2017-2018学年重庆某中学高二（上）期末数学试卷（理科）

2017-2018学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（理科）

一•选择题.（每小题5分，共6（）分）

1.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）若命题为假，且“「p”为假，则（）

A.p且q为真B.q假C.q真D.p假

2.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）当函数y=x•，取极小值时，x=（）

A.2B.-2C.-1D.I

3.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）若抛物线）2=4》上的点M到焦点的距离为10,则

M到y轴的距离为（）

A.8B.9C.10D.11

4.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）设函数/（幻=/+叱/工的导函数是，（x）,且

f（x）是奇函数，则〃的值为（）

11

A.1B.-4C.-D.-1

22

5.（5分）（2013•浙江模拟）设平面a与平面0相交于直线/,直线a在平面a内，直线b

在平面。内，且6，/,则“a_L〃'是“a_LB”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

x1234y2

6.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知产是椭圆石+放=1（0＜人＜5）上除顶点外

1TT

的一点，尸1是椭圆的左焦点，若彳（OP+OF1）1=4,则点尸到该椭圆左焦点的距离为

（）

5

A.6B.4C.2D.-

2

7.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）在三棱锥P-ABC中，％，底面ABC,。是PC的

中点，已知A8=2,AC=2y/3,%=2,则异面直线8c与A。所成角的余弦

值为（）

3311

A•-B•—C・一D.一

4848

8.（5分）（2018•南充模拟）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三

视图如图所示，则该截面的面积为（）

2

正视图侧视图

93V10

A.-B.4C.3D.----

22

9.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）给出定义：设/（x）是函数y=/（x）的导函数,

f（x）是函数/（x）的导函数，若（（x）有零点刈，则称点（xo,/（3））为原函

数y=/（x）的“拐点”.已知函数f（x）=加碧q的拐点是用（xo,/（M））,则点〃

（）

A.在直线y=-3无上B.在直线y=3工上

C.在直线尸号上D.在直线上

x2y2

10.（5分）（2018•乐山三模）设双曲线=一W=1（。>0,b>0）的右焦点为凡过点E

bz

作与x轴垂直的直线/交两渐近线于A,3两点，且与双曲线在第一象限的交点为P,设

O为坐标原点，若办=而+”而（入，咋R）,入,产金则双曲线的离心率为（）

2V33753V29

A.---B.---C.---D.一

3528

11.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知球。的直径长为12,当它的内接正四棱锥的

体积最大时，该四棱锥的高为（）

A.4B.6C.8D.12

12.（5分）（2017•深圳二模）设实数入>0,若对任意的在（0,+8）,不等式那一竽20

恒成立，则入的最小值为（）

112e

A.—B.—C.—D.—

e2ee3

二.填空题.（每小题5分，共20分）

13.（5分）（2015•齐齐哈尔二模）若J：（2r+i）dx=?>+ln2（«>1）,则a的值是.

14.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知正方体A8CO-4B1C1O1的棱长为“，AM=

1T

加C1，点N为8出的中点，则|MN|=.

15.（5分）（2013•东至县一模）若函数fCx）=2/-/or在其定义域内的一个子区间（&-1,

-1）内不是单调函数，则实数&的取值范围是.

X2V2

16.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知椭圆C—+—=1（〃>〃>。）的一个焦

砂bz

点为尸（百，0）,A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆A与直线y=氏相交于P,Q

两点，且万3-AQ=0,OP=3OQ,则圆A的半径为.

三.解答题.（共6小题，共70分）

17.（10分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知三次函数/（x）=?-|ox2+Z）（a,bGR）.

（1）若曲线y=/（x）在点（a+1,/（a+D）处切线的斜率为12,求a的值；

（2）若f（x）在区间［-1,1］上的最小值为-2,最大值为1且求函数f（x）的

解析式.

18.（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）四棱锥P-A8C。的底面是边长为1的正方形，

PALCD,PA=\,PD^y/2,E,尸为PO上两点，且PF=ED=*D.

（1）求证：B尸〃面ACE；

（2）求B尸与平面尸C/）所成角的正弦值.

19.（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知F（0,1）,直线/：y=-I,P为平面上的

动点，过点P作/的垂线，垂足为。，且诵•能=而•而，P点的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）若A（0,2）,/为C在尸点处的切线，求点4到/距离的最小值.

