2018-2019学年浙江省某中学高二（上）期末数学试卷

2018-2019学年浙江省温州中学高二（上）期末数学试卷

一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求

2°

1.（4分）双曲线*_y2=i的渐近线方程是（）

A.2x±y=0B.x±2y=0C.4x土尸0D.x±4y=0

2.（4分）已知复数z=.-2L,则Z为()

l-i

A.-1+iB.-l-iC.-l+2zD.1-2z

3.（4分）设a、6是实数，则，＞40”是“J〉/”的（）

A.充分必要条件B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（4分）用数学归纳法证明"1+LL…+—（〃eN*）”时，由假设〃=上（k＞l,

n

232-l

jt6N“）不等式成立，推证〃=人1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（）

A.2&TB.2k-1C.2*D.2%

5.（4分）已知函数/（x）=/+且_在[1,+8）上是增函数，则实数。的取值范围为（）

x

A.（-8,-2）B.（-8,-2]C.（“，2）D.（…，2]

22___

6.（4分）设P为椭圆C：3_+?_=1上的点，F\,F2分别是椭圆C的左，右焦点，而「

169rr1

,PF^=5＞则△PF1F2的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

7.（4分）已知函数/（x）=（-』，+]）e汽则（）

2

A./（I）是/（x）的极大值也是最大值

B./（I）是/（x）的极大值但不是最大值

C./（-2）是/（x）的极小值也是最小值

D./（jt）没有最大值也没有最小值

8.（4分）如图，三棱柱ABC-AiBiG中，侧棱441，底面A15G，且所有的棱长都相等,

E是2c中点，则下列叙述正确的是（）

A.直线AAi与3归相交

B.AELB\E

C.二面角E-A61-B的正切值为五

4

D.41cl〃平面

9.（4分）定义在（0,+8）上的函数/（x）的导函数，（x）满足衣'（x）+2>0,且了

（2）=2,则不等式/（工）>2x+l的解集为（）

X

A.（X+8）B.（0,1）C.（0,A）D.（1,+8）

22

10.（4分）如图，点M,N分别为正方体ABC。-AiBiCQi的棱A4i，的中点，以正

方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面QMNCi将该八面体分割成上、下

两部分的体积分别为％、W，则（）

A.-LB.-L.C.J-D.J-

11121314

二.填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分

11.（6分）抛物线/=》的焦点下的坐标为,若该抛物线上有一点P满足|PQ=$,

4

且「在第一象限，则点P的坐标为.

12.（6分）函数y=》2•阮v的图象在点“，0）处切线的方程是.该函数的单调递

减区间是.

22

13.（6分）椭圆C：&_+==1的焦距为,直线/与椭圆C交于M,N两点，椭

84

圆的下顶点为A,左焦点恰好是的重心，则直线/的方程是.

14.（6分）已知直线小x-y+3=0和桂x+y+l=O的交点为A,过A且与x轴和y轴都相

切的圆的方程为，动点B,C分别在八和6上，且18cl=2,则过4,B,C三点

的动圆扫过的区域的面积为.

15.（4分）将边长为1的正方形48co沿对角线AC折起，使得平面AOCL平面4BC,则

直线AD与8c所成角的大小为.

16.（4分）存在x€[3,4]使得x（%-«）2・1成立，则实数。的取值范围是.

22

17.（4分）如图，点F为双曲线C：七-2_=1（。>0,%>0）的左焦点，直线分

b2

别与双曲线C的左、右两支交于A、B两点，且满足布，4B,0为坐标原点，NABF=

ZAFO,则双曲线C的离心率e=.

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

22

18.（14分）已知命题p：方程—+—=1表示焦点在x轴上的双曲线，命题/复平面

aa-1

内表示复数z=（a-3）+ai（«GR）的点位于第二象限.

（I）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（II）若命题p是假命题，4是真命题，求实数”的取值范围.

19.（15分）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,BC1CD,

侧面PAB为等边三角形，A8=BC=2CZ）=2.

