专题1.8二次根式材料阅读题大题提升训练（重难点培优30题）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题1.8二次根式材料阅读题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•诸暨市月考）请阅读下列材料：问题：已知x=5+2，求代数式x2﹣4x﹣小敏的做法是：根据x=5+2得（x﹣2）2＝∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x=5-2，求代数式x2+4x﹣（2）已知x=5-12，求代数式x3﹣2【分析】（1）原式配方变形后，将x的值代入计算即可求出值；（2）求出x2的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x=5-∴x+2=5则原式＝（x2+4x+4）﹣14＝（x+2）2﹣14＝（5）2﹣14＝5﹣14＝﹣9；（2）∵x=5∴x2＝（5-12）2则原式＝x（x2﹣2）+1=5-12×（=5=1-5＝﹣1+1＝0．2．（2021春•东阳市校级期中）先化简，再求值：a+1-2a+a2，其中a如图是小亮和小芳的解答过程．（1）小亮的解答过程是错误的；（2）错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：a2=-a（a＜0（3）先化简，再求值：m+2m2-6m+9，其中m＝﹣【分析】（1）根据图中的解答过程可以发现小亮的解答过程错误；（2）根据题意，可知不能正确运用二次根式的性质a2=-a（a＜（3）先化简，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）由图象中的解答过程可知：小亮的解答过程是错误，故答案为：小亮；（2）错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：a2=-a（a＜故答案为：a2=-a（a＜（3）m+2m＝m+2(m-3＝m+2|m﹣3|，当m＝﹣2021时，原式＝﹣2021+2×|﹣2021﹣3|＝﹣2021+2×2024＝﹣2021+4048＝2027，3．（2019秋•鹿城区校级期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以﹣1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′．现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．（1）若点A对应的数是﹣2，则点A′对应的数x＝4．若点B'对应的数是3+2，则点B对应的数y＝-3（2）在（1）的条件下，求代数式1x【分析】（1）由已知可得：（﹣2）×（﹣1）+2＝4，可得A′为4．设B为m，则﹣m+2＝2+3，解得m=-（2）将x＝4，y=-3【解答】解：（1）由已知可得：x＝（﹣2）×（﹣1）+2＝4，∴A'对应的数4；由题意﹣y+2＝2+3解得y=-3∴B对应的数-3（2）当x＝4，y=-3时，1x-(y+124．（2022秋•长安区期中）求代数式a+a2-2a+1的值，其中a小芳：解：原式＝a+(a-1)2=a+1﹣小亮：解：原式＝a+(a-1)2=a+a﹣（1）小亮的解法是错误的；（2）求代数式a+2a2-6a+9的值，其中a＝4【分析】（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2022，∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，∴(a-1)2=1∴小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；（2）∵a＝4-5∴a﹣3＝4-5-3＝1-∴(a-3)2=3则a+2a＝a+2(a-3＝a+2（3﹣a）＝6﹣a，当a＝4-5时，原式＝6﹣（4-5）＝25．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：问题：已知x=5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4xx2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x=5-2，求代数式x2+4x﹣（2）已知x=5-12，求代数式x3+x【分析】（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可；（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．【解答】解：（1）∵x=5-∴（x+2）2＝5，∴x2+4x+4＝5，∴x2+4x＝1，∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；（2）∵x=5∴x2＝（5-12）2则x3＝x•x2=5-1∴x3+x2+1=5-2+3-6．（2022秋•高明区月考）阅读下列解题过程：121314……请你参考上面的化简方法，解决如下问题：（1）计算：110（2）计算：（12+1+1（3）若a=12-5，求2a2+8【分析】（1）先分子和分母都乘以10-（2）根据已知算式得出规律，得出原式＝（2-1+3-2（3）求出a，再根据完全平方公式得出2a2+8a+1＝2（a+2）2﹣7，再代入求出答案即可．