20.（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）如图，四边形4BCD是等腰梯形，AB//CD,Z

ABC=60a,AB=2CB=4,在梯形ACE尸中，EF//AC,且AC=2EF,EC_L平面ABCO.

(1)求证：面尸EBL面CEB；

TC

(2)若二面角O-AQC的大小为求几何体48。斯的体积.

Xv

21.(12分)(2017秋•沙坪坝区校级期末)从椭圆C：—4-77=1(/?>0)上一点P向x

2b2

轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点Fi,M是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且

MN=入茄(入>0).

(1)求该椭圆C的方程；

(2)不过原点的直线/与椭圆C交于A,B两点，已知04,直线/,OB的斜率心，k,

心成等比数列，记以OA,。8为直径的圆的面积分别为Si，S2,求证：S1+S2为定值，并

求出定值.

22.(12分)(2017秋•沙坪坝区校级期末)已知”6N*,函数域(x)=x-nlnx,fn(x)'

是弁(x)的导函数.

(1)当〃=3时，求函数y=A(x)在(0,+8)内的零点的个数.

(2)对于0<a<B，若存在6使得f„(a)-fn(p)=fn(0)(a-0),试比较a+0

与20的大小.

2017-2018学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一.选择题.（每小题5分，共60分）

1.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）若命题“pAq”为假，且“「p”为假，则（）

A.p且q为真B.q假C.q真D.p假

【考点】2E：复合命题及其真假.

【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5L：简易逻辑.

【分析】直接利用复合命题的真假判断即可得答案.

【解答】解：：为假，则?为真，

又“pMq”为假，则q为假.

故选：B.

【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题.

2.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）当函数y=x•，取极小值时，x=（）

A.2B.-2C.-1D.1

【考点】6D：利用导数研究函数的极值.

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用.

【分析】根据题意，由函数的解析式对其求导可得，（x）,再令/（x）=0,解可得x

=-1,分析x=-1左右导函数的符号即可得答案.

【解答】解：根据题意，函数

其导数/（x）='=（x）'e'+x«d）'—（1+x）e1,

令/（x）=0,即（1+x）T=0可得x=-1,

分析可得：当-1时，f（x）<0,函数/（x）为减函数，

当x>-1时，f（x）>0,函数/（x）为增函数，

则当x=-l时，函数y=x•，取极小值；

故选：C.

【点评】本题考查函数导数与函数极值的计算，注意函数极值与函数导数的关系即可.

3.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则

M到y轴的距离为（）

A.8B.9C.10D.11

【考点】K8：抛物线的性质.

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】根据抛物线的性质得出M到准线x=-1的距离为10,故到y轴的距离为9.

【解答】解：抛物线的准线为》=-1,

；点M到焦点的距离为10,

.•.点M到准线x=-1的距离为10,

...点M到了轴的距离为9.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

4.(5分)(2017秋•沙坪坝区校级期末)设函数/(X)=，+。七5的导函数是，(x),且

f(x)是奇函数，则a的值为()

11

A.1B.-4C.-D.-1

22

【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；63：导数的运算.

【专题】52：导数的概念及应用.

【分析】求导数，由/(x)是奇函数可得，(0)=0,解方程可得a值.

【解答】解：求导数可得/(x)='=(e*)'+a(/x)'

,:f(x)是奇函数，

：.f(0)=1-a=0,

解得a=\

故选：A.

【点评】本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性，属基础题.

5.(5分)(2013•浙江模拟)设平面a与平面0相交于直线/,直线a在平面a内，直线b

在平面0内，且〃，/,则“。，人"是“a，B”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】14：证明题.

【分析】分析题可知：在题目的前提下，由“a,〃’不能推得“a，0”，由面面垂直的性

质定理可由"卬"推出从而可得答案.

【解答】解：由题意可得aC0=/,aua,》u0,若再满足4_14则不能推得a，0；

但若满足a±p,由面面垂直的性质定理可得a±h

故“。，匕”是“a，|T的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查充要条件的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题.

x2y2

6.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知P是椭圆元+公=1（0＜。＜5）上除顶点外

1TT

的一点，乃是椭圆的左焦点，若干（OP+OF1）|=4,则点P到该椭圆左焦点的距离为

（）

5

A.6B.4C.2D.-

2

【考点】K4：椭圆的性质.

【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

1TT

【分析】如图所示，取线段PF\的中点为G,连接OG.由|鼻（OP+Oa）|=4,可得

OG=4.根据三角形中位线定理可得：OG为△PF1F2的中位线，可得|P&|=2|OG|.再

利用椭圆的定义即可得出.