（I）证明：ABLPD-,

（II）若PD=2,求直线PC与平面以8所成角的正弦值.

20.(15分)如图，过抛物线C：，=2px(p＞0)的准线/上，点M(-1,0)的直线/1

交抛物线C于A,8两点，线段A8的中点为P.

(I)求抛物线C的方程；

(II)若411MB尸入|。目2,求实数入的取值范围.

21.(15分)如图，点M在椭圆三一+，=1(0＜匕＜&)上，且位于第一象限，F\,F2

2b

为椭圆的两个焦点，过Q,&，M的圆与y轴交于点P，Q(P在。的上方)，\OP\-\OQ\

=1.

(I)求6的值；

(II)直线PM与直线x=2交于点N,试问，在x轴上是否存在定点T,使得牛•同为

定值？若存在，求出点T的坐标与该定值：若不存在，请说明理由.

22.(15分)已知/(x)=cucex-Inx-x,

(I)若/(x)有两个不同的零点，求实数。的取值范围；

(II)已知“=1,若对任意的x>0,均有f(x)>cx2-2x+l成立，求实数c的取值范

围.

2018-2019学年浙江省温州中学高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求

2八

1.（4分）双曲线亍_y2=］的渐近线方程是（）

A.2x+y=0B.x+2y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

2

【分析】渐近线方程是3—-＞2=0,整理后就得到双曲线的渐近线.

4

2八

【解答】解：双曲线三-_丫2二

4y

2

其渐近线方程是--）2=0

4

整理得x±2），=0.

故选：B.

【点评】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即

可求出渐进方程.属于基础题.

2.（4分）已知复数z=2,则2为（）

1-i

A.-1+ZB.-1-zC.-1+2/D.1-2z

【分析】复数耳分子、分母同乘分母的共朝复数，化简为.+玩（a,66R）的形式.

1-i

［解答］解：工L生2一］「

1-i（l-i）（l+i）211

故选：A.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题.

3.（4分）设小〃是实数，则'%＞%＞（）”是的（）

A.充分必要条件B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答］解：若。＞匕＞0,则成立，

若a=-2,b=l,满足但4＞匕＞0不成立，

故“。＞6＞0”是“/＞/”的充分不必要条件，

故选：c.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关

键.

4.(4分)用数学归纳法证明"1+工+工+—+—1—<〃("€N*”'时，由假设〃=左(k>l,

n

232-l

髭N“)不等式成立，推证〃=4+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是()

A.2k'1B.2k-1C.2kD.2*+1

【分析】分别写出〃=%时的不等式，以及〃=k+l时，要证的不等式的左边与"=%时，

不等式左边的关系，可得所求结论.

【解答】解：n=k(k>l,A6N“)不等式成立，

即有1+JL+L…+—I—<k,

k

232-l

当“=&+］时，即证1+A.+A+•••+--_+-1-+—__+•••+—1—<k+1,

232k-l2k2k+l2k+1-l

由此可得左边与n=k时的不等式左边增加了」一+」^_+…+―1—,

2k2k+l2k+1-l

共2M1-1-2-1=2”项,

故选：C.

【点评】本题考查数学归纳法的运用，注意由命题成立，推得”=什1,命题也成立

时，必须运用假设，注意区别，考查推理能力，属于基础题.

5.(4分)已知函数/(x)=/+2在"，+oo)上是增函数，则实数a的取值范围为()

x

A.(…，-2)B.(…，-2］C.(-8,2)D.(…，2］

【分析】由题意可知/(x)=2x--2。在［1，+8］上恒成立，从而结合函数的性质

X

可求.

【解答】解：•••/(X)=/+2在［1,+8］上是增函数，

X

：.f(x)=2*一—10在口，+8］上恒成立，

X

.•.aW2?在［1,+8］上恒成立，

.•・aW2

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数关系的应用，属于基础试题.［1,+8］?

