2.4.3向量与夹角(1)教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.4.3向量与夹角(1)教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：向量与夹角

2.教学年级和班级：2023-2024学年高二（1）班

3.授课时间：2023年3月15日

4.教学时数：1课时（45分钟）教学目标分析1.知识与技能：使学生理解向量的概念，掌握向量与夹角的关系，能够运用向量解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例分析，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生的探究精神，培养学生的团队合作意识。重点难点及解决办法重点：

1.向量的概念及其表示方法。

2.向量与夹角的关系及其应用。

3.向量运算的性质和法则。

难点：

1.向量夹角的计算方法及应用。

2.向量数量积的定义及其应用。

3.向量与坐标的关系及其应用。

解决办法：

1.通过实例引入，帮助学生理解向量的概念及其表示方法。

2.通过几何直观和代数运算，帮助学生掌握向量与夹角的关系。

3.通过练习和例题讲解，帮助学生熟悉向量运算的性质和法则。

4.通过分组讨论和互动，帮助学生解决向量夹角的计算方法及应用问题。

5.通过几何直观和坐标系，帮助学生理解向量数量积的定义及其应用。

6.通过实例分析和练习，帮助学生掌握向量与坐标的关系及其应用。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，即湘教版（2019）选择性必修第二册。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，包括向量的表示方法、向量与夹角的关系、向量运算的性质和法则等。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性，包括向量夹角测量仪、向量运算演示工具等。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。在教室的前方设置黑板或投影仪，方便展示教材内容和辅助材料。在教室的两侧设置展示板，供学生分组讨论和展示实验结果。在教室的中央设置实验操作台，供学生进行实验操作。

5.教学软件：准备相应的教学软件，如几何画板、向量计算器等，帮助学生直观地理解向量的概念和运算。

6.网络资源：收集与教学内容相关的网络资源，如向量知识讲解视频、向量应用实例等，供学生课后学习和拓展。

7.学习资料：准备与教学内容相关的学习资料，如向量习题集、向量应用案例等，供学生课后练习和应用。

8.教师备课资料：教师需提前准备备课资料，包括教材、辅助材料、实验器材、教学软件等，确保教学内容的准确性和完整性。

9.学生学习资料：提前为学生准备好学习资料，包括教材、辅助材料、学习资料等，确保学生能够及时了解和掌握教学内容。

10.教学反馈：准备相应的教学反馈工具，如学习进度表、学生反馈表等，及时了解学生的学习情况和反馈意见，调整教学方法和策略。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