【解答】解：如图所示，取线段PQ的中点为G,连接OG.

1T—

V|-（OP+。&）1=4,；.OG=4.

'：OG为△PFi尸2的中位线，：.\PF2\=2\OG\=S.

|P尸1|=2X5-8=2.

故选：C.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、平行四边形法则、三角形中位线定

理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

7.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）在三棱锥尸-ABC中，雨，底面ABC,。是PC的

中点，已知AB=2,AC=2近,B4=2,则异面直线8c与A。所成角的余弦

值为()

3311

A•—B•—C•一D.一

4848

【考点】LM：异面直线及其所成的角.

【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空

间角.

【分析】以A为原点，A8为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用

向量法能求出异面直线BC与AD所成角的余弦值.

【解答】解：•在三棱锥P-ABC中，胆，底面A8C,。是PC的中点，

ZBAC=AB=2,AC=2yf3,PA=2,

.•.以A为原点，48为x轴，AC为)，轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则8(2,0,0),C(0,2V3,0),A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,遮，1),

BC=(-2,2百，0),AD=(0,V3,1),

设异面直线8c与AD所成角为6,

|品疝=6=3

则cos0=

\BC\-\AD\国,海4

3

.•.异面直线BC与AD所成角的余弦值为二.

4

故选：A.

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

8.（5分）（2018•南充模拟）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三

视图如图所示，则该截面的面积为（）

正视图侧视图

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法：5F：空间位置关系与距离.

【分析】由三视图还原原几何体，得到截面为等腰梯形，求出其上下底边的长度及高,

代入梯形面积公式得答案.

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

截面是等腰梯形FHDE,

•.•正方体的棱长为2,

：.FH=2V2,DE=V2,梯形的高为J22+（孝〉=竽.

.•.该截面的面积为S=2。x挈=

故选：A.

【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

9.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）给出定义：设/（x）是函数y=/（x）的导函数,

f（x）是函数/（X）的导函数，若广（X）有零点刈，则称点（X）,/（X0））为原函

数y=/（x）的“拐点”.已知函数f（x）=777碧二的拐点是"（如，/（即）），则点何

（）

A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上

C.在直线尸寺上D.在直线y=；上

【考点】6D：利用导数研究函数的极值.

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用.

【分析】根据拐点的定义，结合导数公式求出〃的坐标，利用直线的斜率公式进行求解

即可.

【解答】解：09=蔡希苗

:.f(X)=----------2

(sinx+cosx)

2sinx—2cosx

f(x)=2

(sinx+cosx)

由/'(x)=0,得X=?

nsi•n-Trli

"Z)=S呜+COS厂2'

7T1

/•M(一,一).

42

.•.点M在直线产1±.

故选：D.

【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据拐点的定义求出M的坐标是解决本题的

关键，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

2y2

10.（5分）（2018•乐山三模）设双曲线"x一三=1（〃>0,Z?>0）的右焦点为凡过点尸

a1bz

作与x轴垂直的直线/交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设

0为坐标原点，若b=X&+n防（入，蚱R）,入•产1，则双曲线的离心率为（）

2V335/53y/29

A.---B.---C.---D.一

3528

【考点】KC：双曲线的性质.

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由方程可得渐近线，可得A,B,P的坐标，由已知向量式可得A+n=l,A-n=1,

解之可得入n的值，由;1〃=/可得a,c的关系，由离心率的定义可得.

bbehr

【解答】解：双曲线的渐近线为：产土/,设焦点"c,0）,则A（c,B（C，

b2

P(c,——),

a

TTTb2

TOP=/10/+〃。8,.•・(c,­)((入+|i)c,(入-Q——),

aa

.•.入+u=l,A-n=1,解得人=c+bc-b

F―方'

2

Qc+bc—b3a3

又由An=元得k＞五■=/'解得/=

.c2/3

・・e=一=—5—

a3

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题.

11.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知球。的直径长为12,当它的内接正四棱锥的

体积最大时，该四棱锥的高为（）

A.4B.6C.8D.12

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】33：函数思想；44：数形结合法；5Q：立体几何.

【分析】先设正四棱锥S-ABC。的底面边长等于a,底面到球心的距离等于x,得到x

与a,R之间的关系，又正四棱锥的高为力=R+x,从而得出正四棱锥体积关于x的函数

表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值.

