第2讲 概率统计离散型随机变量及其分布列

第2讲概率统计、离散型随机变量及其分布列1.随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1;必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.（2）古典概型的概率

P（A）==.A中所含的基本事件数基本事件总数12.互斥事件有一个发生的概率P（A+B）=P（A）

+P（B）.3.相互独立事件同时发生的概率

P（AB）=P（A）P（B）.4.独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn（k）=pk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.25.离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,

取每一个值xi的概率为P（=xi）=pi，则称下表：为离散型随机变量的分布列.（2）离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0,②p1+p2+…+pi+…=1(i=1,2,3,…).6.常见的离散型随机变量的分布（1）两点分布分布列为（其中0<p<1）3(2)二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的次数

是一个随机变量，其所有可能取的值为0，1，2，3，…，n，并且P（=k）=pkqn-k(其中k=0，1，2，…，n，q=1-p).显然P（=k）≥0(k=0,1,2,…,n),pkqn-k=1.称这样的随机变量ξ服从参数n和p的二项分布，记为~B(n,p).47.离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量ξ的分布列为则称E=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为的数学期望，简称期望.

D=（x1-E）2·p1+（x2-E）2·p2+…+(xn-E)2·pn+…叫做随机变量的方差.ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…8.统计（1）抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.（2）利用样本频率分布估计总体分布①频率分布表和频率分布直方图.②总体密度曲线.59.正态分布（1）一般地，如果对任意实数a<b，随机变量X满足

P（a<X≤b）=dx,x∈(-∞,+∞)，则称X的分布为正态分布.（2）正态曲线的特点如图所示.①曲线位于x轴上方，与x轴不相交.②曲线是单峰的，它关于直线x=对称.6③曲线在x=处达到峰值.④曲线与x轴之间的面积为1.⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移.⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.（3）正态总体在三个特殊区间内取值的概率①P（

-<X≤+）=0.6826.

②P(

-2

<X≤+2

)=0.9544.

③P(

-3

<X≤+3)=0.9974.7一、频率分布直方图或频率分布表例1某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.下图是按上述分组方法8得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为 （）A.0.9,35 B.0.9,45C.0.1,35 D.0.1,45解析P（<17）=1-P(17≤≤19)=1-(0.06×1+0.04×1)=0.9,即x=0.9,y=(0.34+0.36)×1×50=35人.探究提高

在统计中，为了考查一个总体的情况，通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况.这种估计大体分为两类，一类A9是用样本频率分布估计总体分布，另一类是用样本的某种数字特征（例如平均数、方差等）去估计总体的相应数字特征.变式训练1（2009·湖南理，13）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为

.解析设总体中个体数为x，则B层中有个个体，共需在B中抽2个个体.∴,∴x=40.4010二、古典概型例2某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？11（3）已知y≥245,z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率.思维启迪求初三年级中女生比男生多的概率时，先找出男女生人数分布的所有可能,再找出女生比男生多的人数的所有可能.解析（1）∵=0.19∴x=380.(2)初三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：×500=12（名）12（3）设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生、男生数记为（y,z）,由（2）知y+z=500，且y,z∈N*,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、…、（255，245）共11个，事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、（254，246）、（255，245）共5个∴P（A）=13探究提高（1）有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识.（2）对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏.变式训练2（2009·江苏，5）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为

.解析从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有=10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3m的情况有2种.则P==0.2.0.214三、相互独立事件和独立重复试验例3甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？思维启迪

（1）第（1）问先求其对立事件的概率.（2）第（2）问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式.15（3）第（3）问中，甲恰好射击5次被中止，可分为前3次击中后两次未击中和前2次有一次未击中，第3次击中，后两次未击中两种情况.解析（1）甲至少一次未击中目标的概率P1是P1=P4（1）+P4（2）+P4（3）+P4（4）=1-P4（0）=1-.（2）甲射击4次恰击中2次的概率为P2=，乙射击4次恰击中3次的概率为P3=，16由乘法公式，所求概率P=P2P3=.(3)乙恰好5次停止射击,则最后两次未击中,前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中,第三次必击中,故所求概率为.探究提高

（1）注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生.（2）一个事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解.17变式训练3在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：（1）恰有两道题答对的概率；（2）至少答对一道题的概率.解析（1）视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.由独立重复试验的概率计算公式得：恰有两道题答对的概率为P4（2）=.18（2）方法一至少有一道题答对的概率为1-P4（0）=1-=1-.方法二至少有一道题答对的概率为19四、随机变量的分布列、均值与方差

例4（2009·潍坊模拟）甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为.求：（1）乙投篮次数不超过1次的概率；（2）记甲、乙两人投篮次数和为，求的分布列和数学期望.思维启迪

