2017年03月28日初中数学组卷

2017年03月28日阿木的初中数学组卷

一.选择题（共9小题）

1.如图，在AABC中，ZBAC=90°,NABC=2NC,BE平分NABC交AC于E,AD

_LBE于D,下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③/

DAE=NC；④BC=4AD,其中正确的有（）

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，在△ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,DE_LAB于E,则下列结论：①

DE=CD；②AD平分NCDE；③NBAC=NBDE；④BE+AC=AB,其中正确的是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.4ABC在如图所示的平面直角坐标系中，将aABC向右平移3个单位长度后

得△AiBiJ,再将△AiBiCi绕点。旋转180。后得到4A2B2c2.则下列说法正确的

是（）

A.A1的坐标为⑶1)B,S四边形.4=3

11

C.B2c=2&D.ZAC2O=45°

4.ZXABC中,ZACB=90°,NA=a,以C为中心将△ABC旋转6角到AAiBiC(旋

转过程中保持^ABC的形状大小不变)B点恰落在A1B1上，如图，则旋转角e的

A.a+10°B.a+20°C.aD.2a

5.现有一列式子：(T)552-452；②5552-4452；③55552-44452...则第⑧个式子

的计算结果用科学记数法可表示为()

A.1.1111111X1O16B.1.1111111X1027

C.1.111111X1056D.1.1111111X1017

6.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为()

A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4

C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=J3(经过点A,作AB_Lx轴于点B,

将aABO绕点B逆时针旋转60。得到aCBD.若点B的坐标为(2,0),则点C的

坐标为()

A.(-1,遥)B.(-2,V3)C.(-43,1)D.(-遥，2)

8.如I图，将边长为3&的等边aABC沿BC方向向右平移得到△ABC,若aABC

与△ABC重叠部分面积为2«,则此次平移的距离是()

9.如图，两个等边^ABD,ACBD的边长均为1,将4ABD沿AC方向向右平移

到△ABD，的位置，得到图2,则阴影部分的周长为()

A.1B.2C.2.5D.3

二.填空题(共6小题)

10.已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)<0的解，且x=l不是这个不等式的

解，则实数a的取值范围是—.

11.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以点A为圆心，任意长为半径画弧

分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心，大于J_MN的长为半径

2

画弧，再画弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列结论：①AD是/

BAC的平分线；②NADC=60。；③点D在AB的垂直平分线上；@SAABD=2SAADC.其

中结论正确的序号为.

12.如图，边OA,0c分别在x轴、y轴的正半轴上，OA〃BC,D是BC上一点,

BD=±0A=^,AB=3,NOAB=45。，E,F分别是线段OA,AB上的两个动点，且

始终保持NDEF=45。，若4AEF为等腰三角形，则0E的长为

13.如图，CD是RtZVXBC斜边AB上的高，将4BCD沿CD折叠，B点恰好落在

AB的中点E处，则ZA等于度.

中，ZA=36",AB=AC,AB的垂直平分线0D交AB于点0,

交AC于点D,连接BD,以下结论:

①NC=2NA；②BD平分NABC；（3）SABCD=SABOD；④点D到线段BC的距离等于线

段0D的长.

其中正确的是—（把所有正确结论的序号都填在横线上）.

15.如图，在aABC中，ZA=36°,AB=AC,AB的垂直平分线0D交AB于点0,

交AC于点D,连接BD,以下结论:

®ZC=2ZA；

②BD平分NABC；

@SABCD=SABDO：

④点D到线段BC的距离等于线段0D的长.

其中正确的是—（把所有正确结论的序号都填在横线上）

三.解答题（共15小题）

16.在4ABC中，CA=CB,ZACB=120°,将一块足够大的直角三角尺PMN（Z

M=90。、NMPN=30。）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直

角边PM始终经过点C,并且与CB的夹角/PCB=a,斜边PN交AC于点D.

（1）当PN〃BC时，ZACP=度；

（2）当a=15。时，求NADN的度数；

（3）在点P的滑动过程中，4PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请

说明理由；若可以，请求出夹角a的大小.

17.现有如图①所示的两种瓷砖.请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正

方形地板图案，使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形（如示例图②）.