【解答】解：（1）1=10=10=10-（2）（12+1+1＝（2-1+3-2＝（2022-1）×（2022+＝（2022）2﹣12＝2022﹣1＝2021；（3）∵a=12-5∴2a2+8a+1＝2（a2+4a+4﹣4）+1＝2（a+2）2﹣8+1＝2×（﹣2-5+2）2＝2×（-5）2﹣＝2×5﹣7＝10﹣7＝3．7．（2020春•太湖县期末）阅读下面的材料并解决问题．121312+……（1）观察上式并填空：16+5=（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，1n+1+n=n+1（3）请利用（2）的结论计算：(1【分析】（1）分子、分母都乘以6-（2）分子、分母都乘以n+1-（3）括号内利用所得规律裂项相消，再乘以（2020+1【解答】解：（1）16故答案为：6-（2）1n+1故答案为：n+1-（3）原式=(2=(2020=(2020＝2020﹣1＝2019．8．（2019春•高新区期末）阅读材料：像（(5+2)、(5-2)=3、a⋅a=a（a≥0）、(b+1)(b-1)=b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如3与3，2例如：123=3解答下列问题（1）3-7与3+7互为有理化因式，将232分母有理化得（2）计算2-1（3）观察下面的变形规律并解决问题①12+1=2-1，13+2=3-2②计算：（12+1【分析】（1）根据互为有理化因式的定义和化简有理化因式的方法可解；（2）先把其中的二次根式中的分母有理化，再合并同类二次根式即可；（3）①利用分母有理化化简即可；②由①的结论化简第一个括号内的式子，然后利用平方差公式计算即可．【解答】解：（1）根据互为有理化因式的定义可知，3-7与3+723故答案为：3+7；2（2）2-＝2-＝2-＝2-故答案为2-7（3）①1故答案为：n+1-②（12+1＝（2-1+3-2＝（2019-1））×（2019+＝2019﹣1＝2018故原式的值为2018．9．（2018春•东湖区校级月考）小明在解决问题：“已知a=12+3，求2a2﹣8他是这样分析与解的：∵a=12+∴a﹣2=-3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）求13（2）若a=1①求4a2﹣8a+1的值；②直接写出代数式的值：a3﹣2a2+a﹣2＝22；2a2﹣5a+1a+2＝【分析】（1）根据题目中的例子，将题目中的式子分母有理化，然后计算即可求得所求式子的值；（2）①根据题目中的例子，将a的分母有理化，然后即可得到a﹣1的值和a2﹣2a的值，将所求式子变形即可解答本题；②将所求式子变形，再根据a2﹣2a的值，即可解答本题．【解答】解：（1）1=12×=12×（=12×（11=1＝5；（2）①∵a=12∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝4+1＝5；②∵由①知，a2﹣2a＝1，a﹣1=2∴a3﹣2a2+a﹣2＝a（a2﹣2a）+a﹣2＝a×1+a﹣2＝a+a﹣2＝2a﹣2＝2（a﹣1）＝2×＝22，2a2﹣5a+1=2=2a(=2a×1-1+1=2a-1+1=2a＝2，故答案为：22，2．10．（2021秋•龙海市校级期中）小明在解决问题：已知a=12+3，求2a2﹣8∵a=12+3∴a﹣2=-3∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）填空：111+10=11-10（2）计算：（12+1+1（3）若a=110-3，求2a2﹣12a【分析】（1）根据分母有理化法则计算；（2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，合并同类二次根式即可；（3）根据分母有理化把a的值化简，根据完全平方公式把原式化简，把化简后的a的值代入计算即可．【解答】解：（1）1111n故答案为：11-10；（2）原式＝（﹣1+2-2+＝（﹣1+2021）•（2021+＝2021﹣1＝2020．（3）∵a=1而2a2﹣12a﹣5＝2（a2﹣6a）﹣5＝2（a2﹣6a+9）﹣18﹣5＝2（a﹣3）2﹣23．∴2（a﹣3）2﹣23＝2（10+3﹣3）2﹣23＝﹣311．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2﹣8∵a=12+3=2-3(2+∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简12（2）比较6-5＞（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝4B题：若a=13-1，则4a2﹣43a+7＝【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；（2）先将16-5和17-6（3）A题：由a=2+1，可得a﹣1=2，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2aB题：由a=13-1，可得a=3+12，从而可得2【解答】解：（1）1=2=50=52（2）1617∵6+∴6-故答案为：＞；（3）A题：∵a=2+∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴a2﹣2a+3＝4，故答案为：4；B题：∵a=1∴a=3∴2a-3=∴(2a-3)即4a∴4a∴4a2﹣43a+7＝5，故答案为：5．12．（2021秋•洪江市期末）阅读并解答问题：121312+3=……上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：（1）将15（2）已知a=17+6，b=1（3）计算12【分析】（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算；（2）先利用平方差公式进行分母有理化计算，从而化简a和b的值，然后代入求值；（3）利用平方差公式进行分母有理化计算，然后通过观察数字变化的规律进行分析计算．