上

22___

6.(4分)设P为椭圆C：三_+?_=1上的点，Q,尸2分别是椭圆C的左，右焦点，而一

169rrl

•pp^=5,则△PFi&的面积为()

A.3B.4C.5D.6

【分析】先根据椭圆的方程求得c,进而求得尸i&|,设出|PQ|=m,\PF2\=n,利用余弦

定理可求得，〃〃的值，最后利用三角形面积公式求解.

【解答】解：：a=4,b=3

设|PFi|=，w,\PF2\=n,

则由椭圆的定义可得：，什〃=8①

PF”F2=5,rnncos<pF/而>=5②,

所以w2+/?2-2m〃・cosVpFPF=28③，

由①②③得刖=13,cos<pp\

sinV画,画>=卷

则△尸尸］尸2的面积：vPF，PF'>=—X13X^-=6,

2213

故选：D.

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的定义，熟练利用解三

角形的一个知识求解问题，是中档题.

7.(4分)已知函数/(x)=(-」，+])«巴则()

2

A./(I)是/(%)的极大值也是最大值

B./(1)是/(x)的极大值但不是最大值

C./(-2)是/(x)的极小值也是最小值

D./(x)没有最大值也没有最小值

【分析】先对函数进行求导，然后结合导数与单调性的关系可判断函数的单调性，进而

可判断函数的极值与最值.

【解答】解：；/(x)=(-▲?+])e汽

：.f(x)=2(--Xr2+1)62A-xe~x=-e”(x2+x-2),

2

=-e1'(x+2)(x-1),

当尤(-2,1)时，/(x)>0,函数单调递增，

当x€(-8,-2),(1,+8)时，f(%)<0,函数单调递减，

故f(1)为函数的极大值，/(-2)是函数的极小值，

•.”f-8时-，f(%)<0,/(-2)<0,x-+8时，f(x)>0,

/(I)为函数的最大值，没有最小值.

故选：A.

【点评】本题主要考查了函数的极值域最值存在条件的判断，属于基础试题.

8.(4分)如图，三棱柱A8C-A1BC1中，侧棱底面AiSCi，且所有的棱长都相等,

E是3c中点，则下列叙述正确的是()

A.直线A4|与81E相交

B.AE±BiE

C.二面角E-A8|-8的正切值为YN

4

D.4G〃平面ABiE

【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用，空间

直角坐标系的应用，法向量的应用求出结果.

【解答】解：如图，三棱柱ABC-AiBCi中，侧棱底面AiBCi，且所有的棱长都

相等，E是BC中点，

所以对于选项4直线与为异面直线，故错误.

对于选项8：底面△48C为等边三角形，E是BC中点，所以4E_LBC,BB\LAE,所以

平面BCGBi，所以AE_LB|E,故正确.

对于选项C：建立空间直角坐标系：

0),B(0,1,2),A(73-0，2),

E(0,0,2).

所以函=(0,0,-2)AB=(-V3>1,o)，AB^C-Vs，1,-2)1

AE=(-愿，0,0)-

设平面A5B］的法向量为五二(x,y,z)，

n】,BBi=0

所以V,整理得:

n*AB=0个)所以后办

t

设平面AE51的法向量为q=(x,y,z)，

/•

n•AB1=0+_

2'-V3£XV=2。Z=0'所以,—n.2=S,2,D'

所以4,整理得:

-AE=0

nl'n22M

所以cos<、，门2>=__逗,

225

IntIIn2IV2+lVl+3遥

所以二面角E-ABi-B的正切值”地，故错误.

V33

对于选项。：由于4ci〃AC,所以AC〃平面AB|E,出现矛盾，故错误.

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质

的应用，空间直角坐标系的应用，法向量的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力

及思维能力，属于中档题型.

9.(4分)定义在(0,+8)上的函数/(x)的导函数，(x)满足x2/'(x)+2>0,且/

(2)=2,则不等式/(工)>2x+l的解集为()

X

A.(X+oo)B.(0,1)C.(0,A)D.(1,+8)

22

2,x2f7(x)+2

【分析】构造函数g(x)=f(x)2xG(0,+8),因为g'(x)=/(%)+

＞0,所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增，利用函数g(x)的单调性即可解出不

等式的解集.