（要求：分别在图③、图④中各设计一种与示例图不同的拼法，这两种拼法各不

相同，且在图③拼成的图案是轴对称图形，在图④拼成的图案既是轴对称图形，

18.在AABC中，AB=AC,ZBAC=a（0°<a<60"）,点D在AABC内，且BD=BC,

ZDBC=60°.

（1）如图1,连接AD,直接写出NABD的度数（用含a的式子表示）；

（2）如图2,ZBCE=150°,ZABE=60°,判断^ABE的形状并加以证明;

（3）在（2）的条件下，连接DE,若NDEC=45。，求a的值.

DD

B-----------CaC

图1图2

19.如图，在等边^ABC中，点D为^ABC内的一点，ZADB=120°,ZADC=90°,

将aABD绕点A逆时针旋转60。得aACE,连接DE.

(1)求证:AD=DE；

(2)求/DCE的度数；

(3)若BD=1,求AD,CD的长.

20.如图，根据图中信息解答下列问题：

(1)关于x的不等式ax+b>0的解集是一

(2)关于x的不等式mx+nVl的解集是

(3)当x为何值时，y02?

21.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友

快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物

品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15

元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品

x千克.

（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之

间的函数关系式；

（2）小明选择哪家快递公司更省钱？

22.已知:在Z\ABC中,AC=BC,ZACB=90°,过点C作CD_LAB于点D,点E是

AB边上一动点（不含端点A、B）,连接CE,过点B作CE的垂线交直线CE于点

F,交直线CD于点G（如图①）.

（1）求证:AE=CG；

（2）若点E运动到线段BD上时（如图②），试猜想AE、CG的数量关系是否发

生变化，请直接写出你的结论；

（3）过点A作AH垂直于直线CE,垂足为点H,并交CD的延长线于点M（如

图③），找出图中与BE相等的线段，并证明.

23.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、

图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），

（1）在图1中，图①经过一次—变换（填"平移"或"旋转"或"轴对称"）可以得

到图②；

（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点

（填"A"或"B"或"C"）；

（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90。后的图④.

24.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，^ABC的

三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-4,0),C(0,0)

(1)画出将^ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的

△AiBiG；

(2)画出将△ABC绕原点0顺时针方向旋转90。得到△A2B2O；

(3)在x轴上存在一点P,满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P

25.对于实数X,我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[L2]=l.

(1)[0.5]=；[-2.5]=,

(2)若[史1]=5,求x的取值范围.

10

26.如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半

轴交于点M、N,且0M=6cm,ZOMN=30°,等边△ABC的顶点B与原点。重合,

BC边落在X轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2,将等边4ABC

从图1的位置沿x轴正方向以lcm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交

于点E、F,在^ABC平移的同时，点P从^ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度

沿折线B-A-C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平

移.设aABC平移时间为t(s),4PEF的面积为S(cm2).

(1)求等边4ABC的边长；

(2)当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取

值范围；

(3)点P沿折线BfAfC运动的过程中，是否在某一时刻，使4PEF为等腰三

角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由.

右平移得到aDEF,若AE=8cm,DB=2cm.

(1)求aABC向右平移的距离AD的长；

(2)求四边形AEFC的周长.

28.问题：如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，NEAF=45。,

试判断BE、EF、FD之间的数量关系.

【发现证明】

小聪把4ABE绕点A逆时针旋转90。至^ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图

(1)证明上述结论.

【类比引申】

如图(2),四边形ABCD中，NBADW90。，AB=AD,ZB+ZD=180°,点E、F分

别在边BC、CD±,则当NEAF与NBAD满足关系时，仍有EF=BE+FD.

【探究应用】

如图(3),在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80

米，ZB=60°,ZADC=120°,ZBAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且

AE±AD,DF=40(5/3-1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路

EF的长(结果取整数，参考数据：&=1.41,后1.73)

29.为培养学生养成良好的"爱读书，读好书，好读书”的习惯，我市某中学举办

了"汉字听写大赛"，准备为获奖同学颁奖.在购买奖品时发现，一个书包和一本

词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典.

（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？

（2）学校计划用总费用不超过900元的钱数，为获胜的40名同学颁发奖品（每

人一个书包或一本词典），求最多可以购买多少个书包？

30.如图，在aABC中，AB=BC,CD_LAB于点D,CD=BD,BE平分NABC,点H

是BC边的中点，连接DH,交BE于点G,连接CG.

