2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（A卷） （含解析）

2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（A卷）

一、选择题(共8小题).

1.已知全集U={0,1,2,3,4},集合4={1,2,3},B={2,4},则(CuB)CA=()

A.{0,1,2,3}B.{1,3}C.{1,2,3,4}D.{0,2,4}

2.下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（）

A.y--xB.C.D.

3.在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点

P(-加，1)，则sin(n-a)=()

A.-AB.—C.3sD.迪

2222

4.已知函数f(x)=log2(x2-x)，则/(f)的定义域为()

A.(-8,-1)U(1,+8)B.(-8,0)U(1,4-co)

C.(-1,1)D.(0,1)

5.已知a,b,c是实数，且aWO,则“VxeR,a^+bx+c<0"是“层-4。。<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知a>0,b>0,a+b=1,则下列等式可能成立的是（）

A.（T+b2=1B.ab=1C.a2+b2=—D.a-b2=—

22

7.某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张,

正三角形钢板共有80张.用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正

方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（）

8.已知函数/（x）—In（Vsin2x+l+sinr（x€R），则存在非零实数沏，使得（）

A.f(沏)=-1B.f(xo)-/(-xo)=2

c.f(f(x0))=ln(V2+l)D.f(Jl+xo)-f(Xo)=|-

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.已知函数/(x)=|log2x|的值域是[0,2],则其定义域可能是()

A.曹，4]B.弓，4]C.[[,2]D.或，2]

JTJT

10.已知9£(―,—),且tan8=机，则下列正确的有()

q]、

A.cos~IQB.tan(n-0)=m

Mm'+l

/Q兀、1+mD.tan26=2mg

C.tan"丁F

11.在同一直角坐标系中，函数/(x)=loga(x-b),g(x)=6…的图象可能是()

则下列不等关系一定成立的是()

2

A.sinaVsirt^B.cos^>cos(3-b)

C.sin(J+6)<sin3D.cosb>sin(a2_^_)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知5"=3,3'=2,贝ijlogslO-〃〃=.

14.当(p=时，函数/(x)=sin(x+(p)在区间(?，等)上单调(写出一个值

OO

即可).

15.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运

输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10碗处建仓库，则每月的土

地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是万元.

2x」-，0<x4l

16.已知函数/(x)=\*,若方程/J)(aeR)有两个不同的实根

17XVX>1

X\,如且满足、■<x1X则实数。的取值范围为_______.

2143

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知〃ER,集合A={x|f-2x-3W0},B={x|x2-ax-2=0}.

(I)若a=l,求AGB,CRA;

(II)若AUB=A,求实数a的取值范围.

18.己知函数f(x)=2sinxecos(x+-^-)+Y2.

(I)求f(x)的最小正周期及对称轴的方程；

TTOJT

(II)若g(0,—),且/(a)=4，求/(a+丁)的值.

454

19.已知函数f(x)=x-一~+m(/HGR)是奇函数.

2X+1

(I)求机的值；

(II)求不等式/(2x)<2fQx)的解集.

20.用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内

的总浓度)随时间变化的函数符合％(0=a(1-2-就)，其函数图象如图所示，其中

V为中心室体积(一般成年人的中心室体积近似为600),，即为药物进入人体时的速率,

%是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在

4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数

(I)求出函数ci(力的解析式；

(II)-■病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长

时间开始进行第二次注射？(保留小数点后一位，参考数据/g2-0.3,/g3Po.48)

21.已知函数f(x)=x2-x」-2(x>0).

X

(I)用定义证明/(X)在(0,1)内单调递减；

(II)证明/(X)存在两个不同的零点M，X2,且M+X2>2.

22.已知定义域为[0,+8)的两个函数f(x)=x2+|ar+l|,g(x)=，+|云+1|,a,b为两

个不同的常数.

(I)求/(x)的最小值；

(II)3xoG[O,+8),使得对于+8),f(x)2/(沏)，g(x)2g(沏)恒成

立，求/(Xo)+g(XO)所有可能的值.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知全集"={0,1,2,3,4),集合A={1,2,3},B={2,4),则(QB)CA=()

A.{0,1,2,3}B.{1,3}C.{1,2,3,4}D.{0,2,4}

解：；U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},8={2,4},

•••CuB={0,1,3},(CuB)HA={1,3).

故选：B.

2.下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是()

A.y=xB.C.y=xD.

解：4函数为奇函数，

B.函数为偶函数，

C.函数为奇函数，

D.函数的定义域为［0,+8),关于原点不对称，

函数为非奇非偶函数.

故选：D.

3.在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点

P(~V3>1)，则sin(n-a)=()

A.」B.—C.D.返

2222

解：；角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(飞耳，1),

/.r=\OP\=2fy=1,

•••sina=-^=—,

r2

Asin(7i-a)=sina=—.

