10.1二元一次方程（解析版）

10.1二元一次方程二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．注：（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．（3）根据条件或者实际情境出发，二元一次方程的解有的时候需要取整数解.题型1：二元一次方程的定义1．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．2x+3y＝5 B．xy＝1 C．2(m-5)=14【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得答案．【解答】解：A、此方程符合二元一次方程的条件，故此选项符合题意；B、此方程是二元二次方程的条件，故此选项不符合题意；C、此方程是一元一次方程的条件，故此选项不符合题意；D、此方程不符合二元一次方程的条件，故此选项不符合题意．故选：A．【变式1-1】已知方程ax+y＝3x﹣1是关于x，y的二元一次方程，则a满足的条件是（）A．a≠0 B．a≠﹣1 C．a≠3 D．a≠﹣3【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．【解答】解：方程整理得（a﹣3）x+y+1＝0，由题意得：a﹣3≠0，即a≠3，故选：C．【变式1-2】已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（）A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，所以m＝1．故选：A．【变式1-3】方程2xm﹣1+3y2n﹣1＝7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣2n的值为0．【分析】根据二元一次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵方程2xm﹣1+3y2n﹣1＝7是关于x，y的二元一次方程，∴m﹣1＝1，2n﹣1＝1，∴m＝2，n＝1，∴m﹣2n＝2﹣2×1＝0．故答案为：0．题型2：二元一次方程的解2.写出方程x+3y＝11的一个正整数解x1=7y1=1，（或x【分析】先变形得出x＝10﹣3y，再取正整数解即可．【解答】解：x+3y＝10，x＝10﹣3y，当y＝1时，x＝7；当y＝2时，x＝4，当y＝3时，x＝1；故答案为：x1=7y1=1【变式2-1】若x=1y=k是二元一次方程2x+y＝6的一个解，则k的值为4【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x=1y=k代入方程得：2+k＝6解得：k＝4．故答案为：4．【变式2-2】已知x=2y=3是方程2x﹣y+k＝1的解，则k＝0【分析】将x=2y=3代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k【解答】解：将x=2y=3代入原方程得2×2﹣3+k＝1解得：k＝0，∴k的值为0．故答案为：0．【变式2-3】已知x=ay=b是方程2x﹣3y＝1的一个解，那么4a﹣6b+8＝10【分析】将x=ay=b代入方程2x﹣3y＝1，得2a﹣3b＝1【解答】解：将x=ay=b代入方程2x﹣3y＝1得2a﹣3b＝1，∴4a﹣6b+8＝2（2a﹣3b）+8＝2×1+8＝10，故答案为：10．题型3：解二元一次方程3.已知方程2x+5y＝7，用含x的代数式表示y为y=7-2x5【分析】先移项，再把y的系数化为1即可．【解答】解：移项得，5y＝7﹣2x，y的系数化为1得，y=7-2x故答案为：y=7-2x【变式3-1】已知x3+y-12=6，则y＝【分析】把x看做已知数求出y即可．【解答】解：方程x3+去分母得：2x+3（y﹣1）＝36，去括号得：2x+3y﹣3＝36，解得：y=39-2x故答案为：39-2x3【变式3-2】二元一次方程2x+3y＝8的正整数解为x=1y=2【分析】要求二元一次方程2x+3y＝8的正整数解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，分析解的情况．【解答】解：由已知得y=8-2x要使x，y都是正整数，必须满足：①8﹣2x大于0；②8﹣2x是3的倍数．根据以上两个条件可知，合适的x值只能是x＝1，相应的y＝2，即二元一次方程2x+3y＝8的正整数解为x=1y=2故答案为：x=1y=2题型4：从实际问题中抽象出二元一次方程4.现有1元的人民币x张，5元的人民币y张，共120元，这个关系用方程可以表示为x+5y＝120．【分析】根据1元人民币的金额+5元人民币的金额＝120元，列方程即可．【解答】解：1元的人民币x张，则其金额总计为x元；5元的人民币y张，则其金额总计为5y元；两者之和为（x+5y）元，根据题意得：x+5y＝120．故答案为：x+5y＝120．【变式4-1】老王家去年收入x元，支出y元，而今年收入比去年多15%，支出比去年少10%，结果今年结余30000元，根据题意可列出的方程为（1+15%）x﹣（1﹣10%）y＝30000．【分析】首先根据题意，可以表示出今年收入为（1+15%）x，今年支出为（1﹣10%）y．此题中的等量关系有：结果今年结余30000元．【解答】解：根据结果今年结余30000元，列方程（1+15%）x﹣（1﹣10%）y＝30000．【变式4-2】已知甲队有x人，乙队有y人，若从甲队调出10人到乙队，则乙队人数是甲队人数的2倍，调整后两队人数间的数量关系用等式表示为y+10＝2（x﹣10）．【分析】本题的等量关系有：甲队调出10人到乙队，则乙队人数是甲队人数的2倍，可以列出方程．【解答】解：设甲队有x人，乙队有y人，由题意，知y+10＝2（x﹣10）．一．选择题（共5小题）1．若x=1y=-2是关于x和y的二元一次方程ax+y＝2的解，则aA．0 B．1 C．2 D．4【分析】【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值．【解答】解：将x=1y=-2代入方程ax+y＝2a﹣2＝2，解得：a＝4．故选：D．2．《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格，小明用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（）A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C．