（1）求证：AADC^AFDB；

（2）求证：CE=1BF；

2

（3）判断aECG的形状，并证明你的结论；

（4）猜想BG与CE的数量关系，并证明你的结论.

DB

2017年03月28日阿木的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

1.（2016春•永新县期末）如图,在△ABC中，ZBAC=90°,ZABC=2ZC,BE平

分NABC交AC于E,ADLBE于D,下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC

的垂直平分线上；③NDAE=NC；④BC=4AD,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据角平分线的定义可得N1=N2,然后求出N2=NC,再根据等角对等

边可得BE=CE,结合图形AC-CE=AE,即可得到①正确；根据等腰三角形三线合

一的性质即可得到点E在线段BC的垂直平分线上，从而得到②正确；根据直角

三角形的性质分别得到NDAE和NC的度数，从而得到③正确；根据含30。的直

角三角形的性质可得AB和BC,AD的关系，进一步得到BC和AD的关系，从而

得到④正确.

【解答】解:如图，IBE平分NABC,

/.Z1=Z2,

VZABC=2ZC,

.*.Z2=ZC,

/.BE=CE,

VAC-CE=AE,

.'.AC-BE=AE,故①正确；

VBE=CE,

...点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确;

VZ1=Z2=ZC,

.ZC=Zl=30",

.*.ZAEB=90o-30°=60°,

AZDAE=90°-60°=30°,

.,.ZDAE=ZC,故③正确;

在RtZ\BAC中，ZC=30°,

JBC=2AB,

在Rtz^BDA中,Zl=30°,

；.AB=2AD,

/.BC=4AD,故④正确；

综上所述，正确的结论有①②③④.

故选D.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三

角形的性质，利用含30。的直角三角形的性质是解题的关键.

2.（2016春•市南区期末）如图，在^ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,DE±

AB于E,则下列结论：①DE=CD；②AD平分NCDE；③NBAC=NBDE；④BE+AC=AB,

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①根据角平分线的性质得出结论：DE=CD；

②证明^ACD丝z^AED,得AD平分NCDE；

③由四边形的内角和为360。得NCDE+NBAC=180。，再由平角的定义可得结论是

正确的；

④由△ACD^^AED得AC=AE,再由AB=AE+BE,得出结论是正确的.

【解答】解：①•.•/C=90°,AD平分NBAC,DELAB,

，DE=CD；

所以此选项结论正确；

②；DE=CD,AD=AD,ZACD=ZAED=90°,

.'.△ACD^AAED,

，ZADC=ZADE,

AAD平分NCDE,

所以此选项结论正确；

③；ZACD=ZAED=90°,

Z.ZCDE+ZBAC=360°-90°-90°=180°,

VZBDE+ZCDE=180",

/.ZBAC=ZBDE,

所以此选项结论正确；

©,/△ACD^AAED,

，AC=AE,

VAB=AE+BE,

，BE+AC=AB,

所以此选项结论正确；

本题正确的结论有4个，故选D.

【点评】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条

垂线段相等；本题难度不大，关键是根据HL证明两直角三角形全等，根据等量

代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系.

3.（2009•牡丹江）^ABC在如图所示的平面直角坐标系中，将^ABC向右平移3

个单位长度后得△AiBiCi，再将△AiBiCi绕点。旋转180。后得到AAzB2c2.则下

列说法正确的是（）

B.Qn=3

咕边出ABB*1

C.B2c=2\后D.ZAC2O=45°

【分析】根据题意，画出图形，对选项进行一一分析，排除错误答案.

【解答】解：如图，A、Ai的坐标为（1,3）,故错误

B、S四边彩ABBIAI=3X2=6,故错误；

c、B2C=^32+12=7TO,故错误；

D、变化后，C2的坐标为（-2,-2）,而A（-2,3）,由图可知，ZAC2O=45",

故正确.

故选：D.

【点评】本题考查平移、旋转的性质.

（1）平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应

点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

（2）旋转的性质是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、

形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心.

4.（2017•岱岳区模拟）^ABC中，ZACB=90°,NA=a,以C为中心将aABC旋

转0角到^AiBiC（旋转过程中保持4ABC的形状大小不变）B点恰落在AiBi上,

如图，则旋转角0的大小为（)

A.a+10°B.a+20°C.aD.2a

【分析】由旋转的性质可知，BC=BiC,ZAi=ZA=a,可知NCBBi=NBi=90°-a,

在等腰4CBBi中，根据三角形内角和定理可得2（90。-a）+6=180。，由此可得

旋转角0的大小.