（1）乙投篮次数不超过一次有三种情况.（2）正确理解并记准均值与方差的计算公式.20解析记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事B.方法一“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，所求的概率是P=P（A+·B+··A）=P（A）+P（·B）+P（··A）=P（A）+P（）·P（B）+P（）·P（）·P（A）=.答乙投篮次数不超过1次的概率为.21方法二“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是P=1-P（··）=1-P（）·P（）·P（）=1-.答乙投篮次数不超过1次的概率为.（2）甲、乙投篮总次数的取值1，2，3，4，P（=1）=P(A)=,P(

=2)=P(·B)=P（）·P（）=，P(

=3)=P(··A)=P（）·P（）·P（A）=,22P(=4)=P(··)=P（）·P（）·P（）=,甲、乙投篮次数总和的分布列为甲、乙投篮总次数的数学期望为E=1×+2×+3×+4×=.答甲、乙投篮次数总和ξ的数学期望为.23探究提高

有些问题的模型显得较为隐蔽，这时我们可以多做一点尝试，弄清其模型，再设计相应的答题策略.在解答过程中，需注意答题的规范性.变式训练4（2009·重庆理，17）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数的分布列与期望.24解析设Ak表示甲种大树成活k株，k=0,1,2,Bl表示乙种大树成活l株，l=0,1,2,则Ak，Bl相互独立，由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（Ak）=,P(Bl)=.据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=，P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=.（1）所求概率为P（A1·B1）=P（A1）·P（B1）=.25(2)方法一的所有可能值为0,1,2,3,4,且P(=0)=P(A0·B0)=P（A0）·P（B0）=,P（=1）=P(A0·B1)+P（A1·B0）=,P（

=2）=P(A0·B2)+P（A1·B1）+P（A2·B0）=,.P（=3）=P(A1·B2)+P（A2·B1）=,P(=4)=P(A2·B2)=..综上知的分布列为26从而，的期望为E=(株).方法二分布列的求法同前，令分别表示甲、乙两种大树成活的株数，则~B，~B,故E=2×=,E=2×=1,从而知E=E+E=（株）.27规律方法总结1.古典概型A包含的基本事件m个数总的基本事件n个数282.互斥事件与对立事件互斥事件强调两个事件不可能同时发生，即在一次试验中两个互斥事件可以都不发生.两事件是对立事件，则它们一定互斥，且在一次试验中两对立事件有且只有一个发生，反过来，两事件互斥，但不一定对立.故两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件，对立事件是特殊的互斥事件.3.求离散型随机变量的期望与方差的方法（1）理解的意义，写出可能取的全部值.（2）求取每个值的概率.（3）写出的分布列.（4）由期望的定义求E.

(5)由方差的定义求D.29一、选择题1.某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆的离心率e>的概率是（ ）A. B.C. D.解析e=a>2b,符合a>2b的情况有：当b=1时，有a=3,4,5,6四种情况；当b=2时，有a=5,6两种情况，总共有6种情况.所以概率为.C302.（2009·重庆理，6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为 （ ）

A. B. C. D.

解析从15个汤圆中选出4个汤圆共有种情况，每种汤圆至少有1个的情况有=720种情况，所以各种汤圆至少有1个的概率为

P=.C313.（2009·上海理，16）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A.0 B. C. D.解析因为事件E与事件F相互独立，故P（E∩F）=P(E)P(F)=.B324.从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为()

A. B. C. D.

解析从10个球中任选4个共有种取法，所取4个球中最大号码是6的取法共有种，所求概率为

P=.B335.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a,b,c∈(0,1)），已知他投篮一次得分的期望是2，则的最小值为 （ ）A. B. C. D.解析由已知得3a+2b+0×c=2,即3a+2b=2.其中0<a<,0<b<1.+==3+.D34二、填空题6.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示.性别人数生活能否自理男女能178278不能2321则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多

人.35解析由表知500人中生活不能自理的男性比女性多2人，所以该地区15000位老人生活不能自理的男性比女性多2×=60(人).答案607.某汽车站每天均有3辆开往省城济南的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆.那么他乘上上等车的概率为

.36解析共有6种发生顺序：①上、中、下②上、下、中③中、上、下④中、下、上⑤下、中、上⑥下、上、中（其中画横线的表示袁先生所乘的车），所以他乘坐上等车的概率为.答案8.有一容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示：37若落在［10，20）中的频数共9个，则样本容量n=

.解析由题意，得样本数据落在［10，20）中的频率为（0.016+0.020）×5=0.18.又落在［10，20）中的频数共9个，所以，解之得n=50.50三、解答题9.(2009·陕西文，18)据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0、1、2的概率分别为0.4、0.5、0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率.38（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.解(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=0.4+0.5=0.9.（2）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2