2020-2021学年重庆市某中学高二（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数z满足（2+z）*z=i-1,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合A={x||2x+l|V3},B={x|(x-2)(x+1)>0},则AC(CRB)=()

A.[-1,1)B.(-2,2]C.(-2,-1)D.(-1,1)

3.变量x,y之间有如下对应数据:

X44.55.56

y1211109

已知变量y对x呈线性相关关系，且回归方程为1/上，则的值是（）

y=-l.4x+aa

A.3B.3.5C.17D.17.5

4.二项式（对+乂）I2的展开式中，系数为有理数的项的个数为（）

A.6B.5C.4D.3

5.为做好社区新冠疫情防控工作，需将五名志愿者分配到三个社区去开展工作，每名志愿

者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必须去同一个社区，

则不同的分配方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

6.已知a,6为非零实数，则"a<b”是的（）

lbIlai

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁.现准备通过一一试开将其区

分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和

不能开锁的钥匙区分出来的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

10101515

22

8.已知Fi,B为双曲线C：b〉0）的左、右焦点，斜率为苫•的直线/

//4

过Fi分别交双曲线左、右支于A、B点，|BA|=|BB|,则双曲线C的渐近线方程为（

A

-y=±V?xB.y=±-^y^-xc.y=±-^y^-xD.y=+^£n.x

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列有关命题的说法正确的是（）

A.命题“若x=l,则f=l”的逆否命题是真命题

B.命题“若x=l,则/=1”的否命题是“若x=l,则

C.命题“Vx>0,都有f>0”的否定是“外>0,使得/W0”

D.若p/\q为假命题，则p、q都为假命题

10.为了解全市居民月用水量，随机抽取了1000户居民进行调查，发现他们的月用水量都

在0〜24r之间，进行等距离分组后，图1是分成6组，图2是分成12组，分别画出频

率分布直方图如图所示:

（华立）

图1图2

则下列说法正确的是（）

A.从图1中知：抽取的月用水量在［4,8）f之间的居民有50户

B.从图1中知：月用水量的90。分位数为

C.由图1估计全市居民月用水量的平均值为7.78（同一组数据用该组数据区间的中点

值表示）

D.图1中：组数少，组距大，容易看出数据整体的分布特点；图2中：组数多，组距小，

不容易看出总体数据的分布特点

11.如图，在正方体ABCD-A/iG。中，E为A山的中点，F为线段BC上的动点（不包

括端点），则（）

5

A.对任意的F点，三棱锥F-AQE与三棱锥Ai-AOE的体积相等

B.对任意的F点过。，E,F三点的截面始终是梯形

C.存在点凡使得斯〃平面4G。

D.存在点F,使得E/，平面BDG

12.已知正数“，〃满足"2方=1,则()

19

A."有最大值!B.二」有最小值8

Oab

C.工+^•有最小值4D.层+加有最小值!

ba5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合4={3,同},B={a,1},AUB={1,2,3,-2],则a的值为.

14.甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是•1，假定两人是否正确解答互不

35

影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为.

15.从星期一到星期五安排甲，乙，丙三人值班，其中1人值1天班，另2人各值2天班,

则不同的安排方法共有种.

16.函数f(数=>°色音I的最小值为.

8

四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分。解答题应

写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.己知抛物线C：x1=2py(p>0)的焦点/与双曲线E：1_乂2=1的一个焦点重合.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若过抛物线C的焦点的直线/交抛物线于A,B两点，且|AB|=10,求直线/的方程.

18.2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度的大型学生社团文化节，吸引了众多

学生.巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生共有四

百人左右.已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4,为了解学

生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如图等高

累积型条形图：

■参加社团

未参加社团

男生女生

(1)求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；

(2)若抽取了100名学生，完成下列2X2列联表，并依据小概率值a=0.05的独立性

检验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由.

参加社团未参加社团合计

男生

女生

合计

附：y2=----、吗,----n=a+b+c+d.

7(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

19.如图几何体中，BB[,CCi都垂直于底面ABCi,已知如Bi=5iG=l,NA向G

=90°,A4i=l,8Bi=2,CCi=3.

