3.1.2 椭圆的简单几何性质 教案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质教案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容为人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2节椭圆的简单几何性质。主要内容包括椭圆的标准方程、焦点、准线、离心率等基本概念及其性质。

本节课与学生已有知识联系紧密，学生在初中阶段已经学习了圆的基本性质，对圆的方程、圆心、半径等概念有了一定的了解。椭圆作为圆的特殊形式，其性质与圆的性质有相似之处，同时也存在一些差异。通过本节课的学习，学生可以更好地理解椭圆的基本性质，为后续学习椭圆的进阶知识打下基础。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。通过学习椭圆的标准方程，学生可以培养数学抽象能力，将实际问题抽象为数学模型；通过研究椭圆的焦点、准线、离心率等概念，学生可以锻炼逻辑推理能力，从已知信息推出未知结论；通过椭圆性质的推导和证明，学生可以提升数学建模能力，运用数学语言描述和解释现实世界的现象；通过计算椭圆的参数，学生可以增强数学运算能力，熟练运用数学公式解决实际问题。

此外，本节课还注重培养学生的合作探究能力和创新意识。通过小组讨论、问题解决等环节，学生可以学会与他人合作，共同解决问题；通过探索椭圆性质的新方法和新思路，学生可以激发创新意识，培养创造性思维。学情分析本节课的授课对象为高一学生，他们在初中阶段已经接触过一些圆的基本性质，对圆的方程、圆心、半径等概念有了一定的了解。然而，椭圆作为圆的特殊形式，其性质与圆的性质存在一定的差异，这对学生来说是一个新的挑战。

在知识层面，学生已经掌握了函数、方程等基础知识，对函数的概念、性质和图像有一定的了解。然而，椭圆的标准方程、焦点、准线、离心率等概念对于他们来说可能较为抽象，需要教师进行详细的讲解和例题的演示。

在能力层面，学生具备一定的逻辑推理能力和数学运算能力，能够理解和运用基本的数学概念和公式。然而，椭圆性质的推导和证明需要更高的逻辑思维能力和数学建模能力，这可能是学生的一个难点。

在素质层面，学生具有一定的自主学习能力和合作探究能力，能够积极参与课堂讨论和小组活动。然而，对于一些抽象的数学概念，学生可能需要更多的引导和启发，以帮助他们更好地理解和掌握。

在行为习惯方面，学生的学习态度和课堂纪律对课程学习产生重要影响。积极的学习态度和良好的课堂纪律有助于学生更好地吸收知识，提高学习效果。然而，对于一些复杂的概念和证明，学生可能容易感到困惑和沮丧，需要教师及时给予鼓励和指导。教学方法与策略1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：本节课将采用讲授法为主，辅以讨论法、案例研究法和项目导向学习法。讲授法可以系统地介绍椭圆的标准方程、焦点、准线、离心率等基本概念和性质，帮助学生建立完整的知识体系。讨论法可以激发学生的思考，促进学生之间的交流和合作，加深对知识的理解。案例研究法和项目导向学习法可以让学生通过实际问题来运用和巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。

2.设计具体的教学活动：本节课将设计以下教学活动：

-角色扮演：学生分组扮演椭圆的焦点和准线，通过对话和互动，让学生更深入地理解焦点和准线的性质和作用。

-实验：学生通过实验来验证椭圆的离心率的计算方法，加深对离心率概念的理解。

-游戏：设计一个椭圆性质的游戏，让学生在游戏中学习和巩固椭圆的性质，提高学习的趣味性。

3.确定教学媒体和资源的使用：本节课将使用以下教学媒体和资源：

-PPT：制作精美的PPT，展示椭圆的标准方程、焦点、准线、离心率等概念的图像和公式，帮助学生更好地理解和记忆。

-视频：提供一些关于椭圆性质的短视频，帮助学生更深入地了解椭圆的性质。

-在线工具：使用在线工具来演示椭圆的性质和计算方法，提高学生的参与度和互动性。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