_2+8),

【解答】解：构造函数g(x)=/(x)^-9xE(0,

•3⑴+马=也罗+-2＞。，

.•・函数g(x)在(0,+8)上单调递增，且g(2)=f(2)=1,

不等式f(工)>2x+l可化为/(工)-2x>l,即/(工)

XXXA

:.g(A)＞g(2),

X

.•.工＞2,解得0cx＜上，

x2

故选：C.

【点评】本题主要考查了构造函数方法，以及利用导数的单调性解不等式，是中档题.

10.(4分)如图，点M,N分别为正方体ABCD-AiBCi。的棱A4|,8向的中点，以正

方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面QIMNCI将该八面体分割成上、下

B

A.J-B.-LC.-LD.j-

11121314

【分析】如图，连结PR,QT,交于点。，连结OK,设OR=1,以。为原点，OR为x

轴，。7为y轴，OK为z轴，建立空间直角坐标系，则G为PK的三等分点，P(-1,0,

0),R(1,0,0),Q(0,-1,0),T(0,1,0),K(0,0,1),H(0,-A,A),

22

/(0,1,.1),G(-1,o,2)，利用向量法能求出L的值.

2233V9

【解答】解：如图，连结PR,QT,交于点O,连结OK,

设OR=1,以。为原点，OR为x轴，OT为y轴，OK为z轴，建立空间直角坐标系,

则G为尸K的三等分点，P(-1,0,0),R(1,0,0),。(0,-1,0),

T(0,1,0),K(0,0,I),H(0,1.1),I(0,-1,-1),G(-工，Q,2),

222233

--------►1»A

HI=(0,l,0),GR=(―-0,-2)，诬=(1，工-A),证=(o,.1,A),

332222

设平面GHR/的法向量口=(X，y，z),

n'HI=y=0_

则，_»—»ii,取x=1,得n=(1,0，2),

n*HR=x+^-y-yz=0

到平面GHRI的距离d=廊''n|=工=返,

IniV55

VHI•而=0,

•'-5mailfiGHRI=—X1XA

2V93

Vi—VK-GHRI——X-^-'

3359

Vs=yXSp^XQK=yX2X2X1=-1-

399

.Vl__~9-1

■>2旦11

9

故选:A.

z

【点评】本题考查两个多面体的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

二.填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分

11.（6分）抛物线的焦点F的坐标为（0,工），若该抛物线上有一点P满足IPQ

4

=立，且P在第一象限，则点P的坐标为（1,1）.

4

【分析】利用抛物线方程求解焦点坐标，利用抛物线的定义转化求解即可定点P的坐标.

【解答】解：抛物线/=y的焦点F的坐标为（0,1）,

4

该抛物线上有一点P满足|尸卸=立，且P在第一象限，

4

可得y+_L=S,解得y=l,则x=l,

44

所以P的坐标（1,1）.

故答案为：（0,-1）；（1,1）.

4

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.

12.（6分）函数），=’•/小的图象在点（1,0）处切线的方程是y=x-l.该函数的单

1

调递减区间是（0,J万）.

【分析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程,

结合导数与单调性的关系可求函数的单调递减区间.

【解答】解：y—jC'lnx,

..y=2xlnx+xf

•.•图象在点（1,0）处切线的斜率/=/'（1）=1,

故在点（1,0）处切线的方程是y=x-1,

由y'=2xlnx+x=x（2/nx+l）<0可得，e

即函数的单调递减区间为（0,e~~2）.

1

故答案为：y=x-1,（0,e~~2）.

【点评】本题主要考查了导数的儿何意义及导数在单调性判断中的应用，属于基础试题.