【解答】解：由旋转得BC=BCZAi=ZA=a,ZABC=ZBi=90°-a,

，等腰^CBBi中，ZCBBi=ZBi=90°-a,ZBCBi=0,

•.'△CBBi中，ZCBB1+ZBi+ZBCBi=180°,

：.2（90°-a）+0=180",

【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理

的综合应用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转

前、后的图形全等.

5.（2015•河北模拟）现有一列式子:①55?-45?；@5552-4452；③55552-44452...

则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）

A.1.1111111X1O16B.1.1111111X1027

C.1.111111X1056D.1.1111111X1017

【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将

结果用科学记数法表示即可.

【解答】解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552-444444445?=

(555555555+444444445)X(555555555-444444445)=1.1111111X1017.

故选D.

【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，以及科学记数法-表示较大的数，

熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

6.(2017春•藁城区校级月考)下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的

为()

A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4

C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x

【分析】直接利用分解因式的意义分别分析得出答案.

【解答】解：A、a(x+y)=ax+ay,是整式的乘法运算，故此选项不合题意；

B、x2-4x+4=(x-2)2,故此选项不合题意；

C、10x2-5x=5x(2x-1),正确，符合题意;

D、x2-16+3X,无法分解因式，故此选项不合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键.

7.(2015•荷泽)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=y5(经过点A,作AB

±x轴于点B,将△ABO绕点B逆时针旋转60。得到ACBD.若点B的坐标为(2,

0),则点C的坐标为()

A.（-1,V3）B.（-2,V3）C.（-我，1）D.（-我，2）

【分析】作CH，x轴于H,如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2,

2在），再利用旋转的性质得BC=BA=2b，ZABC=60",则NCBH=30。，然后在Rt

△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=LBC=«,

2

BH=V3CH=3,所以OH=BH-OB=3-2=1,于是可写出C点坐标.

【解答】解：作CH，x轴于H,如图，

,点B的坐标为（2,0）,AB_Lx轴于点B,

...A点横坐标为2,

当x=2时，y=\^x=2近，

AA(2,2y)，

VAABO绕点B逆时针旋转60。得到ACBD,

.•.BC=BA=2«,NABC=60°,

/.ZCBH=30°,

在RtACBH中，CH=1BC=V3，

BH=V^CH=3,

OH=BH-OB=3-2=1,

AC(-1,V3).

故选：A.

X

HO

D

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角

度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30。,

45°,60°,90°,180。.也考查了一次函数图象上点的坐标特征和含30度的直角

三角形三边的关系.

8.（2016春•市北区期中）如图，将边长为3a的等边AABC沿BC方向向右平

移得到△ABU,若aABC与AABC重叠部分面积为2旧，则此次平移的距离是

【分析】重叠部分为等边三角形，设B1C=x,则BE边上的高为返X，根据重叠

2

部分的面积列方程求X,再求BBi.

【解答】解：设B1C=x,

根据等边三角形的性质可知，重叠部分为等边三角形，

则BiC边上的高为返<,

2

/.-1-XXX2^X=2>/3»解得x=2我（舍去负值），

BiC=2^/2，

，BBi=BC-BiC=3&-2心

故选B

【点评】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质.关键是判断重叠部分图形

为等边三角形，利用等边三角形的性质求边长.

9.（2012秋•高新区校级期中）如图，两个等边aABD,ACBD的边长均为1,

将aABD沿AC方向向右平移到△ABD的位置，得到图2,则阴影部分的周长为

)

图1图2

A.1B.2C.2.5D.3

【分析】先标注字母，然后根据平移的性质判定aDEG,ABFH,△D，EM,△B'NF

是等边三角形，根据等边三角形的每一条边都相等可得阴影部分的周长等于

BD+BD,代入数据进行计算即可得解.

【解答】解：如图，•.•两个等边AABD,ACBD的边长均为1,将4ABD沿AC

方向向右平移到△ABD，的位置，

.'.△DEG,△BFH,△D'EM,△B'NF是等边三角形，

.*.GE=DG,HF=BH,FN=B'N,EM=D'M,

...阴影部分的周长

=GE+GH+HF+FN+MN+EM=DG+MN+BH+B'N+MN+D'M=BD+B'D'=1+1=2.