【解答】解：（1）原式==5-（2）a=7b=7∴a+b=7-6（3）原式=2-1=2-1+3=100＝10﹣1＝9．13．（2021春•石城县期末）在二次根式中如：(2+3)(2-3)=1，(5+解决问题：（1）4-7的有理化因式可以是4+7，323分母有理化得（2）计算：①已知x=3+13-1，y=3②11+【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【解答】解：（1）4-7的有理化因式可以是4+32故答案为：4+7，3（2）①当x=3+13y=3-13x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2+3+2-3）2﹣2×（2+3＝16﹣2×1＝14．②原式=2-1+14．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样a+2b=(例如：3+22（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如23+1样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：2（1）化简“和谐二次根式”：①11+228=7+2；②7-43=（2）已知m=15+26，n=【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；（2）先根据阅读材料（一）化简m与n的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．【解答】（1）解：①11+228=②7-43=7-2故答案为：7+2；2-（2）解：∵m=15+26=∴m﹣n=3-2-（3m+n=3-2+（3∴m-nm+n15．（2022秋•永安市期中）在解决问题“已知a=12+3，求2a2﹣8∵a=∴a﹣2=-3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：35（2）若a=12+1，求2a2+4a【分析】（1）把分子分母都乘以（5+（2）先分母有理化得到a=2-1，再移项平方得到a2+2a＝1，接着把2a2+4a﹣1变形为2（a2+2a）﹣【解答】解：（1）35（2）∵a=12∴a+1=2∴（a+1）2＝2，即a2+2a+1＝2，∴a2+2a＝1，∴2a2+4a﹣1＝2（a2+2a）﹣1＝2×1﹣1＝1．16．（2022秋•仪征市期中）阅读下面材料，回答下列问题：构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决．材料：已知x=5+212分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x代入求值比较困难，观察x的值，发现x=5+212=-(-5)+(-5)2-4×1×12×1，对比一元二次方程求根公式x=-b±b2-4ac2a，不难发现x是方程x2﹣5x+1＝0的根，所以x2＝（1）以2，﹣3为根的方程可以是2（x﹣2）（x+3）＝0；（2）已知x=-6+（3）求代数式(1+【分析】（1）写出一个满足条件的方程即可；（2）x是方程x2+6（3）设x=1+1-4a2，知x是方程x2﹣x+a＝0的根，可得x2﹣x【解答】解：（1）以2，﹣3为根的方程可以是2（x﹣2）（x+3）＝0，故答案为：2（x﹣2）（x+3）＝0，（2）∵x=-∴x=-∴x是方程x2∴x2∴-=-x(x=-x⋅(-1)-x-6=-6（3）设x=1+∴(1+∵x=1+∴x是方程x2﹣x+a＝0的根，∴x2﹣x＝﹣a，∴x3﹣x2+ax﹣2＝x（x2﹣x）+ax﹣2＝﹣ax+ax﹣2＝﹣2．17．（2022秋•市中区期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：（2+1）（2-1）＝1，（3+2）（3-2）＝1，（4+3）（4-（1）根据上面的规律：①16+5=②3-23+2=（2）计算：（12+1+1（3）若a=12+1，则求a3﹣4a2﹣2【分析】（1）①根据平方差公式得出答案即可；②先分母有理化，再求出答案即可；（2）根据得出的规律进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后根据二次根式的乘法法则和平方差公式进行计算即可；（3）求出a的值，再求出a2的值，再代入多项式a3﹣4a2﹣2a+1，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）①16故答案为：6-②3=(=3-2＝5﹣26，故答案为：5﹣26；（2）（12+1+1＝（2-1+3-2+•••＝（2022-1）×（2022+＝（2022）2﹣12＝2022﹣1＝2021；（3）∵a=12∴a2＝（2-1）2＝2﹣22+1＝3﹣2∴a3﹣4a2﹣2a+1＝（3﹣22）×（2-1）﹣4×（3﹣22）﹣2×（2-1＝32-3﹣4+22-12+82-＝112-1618．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似ba的形式，我们把形如ba的式子称为根分式，例如32（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③a2（2）写出根分式x-1x-2中x的取值范围x≥1且x≠2（3）已知两个根分式M=x2-6x+7①若M2﹣N2＝1，求x的值；②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值：1．