2022年吉林省长春市农安县合隆中学高一数学文月考试题含解析

2022年吉林省长春市农安县合隆中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则的值为()．

参考答案：B略2.如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是（

）A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC参考答案：C【分析】由平面，得，再由，得到平面，进而得到，即可判断出结果.【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面，即平面，得，A正确；又为圆上异于的任一点，所以，平面，，B，D均正确.故选C.【点睛】本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.3.下面是一个求10个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为(

)

A.

i>10

B.

i<10

C.i>=10

D.i<=10

参考答案：A略4.已知，用表示是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.由函数的图象得到的图象，需要将的图象(A)向左平移个单位

（B)向右平移个单位(C)向左平移个单位

（D)向右平移个单位参考答案：A6.若，则的取值范围是

（

）、

、

、

、参考答案：C7.（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的零点是（） A． （1，0） B． （2，0） C． 1 D． 2参考答案：D考点： 函数的零点；函数零点的判定定理．专题： 函数的性质及应用．分析： 直接利用求方程的根确定函数的零点，然后解对数方程求得结果．解答： 令log2（x﹣1）=0解得：x=2所以函数的零点为：2故选：D点评： 本题考查的知识要点：函数的零点问题，即方程的根，对数方程的解法，属于基础题型．8.已知是奇函数,则的可能值为

参考答案：C9.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称B．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．若方程f（x）=m在[﹣，0]上有两个不相等的实数根，则实数m∈（﹣2，﹣]D．将函数f（x）的图象向左平移个单位可得到一个偶函数参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；再利用正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2?+φ=π，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．当x=﹣时，f（x）=0，不是最值，故函数f（x）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除A；当x=﹣时，f（x）=﹣2，是最值，故函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称，故排除B；在[﹣，0]上，2x+∈[﹣，]，方程f（x）=m在[﹣，0]上有两个不相等的实数根，则实数m∈（﹣2，﹣]，故C正确；将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得y=2sin（2x++）=﹣sin2x的图象，故所得函数为奇函数，故排除D，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度参考答案：C【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解：∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列中，如果，，那么等于

．参考答案：812.已知一个扇形周长为4，面积为1，则其中心角等于

(弧度)参考答案：213.如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若?=2，?=4，则BC的长度为．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，然后由求解，则答案可求．【解答】解：∵?=2，且?====，得，∴．∴=13﹣4=9．∴．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．14.已知矩形的周长为16，矩形绕它的一条边旋转360°形成一个圆柱的侧面积的最大值为__________．参考答案：32π【分析】利用矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式即可得出．【详解】如图所示，设矩形的长与宽分别为，．则，即．，当且仅当时取等号．解得．旋转形成的圆柱的侧面积．旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查了基本不等式求最值、圆柱的侧面积计算公式，属于基础题．15.在区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为．参考答案：1﹣考点：几何概型．

专题：概率与统计．分析：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），对应区域为边长为2的正方形，而使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的a，b范围是判别式△≥0，求出a，b满足范围，利用面积比求概率．解答：解：设区间[﹣1，1]内随机取两个数分别记为（a，b），则对应区域面积为2×2=4，使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点a，b范围为4a2+4b2﹣4≥0，即a2+b2≥1，对应区域面积为4﹣π，由几何概型的概率公式得到使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+1有零点的概率为：；故答案为：1﹣．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的区域面积，利用公式解答．16.计算：__________．参考答案：－1．

17.已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则

，

参考答案：2

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．（1）将利润表示为产量的函数；（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利润函数G（x）=销售收入函数F（x）﹣成本函数R（x），x是产品售出的数量（产量），代入解析式即可；（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值．【解答】解：（1）依题意，得：利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣x2+4.75x﹣0.5

（其中0≤x≤5）；（2）利润函数G（x）=﹣x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5），当x=4.75时，G（x）有最大值；所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．【点评】本题在正确理解利润函数的基础上，运用二次函数的性质，解决实际应用问题，属于基础题．19.已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设圆心为（）．由于圆与直线相切，且半径为，所以，即．因为为整数，故．故所求圆的方程为．…………………4分

（Ⅲ）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为的方程为，即由于垂直平分弦AB，故圆心必在上，ks5u所以，解得。由于，故存在实数使得过点的直线垂直平分弦AB………14分

略20.已知函数．（1）写出该函数的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围；（3）若f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数n的取值范围．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数恒成立问题．【分析】（1）x≤0的图象部分可由图象变换作出；x＞0的部分为抛物线的一部分．（2）数形结合法：转化为直线y=m与函数f（x）的图象有三个交点．（3）将f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立，转化为[f（x）]max≤n2﹣2bn+1即n2﹣2bn≥0在b∈[﹣1，1]恒成立，从而建立关于n的不等关系，求出n的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的图象如右图；函数f（x）的单调递减区间是（0，1）单调增区间是（﹣∞，0）及（1，+∞）…（2）作出直线y=m，函数g（x）=f（x）﹣m恰有3个不同零点等价于函数y=m与函数f（x）的图象恰有三个不同公共点．由函数又f（0）=1f（1）=∴…（3）∵f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立∴[f（x）]max≤n2﹣2bn+1，[f（x）]max=f（1）=1∴n2﹣2bn+1≥1即n2﹣2bn≥0在b∈[﹣1，1]恒成立∴y=﹣2nb+n2在b∈[﹣1，1]恒大于等于0

…∴，∴∴n的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）…21.已知函数.（Ⅰ）当时，判断函数的奇偶性并证明；（Ⅱ）讨论的零点个数.参考答案：解法一：（Ⅰ）当时，函数，该函数为奇函数.……………1分证明如下:依题意得函数的定义域为R，…………………2分又…………………3分…………………4分……………………5分所以，函数为奇函数。（Ⅱ）因为……………6分所以，…………7分.因为函数在上单调递增且值域为……8分所以，在上单调递减且值域为……10分所以，当或时，函数无零点；………11分当时，函数有唯一零点.………………12分解法二：（Ⅰ）当时，函数，该函数为奇函数.……1分证明如下:依题意有函数定义域为R，…………2分又………3分=

………4分即.…………5分所以，函数为奇函数.（Ⅱ）问题等价于讨论方程=0的解的个数。由，得…………………6分当时，得，即方程无解；……………………7分当时，得，…