故选B.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，根据平移的性质用等边三

角形的边长表示出阴影部分的周长是解题的关键.

二.填空题(共6小题)

10.(2016春•广水市期末)已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)W0的解，

且x=l不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是l<aW2.

【分析】根据x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)W0的解，且x=l不是这个不等

式的解，列出不等式，求出解集，即可解答.

【解答】解：；x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)近0的解,

(2-5)(2a-3a+2)WO,

解得：aW2,

Vx=l不是这个不等式的解，

(1-5)(a-3a+2)>0,

解得：a>l,

故答案为：l〈aW2.

【点评】本题考查了不等式的解集.注意解决本题的关键是求不等式的解集.

11.(2014秋•临沐县期中)如图，在^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以点A为圆

心，任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心，

大于LMN的长为半径画弧，再画弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则

2

下列结论：①AD是NBAC的平分线；②NADC=60。；③点D在AB的垂直平分线

上；@SAABD=2SAADC.其中结论正确的序号为①②③④.

A

【分析】①根据作图的过程可以判定AD是NBAC的角平分线；

②利用角平分线的定义可以推知NCAD=30。，则由直角三角形的性质来求NADC

的度数；

③利用等角对等边可以证得4ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一"的性

质可以证明点D在AB的中垂线上；

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三

角形的面积之比.

【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是/BAC的平分线.

故①正确；

②如图，•.•在^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,

AZCAB=60".

又YAD是NBAC的平分线,

，N1=/2=LNCAB=3O°,

2

；.N3=90°-N2=60°,即NADC=60°.

故②正确；

(3)VZ1=ZB=3O°,

；.AD=BD,

.•.点D在AB的中垂线上.

故③正确；

④•.,如图，在直角4ACD中,Z2=30",

.*.CD=XAD,

2

，BC=CD+BD=XAD+AD=XAD,SADAC=XAC*CD=1AC«AD.

2224

...SAABD=^AC«BD=XAC«AD=XAC*AD,

222

SADAC：SAABD=—AC*AD：-i-AC*AD=1：2.

42

故④正确.

综上所述，正确的结论是：①②③④.

故答案为：①②③④.

【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作

图.解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质.

12.（2016•新县校级模拟）如图，边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA

//BC,D是BC上一点，BD=-LOA=V21AB=3,ZOAB=45°,E,F分别是线段OA,

AB上的两个动点，且始终保持NDEF=45。，若^AEF为等腰三角形，则0E的长

为耳舐3出或3.

力i

OEAx

【分析】因为4AEF为等腰三角形，所以要分三种情况进行讨论：①当EF=AF时,

如图1,根据4AGB是直角三角形及斜边AB=3可求AG的长，即BG的长，从而

求出AE的长，相减即可得出0E；

②当EF=AE时，如图2,AE=BD=&,则OE=OA-AE即可；

③当AE=AF时，如图3,证明AODE是等腰三角形，再求0D的长，就是0E的

长.

【解答】解：当4AEF为等腰三角形，存在3种情况：

①当EF=AF时，如图1,过点B作BG_Lx轴于G,则4AGB是直角三角形，

BD=yOA=V2,

0A=4&,

VZOAB=45°,

/.△AEF是等腰直角三角形，

VZDEF=45°,

AZDEA=90",

则四边形DEGB是平行四边形，

VAB=3,

.,.AG=BG=22/1,

2__

AE=AG+EG=^Z1+BD=^1+V^=^X

222

/.OE=OA-AE=4&-/=避；

22

②当EF=AE时，如图2,

VZOAB=45",

/.ZEFA=ZOAB=45°,

/.ZFEA=90°,

VZDEF=45°,

/.ZDEO=180o-90°-45°=45°,

/.ZDEO=ZOAB,

；.DE〃AB,

•.•BC〃OA,

二四边形DEAB是平行四边形，

，AE=BD=&,

OE=4&-A/2=3V2；

③当AE=AF时,如图3,

VZOAB=45°,

.,.ZFEA=67.5°,

VZDEF=45°,

ZOED=180°-45°-67.5°=67.5°,

由(1)得：AG=BG=_^Z1,

2_

CD=OA-AG-BD=4&-3*-心-羊,

CD=OC=^/1,

2

/.△COD是等腰直角三角形，则OD=&CD=3,

AZCOD=45°,

/.ZDOE=45°,

ZODE=180°-45°-67.5°=67.5°,

/.ZODE=ZOED,

Z.0D=0E=3

综上所述：OE=&叵或3&或3.