在导入新课时，我会通过一个生活中的实际问题来引发学生的兴趣。例如，我会提出一个问题：“为什么行星的轨道是椭圆形的，而不是圆形的？”这个问题会激发学生的好奇心，引出椭圆的概念。接着，我会展示一些椭圆的图片，让学生直观地感受椭圆的形状，为接下来的讲解打下基础。

2.新课讲授（用时15分钟）

首先，我会讲解椭圆的标准方程，通过PPT展示椭圆的图像和方程，让学生了解椭圆的基本形式。接着，我会介绍椭圆的焦点和准线，通过具体的例子和公式，让学生理解焦点和准线的概念及其计算方法。最后，我会讲解椭圆的离心率，通过演示和解释，让学生了解离心率的定义和计算方法。

3.实践活动（用时10分钟）

首先，我会组织学生进行一个角色扮演的活动，让学生通过扮演椭圆的焦点和准线，更深入地理解焦点和准线的性质和作用。接着，我会安排学生进行一个实验，通过实验来验证椭圆的离心率的计算方法，加深对离心率概念的理解。最后，我会设计一个椭圆性质的游戏，让学生在游戏中学习和巩固椭圆的性质，提高学习的趣味性。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

我会组织学生分成小组，让他们就以下三个问题进行讨论：椭圆的焦点和准线有什么区别和联系？椭圆的离心率是如何计算的？椭圆的性质有哪些应用？学生可以互相交流观点，分享自己的理解和思考。

5.总结回顾（用时5分钟）

最后，我会对本节课的内容进行总结回顾，强调椭圆的标准方程、焦点、准线、离心率等概念的重要性和应用。同时，我会鼓励学生继续深入学习椭圆的知识，探索更多的性质和应用。知识点梳理1.椭圆的标准方程

-椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

-其中，\(a\)为椭圆的半长轴，\(b\)为椭圆的半短轴。

2.椭圆的焦点

-椭圆的焦点位于椭圆的长轴上，且位于长轴的两个端点处。

-焦点到椭圆上任一点的距离相等，且等于椭圆的长轴长度的两倍。

-焦点的坐标为\((±c,0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。

3.椭圆的准线

-椭圆的准线是两条平行于长轴且距离长轴一定距离的直线。

-准线的方程为\[x=±\frac{a^2}{c}\]。

-准线与椭圆不相交，椭圆上的点到准线的距离等于到焦点的距离。

4.椭圆的离心率

-椭圆的离心率定义为\(e=\frac{c}{a}\)。

-椭圆的离心率是一个无理数，其取值范围在\(0<e<1\)。

-离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆越扁平。

5.椭圆的性质

-椭圆上的点到焦点的距离之和为椭圆的长轴长度。

-椭圆上的点到焦点的距离之差为椭圆的短轴长度。

-椭圆的面积为\(\piab\)。

7.椭圆的参数方程

-椭圆的参数方程为\[x=a\cos\theta,y=b\sin\theta\]，其中\(\theta\)为参数。

-通过参数方程，可以表示椭圆上的任意一点。

8.椭圆的性质应用

-椭圆在物理、天文、工程等领域有广泛的应用。

-例如，椭圆的性质可以用来描述行星的轨道、卫星的运行轨迹等。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了椭圆的标准方程、焦点、准线、离心率等基本概念和性质。通过学习，我们了解到椭圆是圆的一种特殊形式，其形状由半长轴和半短轴决定。我们学会了如何根据椭圆的标准方程计算其焦点和准线，以及如何根据焦点和准线计算椭圆的离心率。我们还了解了椭圆的一些重要性质，如椭圆上的点到焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，以及椭圆的面积公式。