22

13.（6分）椭圆C：3_+匚=1的焦距为4，直线/与椭圆C交于M,N两点，椭圆

84

的下顶点为A，左焦点恰好是△AMN的重心，则直线/的方程是3x-2y+ll=0

22,_______

【分析】椭圆C：§+£=1,可得c=422f2.设直线/的方程为：my=x+t,"5,

根据左焦点恰好是△AMN的重心，可得、1+、2=-2,一二生2二

yi）,N（X2，”）•

33

0,

iny二x+t

联立，化简利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出.

2

tx+2y=8

22___

【解答】解：椭圆C：工_+，=1,C=JW4=2.

84

，焦距为2c=4.

A（0,2）.

设直线/的方程为：my=x+t,M（xi，y\）,N（及，y2）.

:左焦点恰好是△AMN的重心，

.xl+x2o了1+丫2-2_八

33

化为：xi+x2=-6,yi+y2=2.

〜一（my=x+t79

联xj八,化为：（m+2）y--8=9,

22

lx+2y=8

./+?=-铲-=2.

m42

m(yi+y2)=(xi+%2)+2，,

：.2m=2t-6,艮［Jm—t-3.

解得：m=2,

33

...直线/的方程为：马=x+旦，

33

化为：3x-2)，+ll=0.

故答案为：4,3x~2y+ll=0.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、三角

形的重心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

14.(6分)己知直线(：x-y+3=0和g无+y+l=0的交点为A,过A且与x轴和)，轴都相

切的圆的方程为(X+1)2+(V-1)2=[,或者(x+5)2+(y+5)2=25,动点、B,C

分别在/1和/2上，且|8C|=2,则过A,B,C三点的动圆扫过的区域的面积为4TT.

【分析】对于第一空：由两直线的方程求出交点A的坐标，设要求圆的方程为(x-a)

2+(y+a)2=a,a<0,把点A的坐标代入，可得(-2-a)2+(1+a)2=a2,解可得

a的值，即可得圆的方程；

对于第二空：由直线的方程分析可得直线(和/2垂直，进而分析可得过A,B,C三点的

动圆的圆心为8c的中点，其半径r=^X|8C|=l,进而可得动圆圆心的轨迹，据此分析

2

可得答案.

【解答】解：根据题意，由[x-y+3=0,解得卜=-2,可得直线小x-y+3=o和g

[x+y+l=01y=l

x+y+l=0的交点为A(-2,1),

显然，点A位于第二象限.

过A且与x轴和y轴都相切的圆的方程为Cx-a)2+(y+a)2=a2,a<0,

把点A的坐标代入，可得(-2-«)2+(1+a)2—(f,求得a--1,或a—-5,

故要求的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=1,或者(x+5)2+(>5)2=25；

直线/1：尤-)>+3=0和勿%+/1=0，有1X1+(-1)Xl=0,则直线人和/2垂直，

又由两直线的交点为A,动点B,C分别在人和/2上，且|BC]=2,

则过A,B,C三点的动圆的圆心为3c的中点，其半径r=Lx|BC|=l,即动圆的圆心

2

到A的距离d=r=\,

则动圆的圆心在以(0,0)为圆心，半径〃=1的圆上，

故动圆扫过的区域的面积S=TCX22=4IT；

故答案为：为(x+1)~+(y-1)"―1或者(x+5)〜+(y+5)"―25；4n.

【点评】本题考查圆的方程的计算，涉及与圆有关的轨迹问题，属于基础题.

15.(4分)将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面平面ABC,则

直线AD与BC所成角的大小为60°.

【分析】可画出图形，取AC的中点O,并连接BO,DO,则据题意可得。OLAC,从而

得出平面ABC,进而得出DOA-BO,并且BO.LAC,而标=而-"3^,BC=OC

进行数量积的运算即可求出菽•前1，根据向量夹角的余弦公式即可求出

cos<AD.阮>弓’从而得出<标，BC>=60°>从而可得出直线AD与BC所成

角的大小.