(1)求该几何体的体积；

(2)求平面ABC与平面4&G所成锐二面角的余弦值.

r

20.风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程，今年是中国共产党成立100周年.为传承红色基因，

某市开展了“学党史，担使命”的中学生党史知识竞赛，共一万名学生参赛，其成绩服

从正态分布N（72,81）.现从中随机抽取40名学生的成绩，得到如图所示的茎叶图.

（1）求这40名学生成绩的中位数和众数；

（2）主办单位计划奖励成绩排在前228名的学生，则获奖学生的分数线应划为多少分？

（3）现从这40名成绩在［80,100］分的学生中随机抽取2人，依据（2）划定的获奖分数

线，记这2人中获奖人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据：尸（U-。）%0.6826,P（U-2。＜?Wu+2。）比0.9544,P（“-3

o＜gWu+3。）七0.9974.

519

6222345669

711112233455566889

812344569

91269

40名学生知识竞赛成线

茎叶图

21.已知函数/(x)—xlnx+ax1-2x+b在x—\处的切线方程为y=3x—^.

（1）求实数”，人的值;

（2）已知关于X的不等式r（x）|vr在（0,1）上恒成立，求实数r的取值范围.

22.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一

书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点例与两定点。，P的距离之

比曾〉=入（入＞0,入户1）,人是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，

IMPI

圆心在直线P。上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为/+)2=4,定点分别

22r

为椭圆c9+^^l(a>b>0)的右焦点F与右顶点4,且椭圆C的离心率为e=\.

a"2

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，过右焦点尸斜率为k(&>0)的直线/与椭圆C相交于8,。(点B在x轴

上方)，点S,7是椭圆C上异于B,。的两点，S尸平分/BSD,TF平分NBTD.

(i)求的取值范围；

(ii)将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为8尹,

O

求直线/的方程.

参考答案

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数z满足（2+/）«z=/-1,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据已知条件，结合复数的乘法法则和复数的几何含义，即可求解.

i-l(i-l)(2-i)~l+3i

解:z=2+i=(2+i)(2-i)=5

则Z在复平面内对应的点为z（4,•!）在第二象限.

55

故选：B.

2.设集合A={x||2x+l|V3},B={x\(%-2)(x+l)>0},贝ijAA(CRB)=()

A.[-1,1)B.(-2,2]C.(-2,-1)D.(-1,1)

【分析】可求出集合A,B,然后进行补集和交集的运算即可.

解：\*A={x\-3<2x+l<3}={x|-2<x<l},B={x|x<-1或x>2},

・・・CR8={X|-AA(CRB)=(X\-1^X<1}=[-1,1).

故选：A.

3.变量x,y之间有如下对应数据:

X44.55.56

y1211109

已知变量y对x呈线性相关关系，且回归方程为_144，则的值是（）

y-1.4x+aa

A.3B.3.5C.17D.17.5

【分析】求出样本中心，将点代入回归方程求解即可.

解：因为x=5，y=10.5,

则把样本中心点（5,10.5）代入回归方程_144：

y-1.4x+a

所以a=?+L47=10.5+1.4X5=17.F

故选：D.

4.二项式（对+乂）I2的展开式中，系数为有理数的项的个数为（)

A.6B.5C.4D.3

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出系数为有理数的项的个数.

解：；场历展开式的通项为丁rrr,要使系数为有理数的项,

'VS'JTr+i=C123X

r

需1■为有理数，所以，r=0,3,6,9,12,共5项，

3J

故选：B.

5.为做好社区新冠疫情防控工作，需将五名志愿者分配到三个社区去开展工作，每名志愿

者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必须去同一个社区，

则不同的分配方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

【分析】利用相邻问题捆绑法，然后先分组后排的方法进行计算即可.

解：•.•志愿者甲和乙必须去同一个社区，

...把甲乙两人看作一个元素，则问题变成4个元素分成3组进行排列，

贝怏有C/A$6X6=36种方法，

故选：D.

6.已知a,〃为非零实数，WiJua<bn是“不旦〒的（）

lbIlai

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】构造函数/（X）=x|x|,利用函数的奇偶性和单调性判断即可.