2

故选：B.

4.已知函数f(x)=log2(x2-x)，则的定义域为()

A.(-8,-1)U(1,+8)B.(-oo,0)U(1,+8)

C.(-1,1)D.(0,1)

解：由x2-x>0,得x>l或x<0,即/(x)的定义域为(-8,0)u(1,+8),

由，>1或/〈()，得%>1或-1,则/(钓的定义域为(-8,-1)u(1,+oo),

故选：A.

5.已知a,b,c是实数，且oHO,贝!|"VxeR,aX2+bx+c<0,t是-4ac<0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：因为VxeR,ax+hx+c<0,所以。<0且〃？-4“c<0,

因为ltb2-4ac<0>>,**V.reR,ax2+bx+c<0,,不一定成立，

所以“VxeR,a^+bx+c<On是“62-4改<0”的充分不必要条件.

故选:A.

6.已知a>0,b>0,a+b=l,则下列等式可能成立的是()

A.a+b2=lB.ab=\C.a+b2=—D.a-fe2=—

22

解：由a>0,b>0,a+b=1,知：

对于A,cT+b2=a2+(1-a)2=2tz2-2a+l=2a(1-a)+1=2ab+\>1,故A错误；

对于B,a+b>24，.SW(号•)2=/当时取等号，故B错误；

对于C,cT+b2—a2+(1-a)'—2cT-2a+\—2a(I-a)+1=2ab+\>1,故C错误：

对于£),a2-If—(a+b)(a-h)—a-b—a-(1-a)—2a-1,

由/-/=工，得2a-1=工，解得a=3,b=—,故。正确.

2244

故选：D.

7.某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张,

正三角形钢板共有80张.用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正

方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有()

图1图2

A.10个B.15个C.20个D.25个

解：因为要求制成的甲模型的个数最少，

所以优先做乙模型，做到没有材料了再考虑做甲模型，

做一个乙模型需要一块正方形钢板，四块正三角形钢板,

又正三角形钢板共有80张，

所以80+4=20,

故做20个乙模型，消耗了20块正方形钢板，

又长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，

所以剩余正方形钢板为60-20=40块，

做一个甲模型需要2块正方形钢板和4块长方形钢板，

故40+2=20,且20X4=80<100,

所以制成的甲模型的个数最少有20个.

故选：C.

2

8.已知函数/(x)=/〃(7sinx+l+sinx)(x6R),则存在非零实数即，使得()

A.f(刈)=-1B.f(沏)-/(-xo)=2

c.f(f(x0))=ln(V2+l)D.f(7T+Xo)-f(Xo)=|-

解：令g(x)=Vsin2x+l+sinx,sin_r=/e[-1,1],则g(x)—h(t)+]+><

t

h'⑺=/。+l>0,

Vt2+1

二函数〃(力在在[-1,1]上单调递增，

⑺日扬1,扬1],

：.f(x)E[ln(&-1),In(扬1)],即/(x)e[-In(扬1),In(扬1)].

_

又/(-x)—In(^/sin2x+lsirw)--In(<^s^n2x+^+sinx)=-f(x),

：.f(x)是R上的奇函数.

A.-I<-//?(J分1),；./(的)—-1,因此不正确；

B.若/(xo)-/(-%o)=2,则f(%o)—\>ln(J分1),因此不正确；

C.若f(/(xo))=ln(扬1),则/(助))=1,因此不正确；

D./(K+XO)-/(X0)=ln(Jsin2(兀+x0)+l+sin(TT+XO))-In(Jsin2x°+l+si的)

=ln2_

sinx0+lsinxo)-In(Jsin?x/l+si的)="21rl(Jsi,n?x°+l+siw)

e[-2ln,2ln)].

-2ln(扬1),2ln(扬1)],存在非零实数沏，使得/(n+xo)-f(xo)=

3

2

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2()分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.己知函数/(x)=|log2x|的值域是[0,2],则其定义域可能是()

A.李4]B.亭4]C.亭2]D.李2]

解：由f(x)=2,得log2X=±2,即x=4或1

4

即x=4,工至少取一个，且定义域内必须包含x=l,

4

则A不可以，8可以，C可以，。不可以，

故选：BC.

IT7T

10.已知8€(-于，子)，且tane=加，则下列正确的有()

a]

A.COSy=IB.tan(n-0)-m

vmJ+l

C.tan(8-[)=料D.tan29=2mg

41-m

ITjr

解：已知8£(—一“，7-)'且tan6=)〃,

对于4利用三角函数的定义，所以cosV1+m2故A正确;

对于8：tan(TT-0)=-tan0=-tn,故3错误;

对于c：tan(e-F)口号罢，故C错误;

41+tany1+m

,一ca2tan02m一十6

对于D：tan20=------y—=----亍,故D正确；

1-tan^01-m*

故选：AD.

