人教版九年级数学上册《题中无圆-心中有圆-“圆”来很完美》构造辅助圆解几何问题教学设计

PAGEPAGE7题中无圆，心中有圆，“圆”来很完美——构造辅助圆解几何问题学情分析：学生已经进行了第一轮复习，掌握了初中阶段的基本数学知识和基本技能以及基本解决问题的能力，对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多.学生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视角研究,简化证明过程.初步形成构造辅助圆的意识.设计意图：对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形，而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下，更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，利用辅助圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特.教学目标：1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决几何问题，进而掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法；3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质，形成几何直观.教学重点：利用辅助圆解决有关问题教学难点：建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件教学过程：情景引入：一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?理论依据：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上我们今天来学习构造辅助圆解决几何题：题中无圆，心中有圆，“圆”来很完美.一、利用圆的定义来构造辅助圆定义：圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合例1：如图,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25∘,∠CAD=75∘，则∠BDC=______度，∠DBC=_______度.变式：如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2,则BD的长为_______解：四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BDC=∠DBF，∴BC=DF=1，在RtΔBDF中，BF=2AB=4，DF=1，∴BD=．解题策略：利用圆的定义构造圆（圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合）纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结构，如图所示，即共端点的三条等线段，它让我们联想到“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”.建立模型：遇等线（共端点），作辅圆拓展训练：1.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-2,0），B(0,3)，在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共有________个．【答案】8解题策略：在解决这类等腰三角形问题时，通常要分三种情况讨论：求作某边等于已知边（线段）时，以已知线段的一端点为圆心，以线段长为半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；求作另某边等于已知边（线段）时，以另一端点为圆心，以线段长为半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；使已知线段为底边，未知两边为两腰时，作已知线段的垂直平分线，在垂直平分线上找符合题意的点.方法归纳：两圆一线建立模型：遇等线（共端点），作辅圆变式1.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-3,0），B(0,3)，在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共有个．变式2.在平面直角坐标系xoy中，已知点，在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共有________个．二、利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆理论依据：90°的圆周角所对弦是直径例2：如图，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上,AB=2,BC=4,（1）若∠APE的顶点P在线段BD上移动,使∠APE为直角的点P的个数是()A．0B.1C．2D．3（2）若P可以在平面内任意移动，且∠APE仍为直角，你能在图中找到到距离点D最近的P吗？变式（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A． B．2 C． D．解析：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选：B．解题策略：通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最小距离问题，实质利是用90°的圆周角所对弦是直径，巧妙构造圆后求线段最值.建立模型：由直角（三角形），作辅圆三、利用“四点共圆”构造辅助圆理论依据：对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上例3如图，四边形ABCD为矩形，BE平分∠ABC，交AD于点F，∠AEC=90°.(1)A、B、C、E四点共圆吗？(2)求∠ACE的度数；(3)求证：BE⊥ED.解：（1）A、B、C、E四点共圆.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.又∵∠AEC=90°，∴∠ABC+∠AEC=180°.∴A、B、C、D四点共圆.（2）∵∠ABC=90°，BE平分∠ABC，∴∠ABE=45°.∴∠ACE=∠ABE=45°.（3）证明：连接BD.∵四边形ABCD是矩形，∴A、B、C、D四点共圆，并且BD是直径.又∵A、B、C、E四点共圆，∴A、B、C、D、E五点共圆.∴∠BED为直角，即BE⊥ED.建立模型：由（四边形对角）互补，作辅圆四、感悟小结1．数学方法：构造辅助圆（1）当遇有公共端点的等线段时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.（2）当遇有直角三角形时，通常以斜边为直径，利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆.（3）当四边形中出现对角互补时，利用四点共圆构造辅助圆.2.数学思想：建模思想、转化思想、分类讨论思想3.深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”，一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！那么构造隐圆的方法还有哪些？比如：定弦定角构造圆、圆幂定理构造圆等，在后面的课程中将继续完善这个话题.五、课后思考：1.已知AB=AC=AD,∠DAC=30°，∠BAC=80°，则∠CBD的度数为.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠CBD=∠CAD=15°2．（2018北京一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）A． B． C． D．4解析：如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB=4，∴OA=OB=OE′=2，∵BC=6，∴OC===2，则CE′=OC﹣OE′=2﹣2，故选：B．3.（2017江西）已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A′的坐标为____________．图1图2图3图1图2图3答案：（，3）或（，1）或（，－2），解析：根据题意，点A′的坐标存在以下三种情况：①如图1，当A′M：A′N=1:3时，又MN=4，所以A′M=1，A′N=3，因为OA′=OA=4，在Rt△OA′N中，ON==，所以点A′的坐标为（，3）；②如图②，当A′M：A′N=3:1时，又MN=4，所以A′M=3，A′N=1，因为OA′=OA=4，在Rt△OA′N中，ON==，所以点A′的坐标为（，1）；③如图③，当A′M：A′N=3:1时，即（A′N+4）：A′N=3:1，解得A′N=2，在Rt△OA′N中，ON==，所以点A′的坐标为（，－2）.4.（2013呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(-6，0)，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为.【答案】(0，12)或(0，-12)解析：（1）如图1，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5,则易知△PAB为等腰直角三角形，∠BAP=90°，PA=PB=,以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=∠BPA=45°,即点C即为所求.过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1在Rt△PFC中，PF=1，PC＝，由勾股定理得：∴OC=OF+CF=5+7=12，∴点C的坐标为（0，12）（2）如图2，在第三象限可参照（1）作同样的操作，同理求得y轴负半轴上的点C的坐标为（0，－