2

【点评】本题是等腰三角形的动点问题，考查了等腰三角形及等腰直角三角形的

性质及判定，当三点构成等腰三角形时，要分三种情况讨论，与坐标、图形相结

合，利用线段的和与差求线段的长.

13.（2016•徐闻县三模）如图，CD是RtAABC斜边AB上的高，将4BCD沿CD

折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则NA等于30度.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE,从而得到

ZA=ZACE,再由折叠的性质及三角形的外角性质得到NB=2NA,从而不难求得

NA的度数.

【解答】解：•在Rtz^ABC中，CE是斜边AB的中线，

；.AE=CE,

/.ZA=ZACE,

VACED是由ACBD折叠而成，

NB=/CED,

,/NCEB=NA+NACE=2NA,

/.ZB=2ZA,

VZA+ZB=90°,

AZA=30°.

故答案为：30.

【点评】此题主要考查：（1）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;

（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

14.（2014春•吉州区期末）如图，在△ABC中，ZA=36°,AB=AC,AB的垂直平

分线OD交AB于点0,交AC于点D,连接BD,以下结论：

①NC=2NA；②BD平分NABC；③SABCD=SABOD；④点D到线段BC的距离等于线

段OD的长.

其中正确的是①②④（把所有正确结论的序号都填在横线上）.

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出NABC=NC=72。,

则由NC=2NA；再根据线段的垂直平分线的性质得DA=DB,则NDBA=NA=36。，

所以NDBA=NDBC=36。；作DHJ_BC于H,根据角平分线的性质得DH=OD；禾U用

二角形面积公式得到SABOD=SABDH-

【解答】解:VZA=36°,AB=AC,

，NABC=/C」（180°-36°）=72°,

2

.".ZC=2ZA,所以①正确;

VAB的垂直平分线OD交AB于点。，

/.DA=DB,

，NDBA=NA=36°,

/.ZDBA=ZDBC=36°,即BD平分NABC,所以②正确;

作DHJ_BC于H,则DH=OD,OB=OH,所以④正确.

SABOD=S/\BDH>所以③错误；

故答案为①②④.

4

D

-------HC

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段;

垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.也考查了等腰三角形的性质

和角平分线性质.

15.(2016春•邺城县期末)如图，在^ABC中，ZA=36°,AB=AC,AB的垂直平

分线OD交AB于点0,交AC于点D,连接BD,以下结论：

①/C=2NA；

②BD平分NABC；

③SZ\BCD=SZ\BDO；

④点D到线段BC的距离等于线段OD的长.

其中正确的是①②④(把所有正确结论的序号都填在横线上)

【分析】①根据等腰三角形的性质再通过角的计算可得出NC=72o=2/A；②根据

垂直平分线的性质可得出DA=DB,再根据角的计算即可得出NABD=NDBC,从而

得出BD平分NABC；③过点D作DE±BC于点E,根据角平分线的性质可得出

DO=DE,再结合公共边BD=BD,即可证出RtZ\BOD之RtZSBED(HL),由此即可得

出SABDO=SABDEWSABCD;④由③中的DO=DE,即可得出点D到线段BC的距离等于

线段OD的长.综上即可得出结论.

【解答】解：①,在aABC中，ZA=36°,AB=AC,

.,.ZC=ZABC=1(180°-ZA)=72°=2NA,

2

...①成立;

②；DO为AB的垂直平分线,

，DA=DB,

/.ZA=ZABD,

,/ZABC=2ZA,

，ZABD=ZDBC,

，BD平分NABC,即②成立；

③过点D作DE±BC于点E,如图所示.

•..DO为AB的垂直平分线，

Z.DO=DE,

在RtABOD和RtABED中，

IDO=DE

/.RtABOD^RtABED（HL）,

SABDO=SABDEWS/XBCD，

，③不成立；

@VDO=DE,

.•.点D到线段BC的距离等于线段OD的长,

...④正确.