11.在同一直角坐标系中，函数/(x)=loga(x-b),g(x)的图象可能是()

解：A.由对数图象知，a>\,b=l,此时g(x)=1,为常数函数，满足条件.

B.由指数函数图象知OVb<l,对数函数图象应该向右平移人个单位，不满足条件.

C.由对数图象知，0<«<1,0<b<\,g(x)图象有可能对应，

D.由对数图象知，0<a<\,OVbVl,g(x)为减函数，则g(x)单调性不满足，

故选：AC.

12.已知实数a,b满足0<2aV〃<3-/,则下列不等关系一定成立的是()

A.sinaVsi修B.coscz2>cos(3-i>)

C.sin(a2+b)<sin3D.cosb〉sin(a,

2

解：由0<2“<匕<3-J,

fa>0

所以/°，

2a<3-a

解得OVaCl,

所以6<3-/<3,

所以0《<马<提〈二，

222

所以sina<sin-^-,选项A正确；

由OV。2V3-人V3,所以cos/>cos(3-b),选项8正确；

由d+8VB,不能得出sin(〃?+/?)<sin3,所以选项C错误；

由sin(a2--)=cos(6r2---)=cos(冗+3—J),

2222

且bV3-a2V3,所以cosb>cos(3-a2)；

又3-a2V兀+3_.2,所以cos(3-a2)>cos(兀,

22

所以cosZ?>cos(二+3-a2)=sinb,选项。正确.

2

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知5"=3,3b=2,则1。川10一〃6=1.

解：・.5'=3,3"=2,

，a=k)g53,b=log32,

logslO-a〃=log510-log5310g32

=log510-log52

=log55

=1.

故答案为：1.

14.当9=-卫时,函数f（x）=sin（x+<p）在区间（工，"）上单调（写出一

633

个值即可）.

解：由题意可令hr-在Z,

JI——,K

贝ljHr-<p-—WxWZrN-------(Orkez,

22

因为在区间』，吁）上单调，

OO

即E-5兀WcpWZni-'兀,依Z,

66

所以<p=%T依Z,

若k=0,此时年=-哈满足条件.，

故答案为：-器（答案不唯一）.

6

15.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运

输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10h"处建仓库，则每月的土

地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是」万元.

解：设仓库到车站距离为xhw时，土地费用为以万元，运输费用为以万元，费用之和为

y万元，

根据题意，则有打=旦，y2=k2X）

因为在距离码头10妨,处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，

---二24-

则有«10”,解得k1=20,k2=^

10k2=8

所以y4x^^，

5x

因为x>0,

所以"x号》N|xT=&

当且仅当各x卫■，即x=5时取等号，

5x

所以仓库应建在离车站5km处，两项费用之和最小为8万元.

故答案为：8.

2x」S0<x4l

16.已知函数f(x)=<X，若方程/CO=〃(花R)有两个不同的实根

33X、>11

X],工2，且满足x]X2<、宗则实数。的取值范围为—400)—.

2x」~，O〈x《l

x

解：函数/(x)

,fxVX>1

作出函数/(X)的图象如图所示，

当0<x<l时,f(x)=2x=2近

当且仅当2x」，即乂1%取等号,

x2

故f(x)1T11n=2近，

又f⑴=3,呜)=3,

当a>R0寸，方程/(x)=。(aeR)才有两个不同的实根，

当时，/(x)=a(«GR)有两个不同的实根，

即2x4=a有两个解，即2?-以+1=0有两个根，

X

此时X1X不符合题意，

1/2

当。>3时，分别与y=2x△，yVx+l有交点，

设为〈工2,贝(JOVxiV、，乂2>1，

2x[+—=a

由，1，消去。可得，2x[2+l[x[乂2-白乂[二。

江3导3a121/21

所以x/z^x/w-xi，

因为X[*2<多

所以

231313

解得0<xi"或xi<1，

又因为0<X]</,

所以0<xi<《，

14

由图象可知，.f(x)=2x』(0,J)上单调递减，又fC)最，

x442

所以f(xpEg,Q)，

故实数〃的取值范围为a€(5，K°)・

故答案为：e，Q).

y1|/

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知aGR,集合/1={小2-2x-3W0),B={x|x2-ax-2=0).

(I)若a=l,求AA8,CRA；

(ID若AU8=A,求实数a的取值范围.

解：(I)a=l时，集合A={x|f-2x-3<0}={x|-1Wx<3},

B={x\x-x-2=0}={x|x=-1或x=2}={-1,2).

所以AC1B={-1,2},

CRA={X|X<-1或x>2}；

(II)若AU8=A,则BQAt

8=0时，方程f-奴-2=0无实数根，所以△=J-4X(-2)<0,不等式无解;

时，方程-奴-2=0的实数根在［-1,3］内，

所以4

(-1)2-a■(-1)-2》。'

2

L3-a-3-2>0

7

解得-1:

所以实数a的取值范围是［-1,

18.已知函数/(x)=2siru,cos(x+-^-)+YZ.

