2022-2023学年吉林省通化市梅河口五中高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省通化市梅河口五中高一(下)期末数学试

卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2,则该圆锥的体积等于()

A.JiB.-\Z~3TTC.D.27r

2.若P(AB)=g,P(A)=|,P(8)=J则事件4与B的关系是()

A.事件4与B互斥B.事件4与B对立

C.事件4与B相互独立D.事件4与8既互斥又相互独立

3.在下列判断两个平面a与B平行的4个命题中，真命题的个数是()

(l)a、£都垂直于平面r,那么a〃仇

(2)a、。都平行于平面r,那么a〃。.

(3)a、0都垂直于直线I,那么a〃八

(4)如果hm是两条异面直线,且〃/a,m//a,////?,m///?,那么a〃/?.

A.0B.1C.2D.3

4.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名

的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是()

2452

CD

A----

9993

5.已知向量为=(5,12),b=(2,0).c=a+tb>若=〈b,。，则t=()

A.-yB.-yC.yD.y

6.如图1,在高为八的直三棱柱容器ABC-中，现往该容器内灌进一些水，水深为2,

然后固定容器底面的一边4B于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为

&B1C(如图2),则容器的高九为()

图1

A.B.3C.4D.6

7.在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,"为棱PC的中点，则异面直线AC,BM所成角

的余弦值为()

A.CB.白C.jD.U

2356

8.已知△ABC中，AB=2,AC=3,&=60°,BJBM=^BC,AN=NB,则前•丽=(

A.|B.|C.8D.9

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题

知识竞赛,其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10同学的成绩依次是：85,77,92,88,

95,88,93,92,96,84.则下列针对该组数据说法正确的是()

A.平均数为89,方差为3.06B.中位数为90,众数为88和92

C.每个数都加5后平均数和方差均无变化D.75%分位数为93,极差为19

10.已知向量五是在平面直角坐标系中的位置如图所示,若网格

中每个小正方形的边长均为1,则下列选项中正确的是()

A.a-b=6

B.向量石在向量2方向上的投影向量为?行

C.(a+b)1(a-K)

D.益=(-1,2),^\c//(a-b)

11.甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4,5,5,6,6,7,7,8,

8,9,乙的环数小到大排列为2,5,6,6,7,7,7,8,9,10.则()

A.甲的环数的70%分位数是7B,甲的平均环数比乙的平均环数小

C.这20个数据的平均值为6.6D.甲的成绩比乙的成绩更稳定

12.某圆柱的侧面展开图是长为4cm、宽为2cm的矩形，则该圆柱的体积可能为()

3333

A.-ncmB.-ncmC.-ncmD.—ncm

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在复平面内，复数z对应点的坐标为(2,-1),则(l+i)-z=.

14.若一组数据修，%2,•..>Xn的方差为2，则数据3/一2,3x2-2,…，一2的方差为

15.在AABC中，点M,N满足：AM=2MC，丽=3配，若而=x荏+y芯则：=

16.已知向量五=(1,2),3=(2,-2),弓不=,五在石方向上的投影向量是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知平面向量落b满足|方|=4,|b|=3"a-h=6-

(1)求五与石的夹角；

(2)求|3百一4方|.

18.(本小题12.0分)

如图，在棱长为2的正方体ABC。-A/iGCi中，E为。劣中点，。为4C与2。的交点.

(1)求三棱锥E-4DC的体积；

(2)证明：BD]〃平面4EC；

(3)证明：当。_1平面/^^

19.（本小题12.0分）

4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层

随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名经调查

统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位，小时）的频数分布表和60名女生一周课外

阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图（以各组的区间中点值代表该组的各个值）

男生一周阅读时间频数分布表

小时频数

[0,2)9

[2,4)25

[4,6)3

叵8)3

（1）从一周课外阅读时间为［4,6）的学生中按比例分配抽取6人，则男生，女生各抽出多少人?

（2）分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数五介

（3）估计总样本的平均数5和方差s2.

参考数据和公式；男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为sj=2.4和s2=3.

s2=会[求式々—-+鹏以-分2+£幽-y)2+鹉(亍-z)2]，啾0<i<40)和

%（0<i<60）分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中iGZ.

女生一周自读时间频率分布宜方图

20.(本小题12.0分)

如图，在正三棱台力BC-A/iG中，43=1,AB=3,过棱41cl的截面a与棱ZB,BC分

别交于E、F.