综上可知：正确的结论是①②④.

故答案为：①②④.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形

的判定与性质，解题的关键是逐条分析4条选项.本题属于中档题，难度不大，

解决该题型题目时，熟记垂直平分线和角平分线的性质是关键.

三.解答题（共15小题）

16.（2012春•石狮市期末）在aABC中，CA=CB,ZACB=120°,将一块足够大的

直角三角尺PMN（ZM=90\ZMPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB

上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C,并且与CB的夹角NPCB=a,斜边

PN交AC于点D.

（1）当PN〃BC时，NACP=90度;

（2）当a=15。时,求NADN的度数；

（3）在点P的滑动过程中，4PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请

说明理由；若可以，请求出夹角a的大小.

【分析】（1）根据平行线性质求出NBCP,即可得出答案.

（2）求出NACP,根据三角形内角和定理求出NPDC,即可得出答案；

（3）分为三种情况：当PC=PD时，当PD=CD时，当PC=CD时，根据等腰三角

形性质和三角形内角和定理得出关于a的方程，求出即可.

【解答】解：（1）VPN/7BC,NMPN=30。，

/.ZBCP=ZMPN=30°,

,/ZACB=120",

/.ZACP=ZACB-ZBCP=90°,

故答案为：90.

(2)VZACB=120°,ZPCB=15°,

/.ZPCD=ZACB-ZPCB=105°,

.•.ZPDC=180°-ZPCD-ZMPN=180°-105°-30°=45°,

/.ZADN=ZPDC=45°.

（3）aPCD的形状可以是等腰三角形,

ZPCA=120°-a,ZCPD=30°,

①当PC=PD时，APCD是等腰三角形，

NPCD=L（180°-ZMPN）=L（180°-30°）=75°,

22

即120°-a=75°,

解得：a=45。；

②当PD=CD时，APCD是等腰三角形，

ZPCD=ZCPD=30°,

即120°-a=30°,

解得：a=90。；

③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，

ZPCD=180°-2X30°=120°,

即120°-a=120°,

解得:a=0°,

此时点P与点B重合，点D和A重合.

综合上述：当a=45。或90。或0。时，4PCD是等腰三角形，

即a的大小是45。或90。或0°.

【点评】本题考查了等腰三角形性质和判定平行线性质的应用，注意要进行分类

讨论.

17.（2016春•晋江市期末）现有如图①所示的两种瓷砖.请从这两种瓷砖中各

选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称

图形（如示例图②）.

（要求：分别在图③、图④中各设计一种与示例图不同的拼法，这两种拼法各不

相同，且在图③拼成的图案是轴对称图形，在图④拼成的图案既是轴对称图形，

【分析】直接利用轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义得出符合题意的图

案.

【解答】解：如图③所示，此图案是轴对称图形，如图④所示，此图案既是轴对

称图形，又是中心对称图形.

【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握

中心对称图形的定义是解题关键.

18.（2016秋•鼓楼区期中）在△ABC中，AB=AC,NBAC=a（0°Va<60°）,点D

在AABC内，且BD=BC,ZDBC=60°.

（1）如图1,连接AD,直接写出NABD的度数（用含a的式子表示）；

（2）如图2,ZBCE=150°,ZABE=60°,判断4ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE,若NDEC=45。，求a的值.

【分析】（1）根据等边对等角得出NABC=NACB,再根据三角形的内角和定理得

出NABC=90。-Lx,最后根据NDBC=60。，即可得出答案；

2

（2）连接AD,CD,先证出4ABD丝AACD,得出NADB=NADC,再根据NBDC=60°,

求出NADB=150°,得出NADB=NBCE,再证出NABD=/EBC,在^ABD和AEBC

中，根据ASA得出△ABD^^EBC,从而得出AB=BE,即可证出4ABE是等边三

角形；

（3）根据已知条件先求出NDCE=90。，再根据NDEC=45。，得出aDEC为等腰直

角三角形，再根据NBAD=/ABD=15。，ZBAC=30°,从而求出a的值.