当堂检测：

1.请写出椭圆的标准方程，并解释其含义。

2.请说出椭圆的焦点和准线的坐标，并解释其性质。

3.请计算椭圆的离心率，并解释其意义。

4.请举例说明椭圆的一些重要性质。

5.请根据椭圆的性质，解释为什么行星的轨道是椭圆形的，而不是圆形的。

6.请计算椭圆的面积，并解释其计算方法。

7.请用椭圆的参数方程表示椭圆上的任意一点。

8.请说出椭圆在实际生活中的应用，并解释其意义。板书设计①椭圆的标准方程：\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

②椭圆的焦点：\[(±c,0)\]，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)

③椭圆的准线：\[x=±\frac{a^2}{c}\]

④椭圆的离心率：\[e=\frac{c}{a}\]

⑤椭圆的性质：椭圆上的点到焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，椭圆的面积为\(\piab\)

⑥椭圆的参数方程：\[x=a\cos\theta,y=b\sin\theta\]

⑦椭圆的性质应用：椭圆在物理、天文、工程等领域有广泛的应用。

在板书设计上，我会尽量使用简洁明了的语言和符号，使学生容易理解和记忆。同时，我会注重板书的艺术性和趣味性，以激发学生的学习兴趣和主动性。例如，我会使用颜色鲜艳的粉笔，以及适当的图表和图像来展示椭圆的性质和应用。此外，我还会设计一些有趣的练习题和问题，让学生在课堂上积极参与讨论和思考，提高他们的学习积极性。典型例题讲解1.例题一：计算椭圆的焦点坐标

椭圆的方程为\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]，其中\(a>b\)，求椭圆的焦点坐标。

解：由椭圆的焦点性质可知，椭圆的焦点坐标为\((±c,0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。因此，椭圆的焦点坐标为\((±\sqrt{a^2-b^2},0)\)。

答案：椭圆的焦点坐标为\((±\sqrt{a^2-b^2},0)\)。

2.例题二：计算椭圆的离心率

椭圆的方程为\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]，其中\(a>b\)，求椭圆的离心率。

解：由椭圆的离心率定义可知，椭圆的离心率\(e\)为\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。因此，椭圆的离心率为\(e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)。

答案：椭圆的离心率为\(e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)。

3.例题三：计算椭圆的面积

椭圆的方程为\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]，其中\(a>b\)，求椭圆的面积。

解：由椭圆的面积公式可知，椭圆的面积为\(\piab\)。因此，椭圆的面积为\(\pi\timesa\timesb\)。

答案：椭圆的面积为\(\pi\timesa\timesb\)。

4.例题四：求椭圆的参数方程

椭圆的方程为\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]，其中\(a>b\)，求椭圆的参数方程。

解：由椭圆的参数方程可知，椭圆的参数方程为\[x=a\cos\theta,y=b\sin\theta\]，其中\(\theta\)为参数。

答案：椭圆的参数方程为\[x=a\cos\theta,y=b\sin\theta\]。

5.例题五：判断椭圆的扁平程度

椭圆的方程为\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]，其中\(a>b\)，判断椭圆的扁平程度。

解：由椭圆的离心率可知，椭圆的扁平程度由离心率\(e\)决定。当\(e\)越大，椭圆越扁平。因此，根据椭圆的离心率公式\(e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)，我们可以判断椭圆的扁平程度。

答案：椭圆的扁平程度由离心率\(e\)决定，当\(e\)越大，椭圆越扁平。教学反思与改进在本节课的教学过程中，我尝试采用了讲授法、讨论法、案例研究法和项目导向学习法等多种教学方法，以期提高学生的学习兴趣和参与度。然而，在教学过程中，我注意到学生在理解和掌握椭圆的焦点、准线、离心率等概念时仍存在一定的困难。学生在计算椭圆的参数方程和应用椭圆的性质解决实际问题时，也暴露出一些问题。

针对以上问题，我计划在未来的教学中采取以下改进措施：

1.在讲授椭圆的焦点、准线、离心率等概念时，可以增加更多的实际例子和图像，以帮助学生更好地理解和记忆。同时，可以通过更多的练习题来巩固学生的知识。

2.在教授椭圆