解：设/（x）=x\x\f则/（x）为偶函数且在（0,+8）上为增函数，

lbIlai

：.a<b是/丁<1耳的充要条件，

lbIlai

故选：C.

7.有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁.现准备通过一一试开将其区

分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和

不能开锁的钥匙区分出来的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

10101515

【分析】恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：①前三

把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，

第二把不能开锁，第三把不能开锁，由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁

的钥匙区分出来的概率.

解：有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁.现准备通过一一试开将其

区分出来，

每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，

恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：

①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，

③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，

...恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：

故选：A.

8.已知品，尸2为双曲线C：三-二广l(a>0,b>0)的左、右焦点，斜率为苫•的直线/

a2b24

过为分别交双曲线左、右支于A、8点，尸则双曲线C的渐近线方程为()

A.y=±77xB.y=+-^£xC.y=+-^S.D.y=+-^S

3vIAj-YAy-yAy-yA

【分析】根据双曲线的定义及可得AB=4a,根据勾股定理建立方程关系即

可得到结论.

解：设|FM|=|尸2剧=加，由双曲线定义得:\F\A\=m-2a,\F\B\=m+2a,

所以|A8|=|Fi用-|FiA|=(m+2a)-(m-2a)=4。，

F?H?9

作尸2”_LQ8,中，lana=二鼻==，可得F2H=="i,,

F[H44

Rt△F2HA中,勾股定理得

2222八，/

|F2H|+|AH|=|AF2|=>(-1n0+(2a)=m=]6=7*……①，

□△6/2中，勾股定理得：IF2Hl2+|F1H|2=|FJ212nm2+(142=(2c)2,

2

可得至S_=4c2.......②，

16

由①②可得25X量=4C2,整理可得£■=孕，即可得彳=孕_1^.

22

7a7a77

所以渐近线的斜率为+组运，故渐近线方程为y=±m叵*

77

八,°

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列有关命题的说法正确的是（）

A.命题“若x=l,则好=1”的逆否命题是真命题

B.命题“若x=l,则好=1”的否命题是“若x=l,则好#1”

C.命题“Vx>0,都有r>0”的否定是使得TWO”

D.若p/\q为假命题，贝IJp、4都为假命题

【分析】由原命题和其逆否命题的等价性可判断4由命题的否命题的形式可判断B；由

命题的否定的形式可判断C；由复合命题的真假可判断D

解：命题“若x=l,则/=1”正确，由原命题与其逆否命题同真同假，所以其逆否命题

是真命题，故A正确；

命题“若x=l,则f=l”的否命题是“若xWl,则3W1”，故8错误：

命题“Vx>0,都有r>0”的否定是使得好W0”，故C正确；

若p/\q为假命题，则P、4中至少有一个为假命题，故。错误.

故选：AC.

10.为了解全市居民月用水量，随机抽取了1000户居民进行调查，发现他们的月用水量都

在。〜24,之间，进行等距离分组后，图1是分成6组，图2是分成12组，分别画出频

率分布直方图如图所示：

（生代t）逸0t)

图1图2

则下列说法正确的是（）

A.从图1中知：抽取的月用水量在［4,8）f之间的居民有50户

B.从图1中知：月用水量的90°分位数为18/

C.由图1估计全市居民月用水量的平均值为7.76/（同一组数据用该组数据区间的中点

值表示）

D.图1中：组数少，组距大，容易看出数据整体的分布特点：图2中：组数多，组距小，

不容易看出总体数据的分布特点

【分析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及分位数和平均值的公式，即

可求解.

解：从左图可知，抽取的月用水量在［4,8）t之间的频率为1-4X

（0.1+0.04+0.02+0.03+0.01）=0.2,故居民有1000X0.2=200户，故A选项错误，

从左图可知，从最后一组往前看［20,24）的频率为4%,故［16,20）取6%即可，而［16,

20）的频率为12%,所以90%分位数为116,20）的中点18f,故B选项正确，

月用水量的平均值为4X（0.1X2+0.05X6+0.04X10+0.02X14+0.03X18+0.01X22）=

7.766故C选项正确，

两图相比较，左图数据整体分别更明显.故。选项正确.