【解答】解：（1）如图1,VAB=AC,

ZABC=ZACB,

VZBAC=a,

NABC=180=90。-J_a,

22

•••△DBC为等边三角形，

/.ZDBC=60°,

ZABD=ZABC-ZDBC=90°-la-60°=30°-la；

22

(2)如图2,连接AD,CD,

ZABE=60°,ZABD=30°-la,

2

/.ZDBE=30°+la,

2

XVZDBC=60",

.•.ZCBE=300-la=ZABD,

2

VZDBC=60°,BD=BC,

.•.△BDC是等边三角形，

/.BD=CD,

在Z\ABD和4ACD中，

'AB=AC

,BD=CD>

AD=AD

/.△ABD^AACD(SSS),

NBAD=/CAD=l_a,

2

在^BCE中，ZBCE=150",ZCBE=30°-la,

2

/.ZBEC=la=ZBAD,

2

在^ABD和ACBE中，

，ZBEC=ZBAD

-BD=BC，

ZCBE=ZABD

/.△ABD^AEBC(ASA),

，AB=BE,

.,.△ABE是等边三角形;

(3)如图2,连接DE,

,ZBCD=60°,ZBCE=150°,

.ZDCE=150°-60°=90°,

,ZDEC=45°,

.△DEC为等腰直角三角形，

.DC=CE=BD,

,△DBC为等边三角形，

.BC=CE,

.ZCBE=ZBEC

•ZBCE=150°,

.ZBEC=J^(180--150°)=15°,

2

•△ABD^AEBC

.ZBAD=ZABD=ZBEC=15°,

.ZABC=ZABD+ZDBC=75°,

，AB=AC,

.ZBAC=30°,

,a=30°.

B

Si

【点评】此题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三

角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理的综合应用，解决

问题的关键是找出全等三角形.

19.(2016秋•老河口市期中)如图，在等边AABC中，点D为AABC内的一点,

ZADB=120°,ZADC=90°,将aABD绕点A逆时针旋转60。得^ACE,连接DE.

(1)求证:AD=DE；

(2)求NDCE的度数；

(3)若BD=1,求AD,CD的长.

【分析】(1)利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出4ADE是等边三角形

即可；

(2)利用四边形的内角和即可求出结论；

(3)先求出CD,再用勾股定理即可求出结论.

【解答】(1)证明：•.,将4ABD绕点A逆时针旋转60。得aACE

.,.△ABD^AACE,ZBAC=ZDAE,

，AD=AE,BD=CE,ZAEC=ZADB=120°,

:△ABC为等边三角形

/.ZBAC=60o

.*.ZDAE=60o

.,.△ADE为等边三角形，

，AD=DE,

(2)NADC=90°,ZAEC=120°,ZDAE=60°

Z.ZDCE=360°-ZADC-ZAEC-ZDAE=90",

(3).:△ADE为等边三角形

ZADE=60°

/.ZCDE=ZADC-ZADE=30°

XVZDCE=90"

，DE=2CE=2BD=2,

，AD=DE=2

在Rt/WCE中，DC=7DE2-CEM22-12=V3-

【点评】此题是旋转的性质，主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理,

解本题的关键是判断出aADE是等边三角形.

20.（2016春•瑞昌市期中）如图，根据图中信息解答下列问题:

（1）关于x的不等式ax+b>0的解集是x<4.

（2）关于x的不等式mx+nVl的解集是x<0.

（3）当x为何值时，yWyz?

（4）当x为何值时，0Vy2〈yi?

【分析】（1）利用直线丫=2*+13与x轴的交点为（4,0）,然后利用函数图象可得

到不等式kx+b>0的解集.

（2）利用直线y=mx+n与x轴的交点为（0,1）,然后利用函数图象可得到不等

式mx+n<l的解集.

（3）结合两条直线的交点坐标为（2,18）来求得yiWy2解集.

（4）结合函数图象直接写出答案.

【解答】解：⑴•••直线y2=ax+b与x轴的交点是（4,0）,

.,.当xV4时，y2>0,即不等式ax+b>0的解集是x<4；

故答案是：x<4；

（2）•直线yi=mx+n与y轴的交点是（0,1）,

.,.当xVO时，yi<l,即不等式mx+nV1的解集是xVO；.

故答案是：x<0；

（3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2,18）,当函数yi的图象

在丫2的下面时，有xW2,

所以当xW2时,yi^y2；

（4）如图所示，当2<x<4时，0<丫2<丫1.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具

备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答

本题的关键.

21.（2016•临沂）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.小

明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司

表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部

分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3