(1)记几何体EBF—4B1G和正三棱台ABC-&B1G的体积分别为匕，彩，若引=看，求E尸的

长度；

(2)若BBi=2，？，求直线与平面ACC1&所成角的正弦值.

21.(本小题12.0分)

如图，在棱长为1的正方体4BCD-&B1CD1中，E,F,G分别是。久，BD,8当的中点.

(1)求EF与CG所成角的余弦值；

(2)求点G到平面CEF的距离.

22.(本小题12.0分)

三棱锥卜-4BC中，平面IMB1平面ABC,△1MB为等边三角形，AC1BC且AC=BC=

。、M分别为48、V4的中点.

(1)求证：VB〃平面MOC；

(2)求证：平面MOC，平面忆48；

(3)求三棱锥厂-4BC的体积.

(要求此题使用定理证明)

V

M

B

c

答案和解析

I.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题.

根据题意求出圆锥的母线、底面半径和高，再计算圆锥的体积.

【解答】

解：如图所示，

圆锥的母线为1=2,底面半径为r=l,

所以圆锥的高为h=VI2—r2=

所以圆锥的体积为V=ixnr2xft=X7Tx

故选：A.

2.【答案】C

【解析】解：・••「(?!)=l-P口)=1一：=：,

P(AB)=P(A)P(B)=!羊0，

•••事件4与B相互独立、事件4与B不互斥，故不对立.

故选：C.

结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.

本题主要考查相互独立事件的概率公式，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：

对于(1),a、£都垂直于平面r,则a与0可以平行和可能相交，错误：

对于(2),平行与同一个平面的两个平面平行，正确；

对于(3),垂直于同一直线的两个平面平行，正确；

对于(4),Z,TH是两条异面直线，1//a,m//a,1//P，rn.///3,

则存在直线使得加〃血，且相交，

设，，M确定的平面y,

由面面平行的判定可知y〃a,同理可得y〃氏贝布〃/?,故(4)正确.

正确的有3个；

故选：D.

根据题意，依次分析4个命题是否正确，即可得答案.

本题考查直线与平面的位置关系，涉及命题真假的判断，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：甲校的3名教师记为A,B,1,乙校的3名教师记为C,2,3,其中A,B,C表示男

教师，1,2,3表示女教师，

若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果有：

AC,A2,A3,BC,B2,B3,1C,12,13,共计9个，

选出的2名教师性别相同的结果有4C,BC,12,13,共计4个；

则选出的2名教师性别的概率为P=5.

故选：B.

用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.

本题考查了列举法求古典概型的概率问题，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解:c=(2t+5,12),

——»

v<a,c>=<b,c>，

：■cos<a,c>=cos<b,c>y

.ac_be

"|a||c|-|5||?r

...10t+；；+144=写£,解得t=竽.

故选：C.

可求出E=(2t+5,12),根据<n,c>=<b,c>得出cos<a,c>=cos<b,c>，然后即可得出关

于t的方程，解出t的值即可.

本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查

了计算能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：在图1中曝=S底9-2,

12

水=

在图2中，VVABC_A1B1Ci-VC_A1B1C1=AA1-AAt=AAr,

2

底面，底面.

"S2=qSAA1，AAr=3.

故选:B.

利用两个图形装水的体积相等即可求解.

本题主要考查等体积法的应用，空间想象能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：如图，为PC的中点，.••丽=丽一丽=2同一而，且前=正一方，乙BPC=

Z.APB=60°,Z.APC=90°,|西=|而|=|南=2,

：.~BM-AC=(^PC-PBy(PC-PA)=1PC2-^PA-PC-'PB-PC+PA^B=2,

又|丽?|=O,\AC\=2，7，

••9＜丽刀＞=黯=方"=9

故选：D.

可画出图形，根据条件得出两=：正-丽，AC^PC-PA，然后进行数量积的运算可求出丽•

就=2，并求出|而|=C,|正|=2/7，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos<

而，前〉的值，然后即可得出异面直线AC,BM所成角的余弦值.

本题考查了通过向量求异面直线所成角的余弦值的方法，向量夹角的余弦公式，向量减法和数乘

的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：己知AHBC中，AB=2,AC=3,乙4=60。，

又丽AN='NB,

则前-NM=AC-(BM-前)=AC■(^BC+=AC-(^AC+=|^4?2+^AC-AB=

<34OOOO

ix^+lx2x3xl=Z.

故选：B.

由平面向量的线性运算，结合平面向量的数量积运算求解即可.

本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量的数量积运算，属基础题.

