第3讲命题与充要条件

新课标高中一轮总复习第一单元集合与常用逻辑用语2第3讲命题与充要条件3理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.41.判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假，并说明理由.（1）求证：3是无理数.（2）x2+4x+4≥0.（3）你是高一的学生吗？（4）一个正数不是质数就是合数.5（1）（3）不是命题，（1）是祈使句，（3）是疑问句.（2）（4）是命题，其中(4)是假命题，如正数12既不是质数也不是合数.（2）是真命题，x2+4x+4=(x+2)2≥0恒成立.62.(2010·湖北联考)若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则()BA.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件，也不是“x∈A”的必要条件由A∪B=C，则A

C且B

C，故x∈A，则x∈C，但x∈C不一定有x∈A，故“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件.73.(2010·天津汉沽一中模拟）命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()CA.“若x<y,则x2<y2”B.“若x>y,则x2>y2”C.“若x≤y,则x2≤y2”D.“若x≥y,则x2≥y2”82x2+2x+12<0(2x+1)2<0，p为假，sinx-cosx=sin(x-)≤2，故q为真.所以q为假，故选D.4.(2010·山东临沂一模)已知命题p：x∈R，2x2+2x+12<0；命题q：x∈R，sinx-cosx=2，则下列判断正确的是()DA.p是真命题B.q是假命题C.p是假命题D.q是假命题95.(2009·江苏金陵中学三模）若“x∈[2,5]或x∈(-∞,1)∪(4,+∞)”是假命题，则x的取值范围是

.x[2,5]，且x(-∞,1)∪(4,+∞)是真命题.由x<2或x>51≤x≤4[1,2),得1≤x<2，故填[1,2).101.命题及四种命题（1）可以判断真假的陈述句叫做命题，它由①

两部分构成.（2）命题的四种形式：原命题：若p则q;逆命题：若②

则③

；否命题：若④

则⑤

;逆否命题：若⑥

则⑦

.题设和结论qp
p
q
q
p11(3)四种命题的关系：⑧

的命题互为等价命题，它们同真同假.互为逆否122.充分条件与必要条件(1)若p

q,则称p为q的⑨

，同时q是p的⑩

;(2)若

且

，则称p是q的充要条件.1112充分条件必要条件p

qq

p13(2010·山东模拟）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：题型一四种命题的相互关系例1（1）若b2-4ac=0，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根；（2）若A∪B=I，则A=IB.14（1）逆命题：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根，则b2-4ac=0，为真命题.否命题:若b2-4ac≠0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有两个相等实根，为真命题.逆否命题：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有两个相等实根，则b2-4ac≠0，为真命题.（2）逆命题：若A=IB，则A∪B=I，为真命题.否命题：若A∪B≠I，则A≠IB,为真命题.逆否命题：若A≠IB，则A∪B≠I，为假命题.15（1）已知原命题，写出它的其他三种命题，首先把命题改写成“若p，则q”的形式，然后找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其他命题.对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动.（2）判断命题的真假，可直接判断，如果不易判断，可根据互为逆否命题的两个命题是等价命题来判断；原命题与逆否命题是等价命题，否命题与逆命题是等价命题.16若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上判断都不对C设p：若a，则b，所以q：若b，则a，所以r：若a，则b，故q是r是逆否命题，所以选C.17题型二充分条件、必要条件的判断下列各小题中，p是q的充要条件的是()例2①p:m<-2或m>6,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点；②p:=1,q:y=f(x)是偶函数；③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;④p:A∩B=A,q:UB

UAA.①②B.②③C.③④D.①④D18①中Δ=m2-4m-12>0(m-2)2>42m>6或m<-2，即p

q；④中A∩B=A

ABUBUA.故选D.充要条件的判断：（1）分清命题的条件与结论；（2）常用方法有：定义法,集合法,变换法(命题的等价变换)及链条法等.19充分性即证：xy≥0|x+y|=|x|+|y|,必要性即证：|x+y|=|x|+|y|xy≥0.(1)充分性：若xy=0，则有x=0或y=0，或x=0且y=0.此时显然|x+y|=|x|+|y|.题型三充要条件的证明与探索设x,y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|的充要条件是xy≥0.例320若xy＞0，则x,y同号,当x＞0且y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|;当x＜0且y＜0时，|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|.综上所述，由xy≥0可知|x+y|=|x|+|y|.21(2)必要性：因为|x+y|=|x|+|y|，且x,y∈R，所以(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2,可得xy=|xy|，可得xy≥0.故|x+y|=|x|+|y|xy≥0.综合(1)(2)知命题成立.22充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性.证明分为两个环节：一是充分性；二是必要性，证明时，不要认为它是推理过程“双向书写”，而应该施行由条件到结论，由结论到条件的两次证明.23设命题p:|4x-3|≤1；命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若p是q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围.由|4x-3|≤1得-1≤4x-3≤1,故12≤x≤1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，得(x-a)(x-a-1)≤0,故a≤x≤a+1.24因为p是q的必要而不充分条件,所以p是q的充分而不必要条件,即［12,1］［a,a+1］,所以a≤12a+1≥1,解得0≤a≤12.故所求的实数a的取值范围是［0,12］.25(2010·江西模拟）已知抛物线C:y=-x2+mx-1和点A(3，0)、B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.由已知得线段AB的方程为x+y=3(0≤x≤3)，因为抛物线C与线段AB有两个不同的交点，26所以方程组y=-x2+mx-1

x+y=3(0≤x≤3)有两个不同的实数解.将y=3-x代入y=-x2+mx-1，得x2-(1+m)x+4=0(0≤x≤3),即关于x的方程x2-(1+m)x+4=0在[0,3]上有两个不同的实数解.27反过来，若方程x2-(1+m)x+4=0在[0,3]上有两个不同的实数解x1、x2，分别代入x+y=3可得到y1和y2，故抛物线C与线段AB有两个不同的交点（x1,y1)和(x2,y2).于是问题转化为求关于x的方程x2-(1+m)x+4=0在[0,3]上有两个不同的实数解的充要条件.28令f(x)=x2-(1+m)x+4(如图所示).则有(1+m)2-4×4>0f(3)≥00<m+12<3f(0)≥0，即(1+m)2>42-3m+10≥00<m+1<6，解得3<m≤103.故所求的充要条件是3<m≤103.291.充分条件、必要条件是高考中常见的考查内容，常与其他知识综合在一起.以下四种说法所表达的意义相同：①“若p则q”为真；②p

q;③p是q的充分条件；④q是p的必要条件.302.充分条件、必要条件常用的判断方法：（1）定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B

A或A

B是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断.（2）集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：31若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分非必要条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要非充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；若A

B，且A

B，则p是q的既非充分条件也非必要条件.32(3)用命题的等价性判断：判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真还是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.同时要注意反例法的运用.33注意：确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明.3.探求充要条件可以先求充分条件，再验证必要性；或者先求必要条件，再验证充分性；或者等价转换条件.34(2009·福建卷)设m,n是平面