如【解析】
根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数.【详解】由题意,不妨设,则在都成立,但是在是单调递增的,在是单调递减的,说明原命题是假命题.所以本题答案为,答案不唯一,符合条件即可.【点睛】本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解,关键是假设出一个在上不是单调递减的函数,再检验是否满足命题中的条件,属基础题.15、2【解析】
根据正弦定理直接求出,利用三角形的边表示向量,然后利用向量的数量积求解即可.【详解】中,,,可得因为点是边的中点,所以故答案为:;.【点睛】本题主要考查了三角形的解法,向量的数量积的应用,考查计算能力,属于中档题.16、【解析】
对函数求导,根据函数单调性,即可容易求得函数的极大值.【详解】依题意,得.所以当时,;当时,.所以当时,函数有极大值.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质,考查运算求解能力以及化归转化思想,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】
(Ⅰ)先画出图形,结合垂直平分线和平行四边形性质可得为一定值,,故可确定点轨迹为椭圆(),进而求解;(Ⅱ)设直线方程为,点坐标分别为,联立直线与椭圆方程得,,分别由点斜式求得直线KA的方程为,令得,同理得,由结合韦达定理即可求解,而,当重合交于点时,可求最值;【详解】(Ⅰ),所以点的轨迹是一个椭圆,且长轴长,半焦距,所以,轨迹的方程为.(Ⅱ)当直线的斜率为0时,与曲线无交点.当直线的斜率不为0时,设过点的直线方程为,点坐标分别为.直线与椭圆方程联立得消去,得.则,.直线KA的方程为.令得.同理可得.所以.所以的中点为.不妨设点在点的上方,则.【点睛】本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程,椭圆中的定点定值问题,属于中档题18、(1)(2)【解析】
(1)由已知条件列出关于和的方程,并计算出和的值,jike得到椭圆的方程.(2)设出点和点坐标,运用点坐标计算出,分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,求解出的最小值.【详解】(1)由己知得:,解得,所以,椭圆的方程(2)设,.当直线垂直于轴时,,且此时,,当直线不垂直于轴时,设直线由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值为【点睛】本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系,求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解,需要掌握解题方法,并且有一定的计算量.19、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求导得到,讨论和两种情况,得到答案.(Ⅱ)变换得到,设,求,令,故在单调递增,存在使得,,计算得到答案.【详解】(Ⅰ)(),当时,在单调递减,在单调递增;当时,在单调递增,在单调递减.(Ⅱ)(),即,().令(),则,令,,故在单调递增,注意到,,于是存在使得,可知在单调递增,在单调递减.∴.综上知,.【点睛】本题考查了函数的单调性,恒成立问题,意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.20、(I)详见解析;(II)2【解析】
(I)求导得到f'(x)=ex-a,讨论a≤0(II)f12=e-12a-5【详解】(I)f(x)=ex-ax当a≤0时,f'(x)=e当a>0时,f'(x)=ex-a=0,x=lna当x∈lna,+∞时,综上所述:a≤0时,fx在R上单调递增;a>0时,fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=现在证明存在a,b,a+5b=2e取a=3e4,b=f'(x)=ex-a-故当x∈0,+∞上时,x2+1f'x在x∈0,+∞上单调递增,故fx在0,12上单调递减,在1综上所述:a+5b的最大值为【点睛】本题考查了函数单调性,函数的最值问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)取AB的中点O,连接,证得,从而证得C′O⊥平面ABD,再结合面面垂直的判定定理,即可证得平面⊥平面;(2)以O为原点,AB,OC所在的直线为y轴,z轴,建立的空间直角坐标系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.【详解】(1)取AB的中点O,连接,,在Rt△和Rt△ADB中,AB=2,则=DO=1,又C′D=,所以,即⊥OD,又⊥AB,且AB∩OD=O,平面ABD,所以⊥平面ABD,又C′O⊂平面,所以平面⊥平面DAB(2)以O为原点,AB,OC所在的直线为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C′(0,0,1),,所以,,,设平面的法向量为=(),则,即,代入坐标得,令,得,,所以,设平面的法向量为=(),则,即,代入坐标得,令,得,,所以,所以,所以二面角A-C′D-B的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明,以及空间角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.22、(1)(为参数);(2).【解析】
(1)根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程;(2)将曲线的方程化为普通方程,然后化为极坐标方程,设点的极坐标为,点的极坐标为,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程,得出和
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