9.【答案】BD

85+77+92+88+95+88+93+92+96+84

【解析】解：对于4平均数为=89,

10

89)2+(96-89)2+(84-89)2]=30.6,

故选项A错误；

对于8,中位数为西罗=90,众数为88和92,故选项B正确;

对于C,根据平均数和方差的性质可得，每个数都加5后平均数对应的加上5,

方差不发生改变，故选项C错误;

对于。，因为10x75%=7.5,所以77,84,85,88,88,92,92,93,95,96的第75%分位

数为93,

极差为96-77=19,选项。正确.

故选：BD.

根据平均数、方差、中位数、众数和极差的概念，逐项进行计算验证即可求解.

本题考查数据的特征，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：由图可得习=(3,0)5=(2,2)，

对于4,'.'a-/j=3x2=6＞正确；

对于B,•向量石在向量方方向上的投影向量为：

㈤cos＜落方＞喝=需亩=(2,0)=匏，正确；

对于C,1=(5,2)五一方=(1,一2)，

(a+6)-(a—b)=5x14-2x(—2)=1力0，错误；

对于•茨=(-1,2),a-b=(1,-2).

：.c=-(a-b)＞故不//何一石)，正确.

故选：ABD.

利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项.

本题考查向量的数量积的运算，投影向量的概念，向量共线定理的应用，属中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：对于4因为10x70%=7,所以甲的环数的70%分位数是竽=7.5,故A错误;

4+5+5+6+6+7+7+8+8+9

对于B,“甲=6.5,

10

2+5+6+6+7+7+7+8+9+10「_

X乙=---------W---------------=6.7,

所以x甲＜x乙,故8正确;

对于C,这20个数据的平均值土=丝笔产丑=6.6,故C正确；

对于。，sg=告x[(4-6.5)2+2x(5-6.5)2+2x(6-6.5)2+2x(7-6.5)2+2x(8-

6.5)2+(9—6.5产]=2.25,

sj=±x[(2-6.7)2+(5-6.7)2+2x(6-6.7)2+3x(7-6.7)2+(8-6.7)2+(9-6.7)2+

(10-6.7)2]=4.41,

所以，＜s*故O正确.

故选：BCD.

根据百分位数的定义可求解4选项；根据平均数的公式可求解8、C选项；根据方差的公式可求解。

选项.

本题主要考查了百分位数、平均数和方差的计算，属于基础题.

12.【答案】AC

【解析】解：••・侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，

若圆柱的底面周长为4cm,则底面半径R=-ncm,h—2cm,

23

此时圆柱的体积V=nRh=-TCcm

若圆柱的底面周长为2cm,则底面半径R=」cm,h=4cm,

it

23

此时圆柱的体积V=7iRh=-ncm.

故选：AC.

已知圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4sH，高为2sn的

和圆柱的底面周长为2cm,高为4cm,两种情况分别由体积公式即可求解.

本题主要考查圆柱的体积公式，圆柱的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题.

13.【答案】3+1

【解析】解：复数z对应点的坐标为(2,-1),

z=2,-i,(1+i),z=(1+i)*(2—i)=2+2i—i—F=3+i.

故答案为：3+i.

由对应点的坐标求出复数z,代入算式中化简.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

14.【答案】18

【解析】解：因为一组数据与，x2，…，X”的方差为2,

所以数据3/-2,3次一2,…，3与一2的方差为32x2=18.

故答案为：18.

利用方差的性质求解即可.

本题主要考查了方差的性质，属于基础题.

15.【答案埒

【解析】解：因为而7=2祝，前=3近，

111111

旅

一

而

而

荏

所以丽=祝+丽=：近+---+-S+--+-

43444

12

MN=x^B+yX?,

根据平面向量基本定理得x=；,y=2,2V.

4J12x3

故答案为：i

由已知结合向量线性表示及平面向量基本定理可求，y,进而可求.

本题主要考查了平面向量基本定理及向量的线性表示，属于基础题.

16.【答案】-2（-另）

【解析】解：日•方=1x2+2x（-2）=-2，

/—T、一21

cos<a，b>=7^n=-n'

五在方方向上的投影向量是曷x（-忐）3=（一另），

故答案为：—2；（-：,；）•

利用向量的数量积、向量的夹角公式、投影向量的公式即可求解.

本题考查向量的模，向量共线定理坐标运算，向量夹角公式，投影向量的定义，方程思想，属基

础题.