故选：BCD.

11.如图，在正方体中，E为4B的中点，F为线段BC上的动点（不包

括端点），则（)

5

A.对任意的F点，三棱锥F-AQE与三棱锥Ai-AOE的体积相等

B.对任意的F点过。，E,F三点的截面始终是梯形

C.存在点凡使得所〃平面4G。

D.存在点F,使得平面8OG

【分析】证明/和4到面ADE的距离相等判断A；证明PF//QD且。尸与PQ不平行判

断8；证明EF总与面ACQ相交于点E判断C；取F为8c中点时，可得EFL面8DG

判断D.

解：如图所示，

•••小。1〃面ADE,BC〃面ADE,且A山J_面ADE,

.•.尸和4到面AOE的距离相等，故三棱锥尸-49E与三棱锥Ai-AOE的体积相等，A

正确；

过D,E,F三点的截面为四边形PFDQ,且PF//QD,。尸与PQ不平行，故四边形PFDQ

始终是梯形，B正确；

B

•；面EMCN〃面4G，而EF总与面4CQ相交于点E,故不存在这样的点凡使得

EF〃平面4G。，C错误；

；AiCJ_面BOG,.•.当EF〃AC,即F为BC中点时，EF_L面BDG,故存在这样的点F,

使得平面BOG,。正确.

故选：ABD.

12.已知正数”，〃满足a+2b=1,则（）

119

A.仍有最大值士B.二/有最小值8

8ab

C.工+•有最小值4D./+按有最小值!■

ba5

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.

解：根据题意，依次分析选项：

2

对于A，a-2b4（£@0=L=ab<L，当且仅当aJ，bJ时取等号，则A正确；

24824

对于B,工W=（a+2b）（工《）=^_"^2+5>4+5=:9，当且仅当a=时取等号，B

abababo

错误；

对于C,咨B>2+2=4，当且仅当a=b=2时取等号，则C正确；

baba3

对于C,a2+b2=（l-2b）2+b2=5b2-4b+l=5（b-|-）W（°<b<J），故最小值为

0DN

三则D正确;

5

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合4={3,同},B={a,1},AUB={1,2,3,-2},则a的值为-2.

【分析】根据条件可得出{1,3,同，"}={1,2,3,-2},然后求出〃的值即可.

解:；A={3,⑷},B={a,1},AUB={1,2,3,-2）,

.•.4UB={1,3,\a\,«!={1,2,3,-2],

\a\=2且a=-2,:.a=-1.

故答案为：-2.

14.甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是与，提，假定两人是否正确解答互不

影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为_圣_.

【分析】两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题，由

此能求出甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率.

解：两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题，

...甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为：

15.从星期一到星期五安排甲，乙，丙三人值班，其中1人值1天班，另2人各值2天班,

则不同的安排方法共有90种.

【分析】将5天组合为2天、2天、1天，再分配给3个进行全排列即可.

解：将5天组合为2天、2天、1天，再分配给3个人:

故答案为：90.

16.函数f（x）=----------------的最小值为--.

ex-e—

【分析】方法（1）：f(x)=~(10-^-1）,设t=,先求出t（x）的值域，再求出

ee

g（t）=tUnt-1）的值域，即可得出答案.

方法（2）：求导分析/（%）的正负，进而可得f（x）单调性,

e

最值，即可得出答案.

解：方法(1)：f(x)=《(ln^-1),

、rX

设

e

L=

则t'(x)=-^O=>x=l,t(x)在(0,1)单增，(1,+8)单减，

e

•••t(x)max=t(l)=p

又x>0,即

e

则有g(t)=t(lnt-l)(0<t<-),

e

g'(r)=lnt,

0<t4工=■=-1，

ee

：.g'(r)<0,

・,.g(r)在(0,工］单减，

e

g(t)^=g(-(lrr^-l)=-—•

eeee

方法(2)：f(x)二」］口乂：,其中(xbvc-x2-x)'=lnx-2x,

e

々/(x-1)(x-lnx)

f(x)=---------------------，

e

Vx-仇x>0恒成立，

AXG(0,1)时，/(x)VO；怔(1,+8),/(x)>0,

：.f(x)在(0,1)单减，(1,+8)单增，

,2

:.f(x)-二f(1)二——.