【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．【解答】解：（1）①aa②3x+1③a2故答案为：③；（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，解得：x≥1，x≠2，故x的取值范围是：x≥1且x≠2；故答案为：x≥1且x≠2；（3）当M=x2-6x+7①M2﹣N2＝1，（x2-6x+7x-2）2﹣（2x-1x-2）x2x2解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的解；②M2+N2＝（x2-6x+7x-2）2+（=x=x=(x-2＝1+2∵M2+N2是一个整数，且x为整数，∴2(x-2∴x﹣2＝±1，解得：x＝3或1，经检验，x＝1符合题意，故答案为：1．19．（2022秋•隆昌市校级月考）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．（1）计算：13（2）m是正整数，a=m+1-mm+1+m，b=m+1+mm+1-m且2（3）已知15+x2-【分析】（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；（2）先利用分母有理化化简a，b，从而求出a+b＝4m+2，ab＝1，然后根据已知可得a2+b2＝98，再利用完全平方公式进行计算即可解答；（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．【解答】解：（1）1=3-1(=3-12=12×（3-1=2023（2）∵a=m+1-m∴a=(m+1-m)b=(m+1+m)∴a+b＝（m+1-m）2+（m+1+m）2＝2（2m+1）＝ab＝（m+1-m）2（m+1+m）2＝[（m+1-m）（m+1+m）]2＝（m∵2a2+1823ab+2b2＝2019，∴2a2+1823+2b2＝2019，∴2a2+2b2＝196，∴a2+b2＝98，∴（a+b）2﹣2ab＝98，∴（4m+2）2﹣2＝98，∴（4m+2）2＝100，∴4m+2＝±10，∴4m+2＝10或4m+2＝﹣10，∴m1＝2，m2＝﹣3（不合题意，舍去），∴m的值为2；（3）∵15+x∴（15+x2-26-x∴15+x2﹣215+x226-x2+26∴15+x2∴（15+x2＝（15+x2-26-＝12+4×20＝1+80＝81，∵15+x2≥0，∴15+x220．（2022秋•高新区校级月考）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2+3）（2-3）＝1，（5+2）（5-2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：1解决问题：（1）4-7的有理化因式可以是4+7，232分母有理化得（2）计算：①11+2+12+3+13+4+⋯11999【分析】（1）根据有理化因式的定义确定4-7的有理化因式，把232（2）①先分母有理化，然后合并即可；②先利用分母有理化得到x＝2-3，y＝2+3，再计算出x+y＝4，xy＝1，然后利用完全平方公式得到x2+y2＝（x+y）2﹣2【解答】解：（1）4-7有理化因式可以是4+23故答案为：4+7，2（2）①原式=2-1+=2000＝205-1②∵x=3-13+1=(3-1∴x+y＝4，xy＝1，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×1＝14．21．（2022秋•新城区校级月考）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：a2比如：x2+2x+1=(x+1)2=|x+1|，∴当x+1≥0即x≥﹣1时，原式＝x+1；当x+1＜0即x＜﹣（1）仿照上面的例子，请你尝试化简m2（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a＝9，求a+1-2a+甲的答案：原式=a+(1-a)乙的答案：原式=a+(1-a)（3）化简并求值：|x-1|+4-4x+x2【分析】（1）仿照上面的例子，分类讨论即可化简；（2）根据a＝9，得1﹣a＜0，即可判断出答案；（3）根据x=5，得x﹣1＞0，2﹣x＜0【解答】解：（1）m=(m-＝|m-12∴当m-12≥0即m≥1当m-12＜0即m＜1（2）∵a＝9，∴1﹣a＜0，∴原式=a+(1-a)∴乙的答案正确．（3）∵x=5∴x﹣1＞0，2﹣x＜0，∴|x-1|+＝x﹣1+＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3＝25-322．（2022春•东莞市期中）阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：3+22=3+2×1×解决问题：（1）在括号内填上适当的数：14+65=(①)+2×3×5+(②)=(③)2+2×3×5+(④)2=(3+5)2=⑤，①：9，②：5（2）根据上述思路，试将28-103【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可；（2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可．【解答】解：（1）14+6=9+2×3×=3=(3+＝3+5故答案为：①：9，②：5，③：3，④：5，⑤：3+5（2）原式==5=(5-＝5-323．