【解答】解：如图，取AC的中点O,连接BO,DO,则。0_L4C,

•.•平面AOC_L平面ABC,平面ABC,：.DOA.BO,且BO_LAC,

又标=而-赢，BC=0C-0B,且|OCI=IOAI=4-

・•・AD-BC=(0D-0A)*(0C-0B)=OD•OC-OD•OB-OA-OC+OA-OB=

0-0+~^+0=»^,且IAD|=IBC|=1»

;-cos<AD，♦>一右：/且0。<<而，前><180°，

IADI|BC|2

<AD,BC>=60°>

...直线AO与8c所成角的大小为60°.

故答案为：60°.

B

【点评】本题考查了利用向量求异面直线所成角的大小的方法，向量减法的几何意义,

向量的数量积的运算及计算公式，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，向量垂

直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题.

—[3孚

16.(4分)存在xe［3,4］使得-a』.成立，则实数。的取值范围是

【分析】设f(x)=(x-a)2,x€[3,4],g(x)」，x€[3,4]，则存在在[3,4],

x

使得f(x)Wg(x),即存在/(x)的图象在g(x)图象的下方，分类讨论，采用数形结

合即可得解.

【解答】解：由题意，存在A-e[3,4]使得(x-a)24工，设

X

f(x)=(x-a)2.x€[3,4],g(x)—,x€[3,4]，且g(x)=^-,

Xmax3

如图①，当aW3时，函数/(x)在[3,4]上单调递增，此时只需

f(x)min=f(3)=(3-a)解得故3~^^<a<3；

如图②，当3＜。＜4时，函数/(x)的最小值为/(x)“"•"=/'(〃)=0,显然恒成立,

如图③，当心4时，函数f(x)在［3,4］上单调递减，此时f(x)m1n=f⑷4人产《卷

解得故44a《5；

综上，实数。的取值范围是

故答案为:

【点评】本题考查函数图象的运用，考查分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题.

22

17.(4分)如图，点尸为双曲线C：七-工蜃=1(a>0,/;>0)的左焦点，直线尸=履分

别与双曲线C的左、右两支交于4、8两点，且满足阴，48,O为坐标原点，ZABF=

30+限

ZAFO,则双曲线C的离心率e=-

【分析】根据题意设AO=x,则由对称性可知BO=x,所以/1F=A/FO2_AO2=^C2_X2,

因为，NABF=/AFO,ZFAO^ZBAO,所以，XBkF,所以A/=AOXAB,

c-X2=2X2,得/=3/，c=J^x，AF=y[2>c，利用等面积法求出AG,勾股定理求出

GO,得到A点坐标代入双曲线方程，进而求出离心率.

【解答】解：根据题意设AO=x,则由对称性可知8O=x,

2=22,

所以=VFO2-AOVc-X

因为，/ABF=NAFO,ZFAO^ZBAO,

所以，△项Os△84凡

所以AF^AOXAB,

c-x—1x,得J=3x\C=A/^X,AF—yf^c,

S"=/XF0XAG-|XA0XAF，

即cXAG=xX>\/^x,AG—^X'.—

c3

GO=VAO2-AG2=2c)2=f

所以A（-£,返土），代入双曲线方程,

33

母2咯产

与+32_=1，化简得，

422,4八

c-3oac+9n。=0,

(£)*4-3(£)2+9=0,

aa

/-3?+9=0,

令t=£,(r>l),

则』-3什9=0,解得,=6+3«,或6-3«(舍)

所以°=j6+3j§=『4+12而=^2=

故答案为：诉点.

2

|F

B

【点评】本题考查双曲线的性质，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

22

18.(14分)已知命题p：方程工-+—=1表示焦点在x轴上的双曲线，命题依复平面

aa-l

内表示复数z=(a-3)+ai(aGR)的点位于第二象限.

(I)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(II)若命题p是假命题，4是真命题，求实数”的取值范围.

【分析】(I)直接利用双曲线的定义的应用求出结果.