【解答】解：设正四棱锥S-A8CZ）的底面边长等于a,

底面到球心。的距离等于x,

万

贝!J7+（—aa）2=36,

2

而正四棱锥的高为〃=6+x,

故正四棱锥体积为：

V(x)=^/仁g(72-2X2)(6+x)=1(36-7)(6+x)

i

=可(12-2x)(6+x)(6+x)

12—2%+6+%+6+x

<|x(3512

----------------------------)=

3~

当且仅当彳=2时・，等号成立，即正四棱锥体积取得最大值.

那么正四棱锥的高为力=8.

故选：C.

【点评】本题主要考查了球内接多面体、棱锥的体积等基本知识，考查了空间想象力,

属于中档题.

12.（5分）（2017•深圳二模）设实数入＞0,若对任意的在（0,+8）,不等式竽20

恒成立，则人的最小值为（）

112e

A.-B.—C.-D.—

e2ee3

【考点】3R：函数恒成立问题.

【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应

用.

【分析】由题意可得一竽）”面20,设f（x）=〃*一竽，x＞0,求出导数和单调区

间、极小值点，"和最小值点，可令最小值为0,解方程可得，小入，进而得到所求最小值.

【解答】解：实数入＞0,若对任意的（0,+8）,不等式竽20恒成立，

即为（碑一哈〃丽》0,

设/（x）=〃*一竽，x＞0,f（x）=入网一击，

令，G）=0,可得/'=J-,

Ax

由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，

可得＞=〃-'和y=有且只有一个交点，

设为(m,n),当团时，f(x)>0,f(x)递增；

当OVxVm时，f(x)<0,f(x)递减.

即有/(x)在%=相处取得极小值，且为最小值.

即有网”=4-,令/小―缥=0,

Am，

可得m=e,入=

则当人23寸，不等式*'一竽>0恒成立.

则人的最小值为士

e

另解：由于、=济、与)=铮互为反函数，

故图象关于y=x对称，考虑极限情况，y=x恰为这两个函数的公切线，

此时斜率k=\,再用导数求得切线斜率的表达式为k=会，

即可得入的最小值为士

e

故选：A.

【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单

调区间、极值和最值，考查方程思想，以及运算能力，属于中档题.

二.填空题.(每小题5分，共20分)

13.(5分)(2015•齐齐哈尔二模)若J；(2》+3dx=3+lnl(a>l),则〃的值是2.

【考点】67：定积分、微积分基本定理.

【专题】11：计算题.

【分析】根据题意找出的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a

值；

【解答】解：(2x+^)dx=(W+Inx)I?=a2+lna-(1+///1)=3+ln2,a>1,

/.a2+/na=4+/n2=22+//z2,解得“=2,

故答案为：2；

【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一

道基础题.

14.(5分)(2017秋•沙坪坝区校级期末)己知正方体ABCO-4B1CO1的棱长为〃，AM=

1tV21

5MQ,点N为8出的中点，则IMNI=­a.

乙5

【考点】MK：点、线、面间的距离计算.

【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离.

【分析】以。为原点，D4为x轴，OC为y轴，。以为z轴，建立空间直角坐标系，由

此能求出明川.

【解答】解：正方体ABC。-AiBiCjQi的棱长为“，

AM=*MCi，点N为B18的中点，

以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

i2aaa

则A（a,0,0）,Ci（0,a,a）,M（——，一,一）,

333

【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档

题.

15.（5分）（2013•东至县一模）若函数于（x）=2/-Inx在其定义域内的一个子区间（k-1,

3

k+\）内不是单调函数，则实数/的取值范围是［1,：）.

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.

【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原

函数单调递减得解.

【解答】解：因为/G）定义域为（0,+8）,

11

又/（x）—4x——r由/（x）=0,得x=

据题意，卜一1号4+1,解得1WZV.

l/c-1>0/

3

故答案为：[1,-）

【点评】本题主要考查函数的单调性与导函数的关系.属基础题.

一X2V2

16.（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知椭圆C—4-77=1（4Q0）的一个焦

a2b2

点为尸（旧，0）,A为椭圆C的右顶点，以4为圆心的圆A与直线相交于PQ

，a

TTTT2V10

两点,S.AP-AQ=0,OP=3OQ,则圆A的半径为一g一.

【考点】K4：椭圆的性质.