(I)求/(x)的最小正周期及对称轴的方程;

n2TT

(II)若aE(0,---),且f(ct)=—,求f(cd---)的值.

454

解：(I)/(x)=2siar(-^cosx-^^-sinx)+上二

个不\/

=sinxcosx-vr3:si.n2x+,v--3=-1s.inzx-vQXl---c-o--s-2-x-F,-v-3

V22V22

i.Vsz।兀、

=­sinZ0¥+-~cos20jt=sin(2Ox+--),

223

则函数的最小周期7=等=冗，

兀九yf1

由2x+---=加+---,々EZ,得2x=kn+---,k£Z,

326

即函数的对称轴方程为犬=上—二，依Z.

212

JTOJTQ

(II)若aE(0,---),且于(a)=—,则sin(2oH——)=--

4535

JTJTTV7TTT兀

/./(a+---)=sin[2(a+---)+---]=sin(2a+---F---)=cos(2a+---),

,443233

・・.”兀、—3/1近、

•sin(2C(H"——)——€r(—,),

3522

.一<2a+；V：(舍去)或等<2a+,〈萼

634436

'TTTTA

贝(Jcos(2a+---)<0,即cos(2a+---)-----.

335

19.已知函数/（幻=x-一~+m（AWER）是奇函数.

2X+1

（I）求小的值；

（II）求不等式/（2x）<2f（x）的解集.

解：（I）函数的定义域为R,

•.•函数/（x）是奇函数，二/（是=0,

即0--pr+m=0,得m=—.

2°+12

(II)由/(x)—X---+jL史1,

XX

2+1222+1

12'Tpx-l

由f(2x)<2f(x)得---<2x+-~--

222+12X+1

22X-I

即J-<2X2、-l

22X+12X+1

即(2*+l)(2^-1)<2(2J-1)(2^+1),

即(2"+l)(2*-l)(2V+1)<2(2'-1)(2*1),

即(2^-1)[(2X+1)2-2(21V+1)]<0,

即(2X-1)[(2r)2-2X(2X)2+2X(2X)-l]<0,

(2*-l)[-(2X)2+2X(2*)-l]<0,

即(2*-1)[(2*)2-2X(2V)-l]>0,即(2X-1)(2V-1)2>0,

即(2*-1)3>0,即2'-l>0,得2、>1,得X>0,

即不等式的解集为（0,+8）.

20.用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内

的总浓度）随时间变化的函数符合56）=即（1-2-9），其函数图象如图所示，其中

丫为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600），，处为药物进入人体时的速率,

k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在

4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数

符合C2（t）=c・2"kt，其中c为停药时的人体血药浓度.

(I)求出函数Q⑺的解析式；

(II)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长

时间开始进行第二次注射？(保留小数点后一位，参考数据/g2Po.3,/g3-0.48)

解：(I)令型_=即则5&)=a1-2一班)，

KV

由图象可知，图象经过(4,8),(8,12)两点，

N(l-2-4k)=8件16

则有'"5,解得1'

了(卜2-8k)=12|k%

所以.(力=16(1-2J)；

(II)由题意可知，有治疗效果的浓度在4到15之间，

所以浓度在15时为最迟停止注射时间，

故。《)=16(卜2+)=15'解得Q6，

浓度在从15时降到4时为最长间隔时间，

故C2(t)=15X2丁=4'即24t卡

两边同时取以2为底的对数，

_Lt.

4-，

则有log2?=log2jT

乙乙I3

即tlg(3X10X演2)

^=log24-log2l5=2-彳丁=2--------适-------

=2串吟22笔吟1.93，

J.gNUaO

所以f=1.93X4-7.7,

所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射.

21.己知函数f（x）=x2-xd-2（x>0）.

x

（I）用定义证明/（X）在（0,1）内单调递减；

（II）证明了（X）存在两个不同的零点X”XI,且Xl+X2>2.

解：（I）设0<X|<X2<l，

911

则火Xl)-火X2)=*：-为+「-2-X.1221

\+X2-丁+2=xf-X9+X2-Xl+---=(xi+x2)

1X1x2X1x2

(%1-X2)+(X2-X|)----------

xlx2

=(X2-Xl)[1+--(X1+X2)1

X1x2

V0<XI<X2<L

1

'.X2-%|>0,0<Xl%2<1»0<Xl+X2<2,>1,

xlx2

则1+-(X1+X2)>0,

xlx2

即/（即）-f（%2）>0,得/（Xl）>f（%2）,即/（尤）在（0,1）内单调递减.

（II）证明：同理可知当X>1时，/（X）在（1,+8）上为增函数,

/(1)=1-1+1-2=