17.【答案】解：（1）设弓与石的夹角为0,

因为伍|=4,|匕|=3,a-b=6>

所以cosO--区-

|a||b|4x32

又0W。式兀，

所以。=或

即为与加夹角为亲

⑵由题意得，|3五一43|=J(3五一4年)2=J9片-24心。+16产=

V9x16-24x6+16x9=12.

【解析】(1)根据定义法直接求解即可；

(2)根据平方关系的转化求解向量的模即可.

本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题.

18.【答案】⑴解:因为正方体48CD-4B1C15的棱长为2,

所以三棱锥E-ACC的体积为/voc=j-S^ADC-DE=jXiX

2

2x2x1=j；

(2)证明：因为。为AC与BD的交点，所以。为BO的中点，

又E为。名的中点，所以0E//8A，

又OEu平面ZEC,BDiC平面4EC,

所以BDi〃平面4EC；

(3)证明：因为DBJ.BB1，DB1XC,BB^CBD=B,

所以4C，平面

又J。u平面8180。1，所以名。：。.

在矩形8道。。1中，tanNBB]O=苧，

tanZ-EOD=?，所以4口为。=Z.EOD,

所以3。8+/.EOD=90。.所以当。10E.

又因为0En4C=。，所以为。J_平面4EC.

【解析】(1)利用三棱锥的体积公式计算即可；

⑵证明OE〃BD「即可证明BE)”/平面4EC；

(3)利用线面垂直的判定定理证明AC1平面BiBDCi，得B1OJ.AC,再证明当。10E,从而证明

当。1平面力CE.

本题考查了证明直线和平面平行与垂直的应用问题，也考查了三棱锥体积的计算问题，是中档题.

19.【答案】解：(1)一周课外阅读时间为［4,6)的学生中男生有3人，女生有〈X2x60=15人，

O

若从中按比例分配抽取6人，则男生有6x寡=1人，女生有6X孤=5人.

(2)估计男生一周课外阅读时间平均数工=1X9+3X2：：5X3+7X3=3；

估计女生一周课外阅读时间的平均数歹=：^x2xl+:x2x3+；x2x5+±x2x7=4.

Z44o1Z

(3)估计总样本的平均数W=3X4需X60=36,

4摩式々-x)2=sj=2.4,^Sf=i(yi-y)2=4=3,

•••Sf=i(Xi-%)2=sQ40=2.4x40=96,£陷—y)2=s%•60=3x60=180,

Sf=i(x-z)2=40x(3-3.6)2=14.4，£图(亍一=60x(4-3.6)2=9.6,

2

As=击［96+14.4+9.6+180］=3,

.•・估计总样本的平均数W=3.6,方差s2=3.

【解析】(1)首先求出［4,6)中女生的人数，再利用分层抽样计算规则计算可得；

(2)根据平均数公式计算可得；

(3)首先求出总体的平均数，再根据所给公式及数据求出总体的方差.

本题主要考查频率分布直方图，平均数和方差公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题.

20.【答案】解：⑴••,三棱台ABC—4出口是正三棱台，&G〃平面4BC,

•••&Gu平面a,平面aD平面ABC=EF,：.A^f/EF,

若BE=44B,则8E=&Bi，几何体EBF-a8心是三棱柱，

记SAA/CI=S'，S«BEF-S「SMBC—S2=9S'，

/_3S'_3,7

此时弓=77声荔=百百’不满足题意'舍去；

因此BE>g4B,设Ea与BBi交于点。，E&与FG交于点名,

则舞=整，筌=普，因为&Bi=&G，BE=FE,

二第=笔，。=。1，即E4，FC,BBi交于同一点，

几何体E8F-ABC是三棱台,

/1_S，+癖;+51_7.c…

-

•p-I--一TV..Si—4S，•••EF=2A1B1=2；

々s'+JS'S2+S213

(2)如图，延长力久,BB],CCi交于点G,作4c中点H,连接HB,HG,

"AC1HB,AC1HG,HGCHB=H,HG,u平面HBG,

•••ACJL平面HBG,过B作BM_LHG交"G于M,贝U4C1BM,

•••HGCAC=H,HG,ACu平面4CQ4],BM_L平面4CG4i，

NHGB为直线BBi与平面4CCi4所成的角，

„/—x..3V_3_,,3V11

vGBn=3oV3,BnH=-y-，GH=——,

.•.在△GHB中，由余弦定理可得，

HG2+BG2-BH2(守)2+(3U)2一(亨心5K

cos乙/UHGrBB=----=—乙-----r-f==--------------=F—，

2HGBG2X5£HX3AT333

二直线BBi与平面4CG4所成角的正弦值为要.

【解