上海市上海中学导数及其应用多选题试题含答案

上海市上海中学导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若时，，则的最小值为【答案】ABC【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A．，解得，所以A正确；对于B．，当时，，当时，或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．2．函数，则下列说法正确的是（）A． B．C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则【答案】BD【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D．【详解】由得：令得，当x变化时，变化如下表：x0单调递增极大值单调递减故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，，A．，故A错B．，且在单调递增，故：B正确C．有两个不相等的零点不妨设要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……①令，则当时，在单调递增，即：这与①矛盾，故C错D．设，且均为正数，则且，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．3．关于函数，下列判断正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则【答案】BD【分析】对于A，利用导数研究函数的极值点即可；对于B，利用导数判断函数的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C，参变分离得到，构造函数，利用导数判断函数的最小值的情况；对于D，利用的单调性，由得到，令，由得，所以要证，即证，构造函数即得．【详解】A：函数的定义域为，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A错误．B：，，所以函数在上单调递减．又，，所以函数有且只有1个零点，故B正确．C：若，即，则．令，则．令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数，使得恒成立，故C错误．D：因为在上单调递减，在上单调递增，∴是的极小值点．∵对任意两个正实数，，且，若，则．令，则，由，得，∴，即，即，解得，，所以．故要证，需证，需证，需证．∵，则，∴证．令，，，所以在上是增函数．因为时，，则，所以在上是增函数．因为时，，则，所以，∴，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A、B的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D选项结论.4．对于定义域为的函数，为的导函数，若同时满足：①；②当且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论．【详解】条件①；由选项可得：，，，，即ABCD都符合；条件②，或；即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；对于，则，由可得，，即函数单调递增；由可得，，即函数单调递减；满足条件②；对于，则显然恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足条件②；对于，当时，显然单调递减；当时，显然单调递增；满足条件②；对于，当时，显然单调递减；当时，显然单调递增，满足条件②；因此ACD满足条件②；条件③当且时，，都有，即，对于，，因为，当且仅当，即时，等号成立，又，所以，则令，，所以在上显然恒成立，因此在上单调递增，所以，即，所以满足条件③；对于，，令，，则在上显然恒成立，所以，则，即满足条件③；对于，，令，，则在上显然恒成立，所以，则，即满足条件③；综上，ACD选项是“偏对称函数”，故选：ACD.【点睛】思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）5．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（）A．若，则函数没有极值B．若，则函数有极值C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是【答案】ABD【分析】先对进行求导，再对进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数的定义域为，且，当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，∴有且只有一个零点，当时，在上，，单调递减，在上，，单调递增，当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，当x趋近于0时，趋近于，趋近于，当x趋近于时，趋近于，当，即时，有且只有一个零点；当，即时，有且仅有两个零点，综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6．对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时，，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；由函数在上单调递减，可得，由于，则，因为，所以，即，所以，所以C正确；由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，即，解得，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．7．在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（）A．是偶函数，是奇函数；B．在上为减函数，在上为增函数；C．在上恒成立；D．函数的最大值为.【答案】ACD【分析】依据三角函数的基本概念可知，，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据辅助角公式知，再利用三角函数求值域可判断C；对于D，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，，，对于A，函数是偶函数，是奇函数，故A正确；对于B，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数在上为减函数，函数在为增函数，在为减函数，故B错误；对于C，当时，，故C正确；对于D，函数，求导，令，则；令，则，函数在和上单调递增，在上单调递减，当即，时，函数取得极大值，又当即，时，，所以函数取得最大值，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.8．已知实数a，b，c，d满足，其中e是自然对数的底数，则的值可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BCD【分析】由题中所给的等式，分别构造