2.新课讲授（用时20分钟）

（1）向量的概念及其表示方法（用时5分钟）

（2）向量与夹角的关系及其应用（用时10分钟）

（3）向量运算的性质和法则（用时5分钟）

讲解向量运算的性质和法则，如向量加法、向量减法、向量数乘、向量点乘、向量叉乘等。通过实例分析和练习，帮助学生熟悉向量运算的性质和法则。

3.实践活动（用时10分钟）

（1）向量夹角的计算方法及应用（用时5分钟）

分组让学生使用向量夹角测量仪，测量不同向量之间的夹角，并计算出夹角的度数。通过实践，让学生理解和掌握向量夹角的计算方法及其应用。

（2）向量数量积的定义及其应用（用时5分钟）

让学生通过实例分析，理解向量数量积的定义及其应用，如计算两个向量的乘积、向量的长度等。通过练习，帮助学生掌握向量数量积的定义及其应用。

（3）向量与坐标的关系及其应用（用时5分钟）

让学生通过坐标系，分析向量与坐标的关系，如向量的坐标表示、向量的长度和方向等。通过实例分析和练习，帮助学生掌握向量与坐标的关系及其应用。

4.学生小组讨论（用时5分钟）

分组讨论以下三个问题：

（1）向量夹角的计算方法及其在实际中的应用。

（2）向量数量积的定义及其在实际中的应用。

（3）向量与坐标的关系及其在实际中的应用。

每个小组讨论后，由小组代表进行汇报，其他小组进行评价和补充。

5.总结回顾（用时5分钟）

回顾本节课所学的内容，包括向量的概念、向量与夹角的关系、向量运算的性质和法则等。强调本节课的重难点，鼓励学生课后进行巩固和拓展。

总用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

（1）向量知识讲解视频，包括向量的概念、向量与夹角的关系、向量运算的性质和法则等。

（2）向量应用实例，如物理中的向量计算、工程中的向量应用等。

（3）向量软件的使用方法，如几何画板、向量计算器等。

（4）向量习题集，包括向量的概念、向量与夹角的关系、向量运算的性质和法则等。

（5）向量与坐标的关系及其应用的相关资料。

2.拓展建议：

（1）学生可以在课后观看向量知识讲解视频，加深对向量知识的理解。

（2）学生可以阅读向量应用实例，了解向量在实际中的应用。

（3）学生可以尝试使用向量软件，如几何画板、向量计算器等，进行向量的计算和作图。

（4）学生可以练习向量习题集，巩固向量的概念、向量与夹角的关系、向量运算的性质和法则等。

（5）学生可以阅读向量与坐标的关系及其应用的相关资料，了解向量与坐标的关系及其应用。

（6）学生可以参与线上向量学习社区，与其他学生一起讨论向量问题，分享学习经验。

（7）学生可以参加向量竞赛或挑战，提高自己的向量能力。

（8）学生可以尝试将向量知识应用到实际问题中，如物理、工程等，提高自己的应用能力。

（9）学生可以参加向量讲座或研讨会，与其他学生和教师一起学习向量知识。

（10）学生可以阅读向量相关的书籍，深入了解向量的概念、向量与夹角的关系、向量运算的性质和法则等。教学反思与改进1.设计反思活动

在教学后，我计划进行一系列的反思活动，以便评估教学效果并识别需要改进的地方。首先，我将与学生进行一对一的会谈，了解他们对本节课的理解程度和存在的问题。其次，我将收集学生的反馈，包括他们在课堂上的表现、对教学内容的掌握情况以及他们对教学方式的看法。此外，我还将观察学生的课堂表现，包括他们的参与度、提问情况和小组讨论的参与度。

2.制定改进措施

总的来说，我希望通过反思和改进，能够更好地帮助学生理解向量的概念和运算，提高他们的数学能力，并激发他们对数学的兴趣。板书设计1.向量概念及其表示方法

-向量定义

-向量表示

-向量运算

2.向量与夹角的关系

-向量夹角定义

-向量夹角计算

-向量夹角应用

3.向量运算的性质和法则

-向量加法

-向量减法

-向量数乘

-向量点乘

-向量叉乘

4.向量与坐标的关系

-向量坐标表示

-向量长度和方向

-向量与坐标应用课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.本节课我们学习了向量的概念及其表示方法，向量与夹角的关系，向量运算的性质和法则，以及向量与坐标的关系。

2.向量的概念及其表示方法是向量学习的基础，我们需要理解向量的定义和表示方式，掌握向量的基本运算。

3.向量与夹角的关系是我们学习向量的重要内容，我们需要掌握向量夹角的计算方法和应用，了解向量夹角在实际问题中的应用。

4.向量运算的性质和法则是我们学习向量运算的基础，我们需要熟练掌握向量加法、减法、数乘、点乘和叉乘的性质和法则，能够运用这些性质和法则解决实际问题。

5.向量与坐标的关系是我们学习向量在坐标系中的应用，我们需要了解向量在坐标系中的表示方式，掌握向量长度和方向的计算方法，能够运用向量与坐标的关系解决实际问题。

当堂检测：

1.向量的概念及其表示方法

（1）向量的定义是什么？

（2）向量如何表示？

（3）向量的基本运算有哪些？

2.向量与夹角的关系

（1）向量夹角的定义是什么？

（2）如何计算向量夹角？

（3）向量夹角在实际问题中的应用有哪些？

3.向量运算的性质和法则

（1）向量加法的性质和法则是什么？

（2）向量减法的性质和法则是什么？

（3）向量数乘的性质和法则是什么？

（4）向量点乘的性质和法则是什么？

（5）向量叉乘的性质和法则是什么？

4.向量与坐标的关系

（1）向量在坐标系中的表示方式是什么？

（2）如何计算向量的长度和方向？

（3）向量与坐标的关系在实际问题中的应用有哪些？

5.综合应用

（1）给定两个向量，求它们的夹角。

（2）给定一个向量和一个点，求向量在坐标系中的表示方式。

（3）给定一个向量和一个点，求向量在坐标系中的长度和方向。

（4）给定一个向量和一个点，求向量在坐标系中的坐标表示。典型例题讲解例题1：

已知两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，求它们的夹角\(\theta\)。

解：

根据向量夹角的定义，向量夹角\(\theta\)可以通过向量的点乘来计算：

\[

\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

\]

其中，\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)是向量的点乘，\(|\vec{a}|\)和\(|\vec{b}|\)分别是向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的模。

例题2：

已知两个向量\(\vec{a}=(2,3)\)和\(\vec{b}=(-1,2)\)，求它们的夹角\(\theta\)。

解：

首先，计算向量的点乘：

\[

\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times(-1)+3\times2=-2+6=4

\]

然后，计算向量的模：

\[

|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}

\]

\[

|\vec{b}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}

\]

最后，计算夹角\(\theta\)：

\[

\cos\theta=\frac{4}{\sqrt{13}\times\sqrt{5}}=\frac{4}{13\times5}=\frac{4}{65}

\]

所以，夹角\(\theta\)的度数为：

\[

\theta=\arccos\left(\frac{4}{65}\right)\approx56.06^\circ

\]

例题3：

已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，求向量\(\vec{a}+\vec{b}\)的坐标。

解：

向量的加法是分量的加法，所以向量\(\vec{a}+\vec{b}\)的坐标可以通过将向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的坐标对应分量相加得到：

\[

\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)

\]

例题4：

已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，求向量\(\vec{a}-\vec{b}\)的坐标。

解：

向量的减法是分量的减法，所以向量\(\vec{a}-\vec{b}\)的坐标可以通过将向量\(\vec{a}\)的坐标对应分量减去向量\(\vec{b}\)的坐标对应分量得到：

\[

\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y)

\]

例题5：

已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，求向量\(\