八'J，e

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分。解答题应

写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知抛物线C：/=2外(p>0)的焦点F与双曲线E：_x2=1的一个焦点重合.

3

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若过抛物线C的焦点的直线/交抛物线于A,B两点，且以8|=10,求直线/的方程.

【分析】(1)由双曲线方程求出焦点坐标，结合题意可得p,则抛物线方程可求；

(2)设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、焦半径公式求解.

2

解：(1)：£1_*2=1的焦点为(0，±2)，

3

Ac：x1=2py(p>0)的焦点为(0,2)=勺2np=4,

・・・抛物线C的标准方程为必=8)，.

(2)设过焦点为(0,2)的直线方程为>=日+2,代入/=8)，得：x2--16=0,

设4(汨，yi),8(X2,”)，

则|A3|=yi+y2+4=10=yi+y2=Z(笛+及)+4=6,

即8k2=2交2=，1<=±5，

42

二直线/为:y=±yX+2.

18.2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度的大型学生社团文化节，吸引了众多

学生.巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生共有四

百人左右.已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4,为了解学

生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如图等高

累积型条形图：

■参加社团

||未参加社团

男生女生

(1)求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；

(2)若抽取了100名学生，完成下列2X2列联表，并依据小概率值a=0.05的独立性

检验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由.

参加社团未参加社团合计

男生

女生

合计

n(ad-bc)2

附：x2_.,,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

【分析】（1）由题中的数据，利用贝叶斯公式求解即可;

（2）先完成2X2列联表，然后由列联表中的数据，计算群的值，对照临界表中的数据,

比较即可得到答案.

解：（1）设高一和高二的所有学生中任选一人是男生、是女生分别为事件A、A，

设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件B,

则P(A)=60%,P(A)=40%>

则

P（A|B）至喘产P(A)P(B|A)60%-10%63

P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+40%-20%飞+8-7'

（2）2X2列联表如下:

参加社团未参加社团合计

男生65460

女生83240

合计1486100

假设为为：性别与参加社团独立，即性别与参加社团无关,

根据列联表中的数据，经计算得到

X,嘿箴^工郎＜工刈”。.。5,

依据小概率值a=0.05的独立性检验，没有充分的证据推断Ho不成立,

因此可以认为Ho成立，即性别与参加社团无关.

19.如图几何体中,A4,,BB\,CG都垂直于底面ABiG,已知如8i=8iG=l,ZAiBiCi

=90°,AAi=\,BBi=2,CG=3.

(1)求该几何体的体积；

(2)求平面A8C与平面A\B\C\所成锐二面角的余弦值.

【分析】(1)原几何体补形得一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，利用体积转化求

解即可.

(2)建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，平面A81cl的一^法向量利用空

间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可.

解：(1)如图所示，原几何体补形得一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，

则

„„„11(1+2)x1311

V几何体ABC-A：B：C「V三棱柱EFC-A：B：C「V四棱锥C-AEFBavXoSEi~7=1

①

(2)建立如图所示的空间直角坐标系,

设平面ABC的法向量为W=(x,y,z)，AB=(-1,0,1).BC=(O,1,1)，

[-x+z-0＞取[(],1),平面AiBG的一个法向量为\=(O,0,1)

ly+z=0

—♦—♦

AIcosG.人〉♦=1平面ABC与平面48Q所成锐二面角的余弦值

InMmlV3

V

20.风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程，今年是中国共产党成立100周年.为传承红色基因，

某市开展了“学党史，担使命”的中学生党史知识竞赛，共一万名学生参赛，其成绩服

从正态分布N（72,81）.现从中随机抽取40名学生的成绩，得到如图所示的茎叶图.