xy+4=y D【分析】由已经列出的方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结合“每人出7文，少4文”，即可列出另一方程，此题得解．【解答】解：∵每人出8文，多3文，且已经列出一个方程8x−3＝y，∴x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格．又∵每人出7文，少4文，∴7x+4＝y．故选：B．3．二元一次方程x+2y＝6的一个解是（）A．x=2y=2 B．x=2y=3 C．x=2y=4 【分析】分别将选项中的解代入方程，使等式成立的即是它的解．【解答】解：A、2+4＝6，能使方程成立，故该选项正确，符合题意；B、2+6＝8，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；C、2+8＝10，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；D、2+12＝14，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意．故选：A．4．关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（）组．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】将y看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解．【解答】解：2x+3y＝20，x=1当y＝2时，x＝7；当y＝4时，x＝4；当y＝6时，x＝1，则方程的正整数解有3对．故选：C．5．方程（m﹣2023）x|m|﹣2022+（n+3）y|m|﹣2＝2022是关于x、y的二元一次方程，则（）A．m＝±2023，n＝±3 B．m＝2023，n＝3 C．m＝﹣2023，n＝﹣3 D．m＝﹣2023，n＝3【分析】由方程（m﹣2023）x|m|﹣2022+（n+3）y|m|﹣2＝2022是关于x、y的二元一次方程，知|m|-【解答】解：∵方程（m﹣2023）x|m|﹣2022+（n+3）y|n|﹣2＝2022是关于x、y的二元一次方程，∴|m|-解得m＝﹣2023，n＝3，故选：D．二．填空题（共5小题）6．已知x=2y=3是方程2x﹣y+k＝1的解，则k＝0【分析】将x=2y=3代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k【解答】解：将x=2y=3代入原方程得2×2﹣3+k＝1解得：k＝0，∴k的值为0．故答案为：0．7．已知x=2y=-3是二元一次方程ax+by﹣3＝0的一个解，则1﹣6a+9b＝﹣8【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的解x=2y=-3代入ax+by﹣3＝0可求出2a﹣3b＝3【解答】解：将已知的解x=2y=-3代入ax+by﹣3＝0可得：2a﹣3b＝3把2a﹣3b＝3代入1﹣6a+9b得：1﹣6a+9b＝1﹣3（2a﹣3b）＝1﹣3×3＝﹣8．故答案为：﹣8．8．由方程3x﹣5y﹣6＝0可得到用x表示y的式子是y=3x-65【分析】把x看作已知数求出y即可．【解答】解：方程3x﹣5y﹣6＝0，移项得，﹣5y＝6﹣3x，y的系数化为1得：y=3x-6故答案为：y=3x-69．已知方程：（n+3）x|n|﹣2+y＝3为二元一次方程，则n的值为3．【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．【解答】解：因为方程（n+3）x|n|﹣2+y＝3为二元一次方程，所以n+3≠解得n＝3．故答案为：3．10．已知下列各式：①1x+y=2；②2x﹣3y＝5；③12x+xy=2；④x+y＝z﹣1；⑤x+12=【分析】利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知数的次数为1次，这样的整式方程，判断即可．【解答】解：①1x②2x﹣3y＝5，是二元一次方程；③12x+xy=2，最高次数为④x+y＝z﹣1，含有三个未知数，不是二元一次方程；⑤x+12综上，只有②是二元一次方程．故答案为：②．三．解答题（共4小题）11．已知二元一次方程5x+3y＝18．（1）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即y＝-53x+6（2）填表，使x、y的值是方程5x+3y＝18的解；x01234y6133831-2（3）根据表格，请直接写出方程的非负整数解．【分析】（1）要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有x的项和常数项移到方程的右边，再把y的系数化为1即可．（2）将x＝0，1，2，3，4分别代入y=-53x+6（3）根据表格，直接写出方程的非负整数解即可；【解答】解：（1）5x+3y＝18，得3y＝18﹣5x，所以y=-53故答案为：-53x（2）将x的值0，1，2，3，4分别代入y=-53x+6中得到y的值分别为：6，133，83∴填表如下：x01234y61381-2故答案分别填：6，133，83，1，（3）由上表可知：方程的非负整数解为：x=0y=6或x=312．已知关于x、y的方程6x+5y﹣2﹣3my+4m＝0合并同类项后不含y项，求关于x的方程（m﹣1）2x-25m＝【分析】先对已知方程的左边合并同类项，然后知5﹣3m＝0，据此可以求得m的值；最后将其代入方程（m﹣1）2x-25m＝【解答】解：由原方程，得：6x+（5﹣3m）y+4m﹣2＝0，∵关于x、y的方程6x+5y﹣2﹣3my+4m＝0合并同类项后不含y项，∴5﹣3m＝0，解得m=5把m=53代入方程（m﹣1）2x-25（53-1）2x-解得x=313．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即：mn=10m+n（1）若2x-x3=-1（2）若x2+y3=45【分析】（1）按定义列出方程求出x的值即可；（2）按定义列出方程求出x、y的值，代入计算即可．【解答】解：（1）∵mn=10m+n，2x-∴（10×2+x）﹣（10x+3）＝﹣1，∴x＝2；（2）∵mn=10m+n，x2+∴10×x+2+10y+3＝45，解得10x+10y＝40，∴y+x＝4，∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1∴xy=13或22或3114．已知关于x、y的二元一次方程ax+by＝b+1（a，b为非零常数），且b＝a+1．（1）当x=3y=1时，求