【专题】34：方程思想；44：数形结合法；5C：向量与圆锥曲线.

【分析】由题意画出图形，结合已知求得。，从可得椭圆方程，求出A到直线的

距离，进一步可得圆A的半径.

【解答】解：如图，设T为线段PQ的中点，连接AT,

MAT±PQ,H7]=界Q],

又65=3访，则|O7]=|PQ,

\AT\1b1.广

----=一，即一=一，由已1矢A11c=V3,

\OT\2a2

则d=4,y=1,

x2

故椭圆方程为一+y2=1.

4

又|A7]2+|0Tl2=4,则|A7]2+4HT]2=4,

可得H7]=等，则r=HP|=之詈.

上心小上山2^410

故答案为：一--

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，是中档题.

三.解答题.(共6小题，共70分)

17.(10分)(2017秋•沙坪坝区校级期末)已知三次函数/(x)=?-far2+/?(a,b€R).

(1)若曲线y=/(x)在点(a+1,/(a+D)处切线的斜率为12,求。的值；

(2)若f(x)在区间［7,1］上的最小值为-2,最大值为1且”>1,求函数fG)的

解析式.

【考点】6E：利用导数研究函数的最值.

【专题】34：方程思想；48：分析法；53：导数的综合应用.

【分析】(1)求得了(x)的导数，可得切线的斜率，解方程可得a的值；

(2)求得f(x)的极值点和极值，端点处的函数值，可得/(x)的最值，解方程可得a,

b,即可得到/(x)的解析式.

【解答】解：因为三次函数/G)2+6的导数为/(%)=3/-3分，

(1)由导数的几何意义可得切线的斜率为&=3(«+1)2-3a(a+1)=12,

.•.3a=9,/.«=3；

(2)由f(x)=3x(x-a)=0得xi=0,X2=a9

VxG［-1,1］,且。>1,

・・・当疣［-1,0)时，f(x)>0,f(x)递增;

当在(o,i］时，/(x)<0,y(x)递减.

.V(%)在区间［-1,1］上的最大值为了(o),

V/(0)=b,：.b=l9

3333

■:于(1)=1—乃+1=2—2。，/(-1)=-1—2白+1=-2。，

・・・/(-1)V/(0),・♦・/(-1)是函数/(x)的最小值，

-3_°._4

•・一2^-—z,••〃=w,

'.f(x)=/-2X2+1.

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查化简整理的运算能

力，属于中档题.

18.(12分)(2017秋•沙坪坝区校级期末)四棱锥尸-48C。的底面是边长为1的正方形,

PAVCD,B4=l,PD=y/2,E,尸为尸。上两点，且PF=ED=^PD.

(1)求证：B尸〃面ACE；

(2)求BF与平面PC。所成角的正弦值.

【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角.

【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空

间角.

【分析】(1)连结8Q,交AC于点O,连结OE,则EO〃BF,由此能证明BF〃平面ACE.

(2)推导出B4_LC£>,PALAD,从而必上面人次笫，以4为坐标原点，A8为x轴，AD

为)'轴，AP为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出8尸与平面尸。所成角的正弦值.

【解答】证明：(1)连结B。，交AC于点O,连结OE.

<ED=EF,DO=BO,J.EO//BF,

：EOu平面4CE,EFC平面ACE,

.•.8/〃平面ACE.

解：(2)'JPALCD,又％2+A£>2=P£)2,：.pA_\_AD,

'：CDC\AD=D,：.PAL^\ABCD,

以A为坐标原点，A8为x轴，AO为y轴，AP为z轴，建立坐标系.

则8(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),C(1,1,0),

TT11T12

CP=(-1,-1,1),CE=(-1,-5，力BF=(-1,一，-),

3333

设面PCD法向量?i=(x,y,z),

n-CP=—x—y-^-z=O

--11

(九•CE=—gy+/=0

取y=l,得£=(0,1,1),

令8尸与平面PCD所成角为a,

则sina=|cos<BF,n>|=江"，=

|BF|.|n|I,

【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线

面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转

化思想、数形结合思想，是中档题.

19.（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知尸（0,1）,直线/：y=-\,P为平面上的

动点，过点尸作/的垂线，垂足为。，且前・淳=而•而，P点的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）若A（0,2）,/为C在P点处的切线，求点A到/距离的最小值.

【考点】J3：轨迹方程.