（1）求这40名学生成绩的中位数和众数；

（2）主办单位计划奖励成绩排在前228名的学生，则获奖学生的分数线应划为多少分？

（3）现从这40名成绩在［80,100］分的学生中随机抽取2人，依据（2）划定的获奖分数

线，记这2人中获奖人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据：尸（R-。＜WWp+。）々0.6826,P（口-2。＜《Wu+2。）、0.9544,尸⑺-3

o＜宁口+3。）%0.9974.

519

6222345669

711112233455566889

812344569

91269

40名学生知识克赛成绩

茎叶图

【分析】（1）根据已知数据，结合众数和中位数的定义，即可求解.

（2）根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

（3）这40名学生中成绩在［80,100］分的共有12人，其中［90,100］分（获奖）的学生

有4人，则X〜”（2,4,12）,分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望

公式，即可求解.

解：(1)将40名学生的成绩从小到大排序，可得中位数为殁殳=74.5,众数为71.

(2)该市一万名学生成绩U〜N(72,92),

则由正态曲线的对称性得>90)=1~'1,^544=0,0228,

,.-0.0228X10000=228(人)，

获奖学生的分数线应划为90(分).

(3)这40名学生中成绩在［80,100］分的共有12人，其中［90,100］分(获奖)的学生

4R/、Q14-

有4人，则X〜H（2,4,12）,P（X=k）="2~~（k=0,1,2）,P（X=0）=-^-=^!

C12C12

plplr2

P（X=1）=艺啮P（x=2）=/卡

b12L12

故X的分布列为:

X012

p14161

333311

21.已知函数/(x)f/ax+ox2-2x+£>在x=l处的切线方程为y=3x—1.

(1)求实数m匕的值；

(2)已知关于x的不等式「(X)|<f在(0,1)上恒成立，求实数f的取值范围.

【分析】(1)求导的/(x)—lnx+2ax-1,由导数的几何意义可得％以=/(1)—2a-1

=3,解得“，根据题意可得切点(1,卷)代入/(X)解得江

(2)由(1)得f(x)=xlnx+2x2-2x+/(0〈x〈：L),求导，分析单调性，可得了(x)

min,分析，(X)\maxt只需/>|/(X)|.，即可得出答案.

解：(1)因为/(x)=lnx^2ax-1,

所以/(1)=2。-1=3=。=2,

所以切点(1,代入得：f(1)=a-2+b=

所以。=2,b="

2

⑵由(1)得：f(x)=xlnx+2x2-2x+^(0<x<1)，

f(x)=(l+/m?)+4x-2=4x+枢-1,

f"(x)=44>0，

X

则/(X)在(0,+8)上是增函数，

又f，(?)*2<0,针(y)=l-ln2>0,

所以，存在仕，!)，使得/(助)=°，即阮vo=l-4xo①

ue2

所以在(0,xo)时，f(x)<0,

xe(xo,+8)时，f(x)>0,

所以/(%)在(0,Xo)单减，在(xo,+8)单增，

所以fix'1n=f(Xo)=XolnxQ+2xQ2-2x0+^

22

将①代入得：f(x0)=x0(l-4x0)+2x0-2x0-^=-2x0-x0+y-

因为/(沏)在,《)单减,

62

2

所以f(x0)>f(■1")=-2X(y)~'2+^=~^2,

22

所以xe(0,1)时，蒋<f(x0)<f(x)=xlnx+2(x-/)〈2缶卷)

当且仅当x=l时取等，所以等号不成立，则|f(x)|<y,

所以f>/(x)|在(0,1)上恒成立时，t>|,

所以f的取值范围为+8).

22.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一

书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之

比丘3〉。,

人户1),人是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,

圆心在直线P。上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为r+^=4,定点分别

乙41

为椭圆C：三■^片l(a〉b〉O)的右焦点尸与右顶点4且椭圆C的离心率为e=(.

a"b"2

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，过右焦点F斜率为k(A>0)的直线/与椭圆C相交于B,。(点B在x轴

上方)，点S,T是椭圆C上异于B,。的两点，SF平分/BSD,TF平分NBTD.

（i）求的的取值范围;

81K

（ii）将点5、F、7看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若尸T外接圆的面积为

8

求直线/的方程.

J（X-C）2+y2

MFVUC，7

【分析】（1）结合题意可得