(II)利用真值表的应用和复数的几何意义的应用求出结果.

22

【解答】解：(1)命题p：方程三—+工_=1表示焦点在x轴上的双曲线，

aa-l

(>n

所以Ja,解得0<4<l.

a-l<0

(II)由于命题p是假命题，所以aWO或

命题q：复平面内表示复数z=(〃-3)+ai(«GR)的点位于第二象限，

所以1，整理得0<〃<3.

a>0

故，<0或a>l,整理得］w“<3.

0<a<3

【点评】本题考查的知识要点：真值表的应用，双曲线的方程的应用，复数的应用，主

要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

19.(15分)如图，在四棱锥P-ABCC中，底面ABCQ是直角梯形，AB//CD,BCLCD,

侧面以8为等边三角形，A8=BC=2CD=2.

(I)证明：ABLPD-,

(II)若PD=2,求直线PC与平面以B所成角的正弦值.

【分析】(I)取AB的中点£,连接。E,PE,可得ABLCE,ABLPE,再由线面垂直

的判定可得A8，平面PDE,进一步得到ABLPD-,

(H)由AB//CD,ABLPD,得CDYPD,再由已知求得PC=后,则点C到平面PAB

的距离等于点D到平面PAB的距离，证明平面出B_L平面PDE,过。作DHLPE,H为

垂足，可得力，，平面%B,然后求解三角形得直线尸C与平面以8所成角的正弦值.

【解答】(I)证明：取AB的中点E,连接。E,PE,ABIDE,ABVPE,

又DECPE=E,.，.A8_L平面POE,

则ABLPD-,

(II)解：'：AB//CD,ABLPD,：.CDA.PD,

又C£>=1,PD=2,故PC=代.

由已知可得8〃平面必2,.•.点C到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离.

平面PDE,，平面附平面POE,过。作”为垂足，

则OH_L平面以B,:.PE=M，DE=2,

又PD=2,亘.

2_

设PC与平面以B所成角为4则sinO=0l=SL

PC10

直线PC与平面PAB所成角的正弦值为运.

10

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练

了线面角的求法，是中档题.

20.(15分)如图，过抛物线C：/=2px(p>0)的准线/上，点M(-1,0)的直线1\

交抛物线C于A,B两点，线段AB的中点为P.

(I)求抛物线C的方程；

(II)若求实数A的取值范围.

【分析】(I)由题意得抛物线方程；

(II)设直线与联立抛物线，设而不求的方程得横纵坐标的关系，计算MA,MB,OP

的值，得出参数的取值范围.

【解答】解：(I)抛物线的准线方程为：x=-1,所以抛物线C的方程为：/=4x；

(II)设直线人的方程为：x=my-1,代入抛物线中得：

y2-4mj+4=0,△=16/n2-16>0,/.w2>l,设A(x,y),B(%,,/),

・'y+y'=4〃？，yy'=4,IM4IIMB尸后和-加•五二加->MI=(1+m2)Wl=4(1+;772),

AB的中点P的坐标(2〃?2-1,2/n),\OP\2=(2谓-1)2+4加2=4〃?4+1,附用网8尸入|。尸|20入

_4(l+m2)

----------，

l+4m4

令瓶2+l=f(f>2),贝|入=----"-----=----虫---=——1-----在(2,+8)上是减

4(t-l)2+l4t2-8t+5耻年-8

【点评】考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

22_

21.（15分）如图，点M在椭圆三_+匚=1（0＜6＜加）上，且位于第一象限，F\,F2

2b

为椭圆的两个焦点，过Q,尸2,M的圆与y轴交于点P,Q（P在。的上方），\OP\*\OQ\

=1.

（I）求6的值；

（II）直线PM与直线x=2交于点M试问，在x轴上是否存在定点T,使得亍加•生为

定值？若存在，求出点T的坐标与该定值；若不存在，请说明理由.

【分析】（/）设圆心（0,f）.则圆的方程为：x2+（＞■-t）2—c2+^.