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．如：2+12-1除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．如：化简2+3解：设x=2+3-2-3，易知2+由于x2＝（2+3-2-3）2＝2+3+解得x=2，即根据以上方法，化简：3-22【分析】根据题目提供的方法先计算3-5-3+【解答】解：设x=3-5-3+5，易知3-由于x2＝（3-5-3+5）2＝3-5+所以x=-2，即3-所以原式=＝17﹣122＝17﹣132．24．（2018秋•天河区校级期中）小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如3+22=（1+2）设a+b2=（m+n2）2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+b2=m2+2mn2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样，小马找到了把部分a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝m2+3n2，b＝2mn（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：13+43=（1+23）2（3）设x=3+2，试用含有x【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；（3）先把已知条件变形得到x-2=3，再两边平方得到x2﹣22x+2＝3，然后用x【解答】解：（1）∵（m+n3）2＝m2+2mn3+3n2而a+b3=（m+n3）2∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为m2+3n2，2mn；（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2+3n2＝1+3×4＝13，b＝2mn＝4，∴13+43=（1+23）2故答案为13，4，1，2；（3）∵x=3∴x-2∴（x-2）2＝3∴x2﹣22x+2＝3，∴2=25．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7-分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7-6和6-5的大小可以先将它们分子有理化如下：因为7+6＞再例如，求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2当x＝2时，分母x+2+x-2有最小值2．所以y的最大值是利用上面的方法，完成下述两题：（1）比较15-14和（2）求y=x+1-【分析】（1）先将两数变形为115+14、114+（2）根据二次根式有意义的条件得出x≥1，据此知x+1+x-1有最小值2，从而得到y【解答】解：（1）15-14-而15＞∴15+∴15-（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∵y=x+1当x＝1时，分母x+1+x-1有最小值∴y=2x+1+x-126．先阅读下面的材料．再解答下面的问题．∵（a+b）（a-b）＝∴a﹣b＝（a+b）（特别地．（12+11）×（12-∴112当然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，故1这种变形也是将分母有理化．利用上述的思路方法解答下列问题：（1）计算：13-（2）计算：54-【分析】（1）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；（2）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=＝3+8-（8+7）+7＝3﹣2＝1；（2）原式=＝4+11-（11+7＝4+11-＝1．27．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b＝m2+2n2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2b请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝m2+6n2，b＝2mn（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均为正整数，求（3）化简：7-21+【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为m2+6n2，2mn；（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）21+80=20+45则7-=7-2=6-2=(=5-28．（2020秋•吴江区期中）像2⋅2=2；(3（1）12（2）2+1勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：3+5解：设x=3+5-3-5，易知3+由：x2＝3+5+3-5-2(3+即3+5请你解决下列问题：（1）23-35的有理化因式是23+3（2）化简：33（3）化简：6-33【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；（2）原式各式分母有理化，计算即可求出值；（3）设x=6-33-6+33，判断出x【解答】解：（1）23-35的有理化因式是23+3故答