【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】（1）设出点尸（x,y）代入题中向量等式，整理可得到点P轨迹C的方程为f

=4y；

（2）设P（xo.和）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的

距离公式即可求得A点到/距离，然后利用基本不等式求出其最小值.

【解答】解：（1）设P（x,y）,则Q（x,-I）,

\"QP-QF=FP-FQ,

(0,y+1)•(-x,2)=(x,y-1)e(x,-2).

即2（y+1）=/-2（y-1）,即/=4y,

，动点P的轨迹C的方程/=4y；

（2）设P（刈，加）为曲线C：y=#上一点,

・，

♦・），=产j-

1

・・・/的斜率为:即，

2

1

因此直线/的方程为y-yo=2xo（1-即），即无M-2）叶2加=0.

则A点到/的距离d=与逊=2xly°+21=窄坦==+1+>2.

J四+4J4yo+4J'o+l卜o+l

.•.A点到/距离的最小值为2.

【点评】此题是个中档题.考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以

及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创

造性地分析问题、解决问题的能力.

20.（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）如图，四边形ABC。是等腰梯形，AB//CD,Z

ABC=60°,AB=2CB=4,在梯形ACE/中，EF//AC,KAC=2EF,ECl¥ffiABCD.

（1）求证：面FEBXffiCEB；

TC

（2）若二面角O-Ab-C的大小为:，求几何体ABCOE/的体积.

4

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直.

【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角.

【分析】（1）由余弦定理求出4C,得出AC_L8C,又ACLCE得出4C_L平面8CE,于

是EF_L平面3CE,故而平面BEF_L平面BCE；

（2）以C为原点建立坐标系，设CE=/z,求出平面AOF和平面AC尸的法向量京CB,

令|cos<n,CB>\=与解出h,于是几何体ABCDEF的体积V=VD-ACEF^VB-ACEF.

【解答】证明：(I)VAB=4,BC=2,ZABC=60°,AC=

yIAB2+BC2-2AB-BC-cos60°=2V3.

：.AC2+BC2=AB2,：.AC1.BC.

VCE±¥ffiABCD,ACu平面A8C£>,：.CELAC,又CEu平面BCE,8Cu平面8CE,

DEQBC=C,

；.AC_L平面BCE,

'：AC//EF,：.EF±nBCE,

又EFu平面BEF,

平面平面BCE.

(2)以C为原点，以CA,CB,CE为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：

设CE=h,则C(0,0,0),A(2V3,0,0),F(V3,0,h),D(8，-1,0),B(0,

2,0).

：.AD=(-V3,-1,0),AF=(-V3,0,h),

TA一o

n-

设平面尸的法向量为n=(x,y,z),T-

no

噂"y一°,令z=%得n=(卜,—y/3h,V3).

-V3x+hz=O

,.♦8。_1_平面4位巴，&=(0,2,0)为平面AC尸的一个法向量,

y[3h

.,.cos<n,&>=二空=-2同=

\n\\CB\2J4;I2+34/I2+3

42

,.==cos450

V4h2+3T'

解得人等.即CE邛

•"­VD-ACEP^=^S^ACEF-\yD\=|x|x(V3+2遮)x乎x1=乎.

Vl3-ACEF=/S梯形ACEF.BC=4x2X(8+2V3)x字X2=

几何体ABCDEF的体积V—VD-ACEF+VB.ACEF=与Z+3竽=

z，

【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，棱锥的体积计算，属

于中档题.

%2y2

21.（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）从椭圆C：—+—=1（h>0）上一点P向x

2b2

轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点Fi,M是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且

MN=入心（A>0）.

（1）求该椭圆C的方程；

（2）不过原点的直线/与椭圆C交于A,B两点，已知04,直线/,。8的斜率所，k,

心成等比数列，记以0A,08为直径的圆的面积分别为Si，S2,求证：Si+8为定值，并

求出定值.

【考点】KL：直线与椭圆的综合.

【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题.

1.

【分析】（1）由题可知P（-c,7）,由疝V=MP（入>0）,可得旦=所以l=c,

V2ca

a2=2即可得到所求椭圆方程.

（2）设直线/的方程为y="+〃?，代入椭圆方程，消去y,根据由、k、幻恰好构成等比

数列，求出k,进而表示出S1+S2,即可得出结论.

1

【解答】解：（1）由题可知P（-C,由疝V=入6P（A>0）,可得包=所以1

V2ca

=c,〃2=2,