高中物理（2019必修第一册）旧教材同步讲义第2章 4　匀变速直线运动的速度与位移的关系同步讲义

4匀变速直线运动的速度与位移的关系[学习目标]1．会推导速度与位移的关系式，并知道关系式中各物理量的含义.2.会用公式v2－v02＝2ax进行分析和计算.3.掌握初速度为零的匀加速直线运动的比例式，并会进行有关计算．速度与位移的关系式1．公式：v2－v02＝2ax.2．推导：速度公式v＝v0＋at.位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.由以上两式可得：v2－v02＝2ax.判断下列说法的正误．(1)公式v2－v02＝2ax适用于所有的直线运动．(×)(2)做匀加速直线运动的物体，位移越大，物体的末速度一定越大．(×)(3)确定公式v2－v02＝2ax中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的．(√)(4)因为v2－v02＝2ax，v2＝v02＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0.(×)一、关系式v2－v02＝2ax的理解和应用如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？答案eq\f(v2,2a)解析由v＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间t＝eq\f(v,a).所以飞机起飞所通过的位移为x＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(v2,2a).

对速度与位移的关系v2－v02＝2ax的理解1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．2．矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又运动到计时起点另一侧的位移．(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又反向运动的速度．注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．3．公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．例1长100m的列车通过长1000m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10m/s，完全出隧道时的速度是12m/s，求：(1)列车过隧道时的加速度是多大？(2)通过隧道所用的时间是多少？答案(1)0.02m/s2(2)100s解析(1)x＝1000m＋100m＝1100m，v0＝10m/s，v＝12m/s，由v2－v02＝2ax得，加速度a＝eq\f(v2－v02,2x)＝0.02m/s2.(2)由v＝v0＋at得所用时间为t＝eq\f(v－v0,a)＝eq\f(12－10,0.02)s＝100s.针对训练(2020·济宁一中高一期中)假设某列车在某一路段做匀加速直线运动，速度由10m/s增加到30m/s时的位移为x，则当速度由30m/s增加到50m/s时，它的位移是()A．xB．1.5xC．2xD．2.5x答案C解析根据v2－v02＝2ax，速度由10m/s增加到30m/s时，(30m/s)2－(10m/s)2＝2ax；速度由30m/s增加到50m/s时，(50m/s)2－(30m/s)2＝2ax′.联立解得x′＝2x，选项C正确．例2一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：(1)火车的加速度大小；(2)火车中点经过此路标时的速度大小；(3)整列火车通过此路标所用的时间．答案(1)eq\f(v22－v12,2l)(2)eq\r(\f(v12＋v22,2))(3)eq\f(2l,v1＋v2)解析(1)由匀变速直线运动的规律得v22－v12＝2al，即a＝eq\f(v22－v12,2l).(2)设火车中点经过此路标时速度为，则2－v12＝2a·eq\f(l,2)解得＝eq\r(\f(v12＋v22,2)).(3)火车的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v1＋v2,2)故所用时间t＝eq\f(l,\x\to(v))＝eq\f(2l,v1＋v2).1．注意：匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度与位移中点的瞬时速度不同，匀变速直线运动位置中点的瞬时速度＝eq\r(\f(v2＋v02,2))，时间中点的瞬时速度＝eq\f(v0＋v,2).2．可以证明不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有＞.二、初速度为零的匀加速直线运动的比例式1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．2．按位移等分(设相等的位移为x)，则：(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n).(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n).(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))．例3一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4s末的速度为4m/s.求：(1)第6s末的速度大小；(2)第1s内的位移和前6s内的位移；(3)第6s内的位移大小．答案(1)6m/s(2)0.5m18m(3)5.5m解析(1)由于第4s末与第6s末的速度之比v4∶v6＝4∶6＝2∶3故第6s末的速度v6＝eq\f(3,2)v4＝6m/s(2)由v4＝at4得a＝eq\f(v4,t4)＝1m/s2.所以第1s内的位移x1＝eq\f(1,2)at12＝0.5m第1s内与前6s内的位移之比x1∶x6＝12∶62故前6s内小球的位移x6＝36x1＝18m(3)第1s内与第6s内的位移之比xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11故第6s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5m.例4(多选)(2019·广安高一上学期期末)水球可以挡住高速运动的子弹．中央电视台《国家地理频道》实验证实：如图1所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)()图1A．子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1B．子弹在每个水球中运动的时间之比t1∶t2∶t3＝(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)∶1C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1答案BD解析把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶eq\r(2)∶eq\r(3).则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比v1∶v2∶v3＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1，故C错误，D正确．子弹从右向左，通过每个水球的时间之比为1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))．则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)∶1，故B正确，A错误．

1．(速度与位移的关系)(2020·临沂市高一期末)在交通事故分析中，刹车线的长度是事故责任认定的重要依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是10m，假设汽车刹车时的加速度大小为5m/s2，则汽车开始刹车时的速度为()A．5m/sB．10m/sC．15m/sD．20m/s答案B解析根据匀变速直线运动的速度位移公式得0－v02＝2ax，解得汽车开始刹车时的速度v0＝eq\r(－2ax)＝eq\r(－2×－5×10)m/s＝10m/s，故B正确．2．(速度与位移的关系)如图2所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平平面上的加速度a2的大小关系为()图2A．a1＝a2 B．a1＝2a2C．a1＝eq\f(1,2)a2 D．a1＝4a2答案B解析设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有：v2＝2a2x2，联立两式解得eq\f(a1,a2)＝eq\f(x2,x1)＝2，即a1＝2a2.3.(初速度为零的匀变速直线运动的比例关系)(多选)(2019·扬州中学月考)如图3所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是()图3A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶2B．通过各段所用的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶2D．下滑全程的平均速度eq\x\to(v)＝vB答案ACD解析物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝eq\r(x)，A正确；通过各段时间之比为1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))，故B错误；又由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故eq\x\to(v)＝vB，D正确．4．(速度与位移的关系)(2019·辉县一中段考)“神舟五号”载人飞船的返回舱距地面10km时开始启动降落伞装置，速度减至10m/s，并以这个速度在大气中匀速降落，在距地面1.2m时，返回舱的4台缓冲发动机开始向下喷火，舱体再次减速．设最后减速过程中返回舱做匀减速运动，并且到达地面时速度恰好为2m/s，求最后减速阶段的加速度．答案见解析解析在匀减速阶段，初速度v0＝10m/s，末速度vt＝2m/s，位移x＝1.2m，根据vt2－v02＝2ax得：a＝eq\f(vt2－v02,2x)＝eq\f(22－102,2×1.2)m/s2＝－40m/s2负号表示加速度方向竖直向上．一、选择题考点一速度与位移关系的理解与应用1.如图1所示，航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5m/s2，战斗机滑行100m时起飞，起飞速度为50m/s，则航空母舰静止时弹射系统必须使战机具有的初速度为()图1A．10m/s B．20m/sC．30m/s D．40m/s答案D解析根据公式v2－v02＝2ax，解得v0＝eq\r(v2－2ax)＝eq\r(502－2×4.5×100)m/s＝40m/s，D正确．2．如图2所示，一辆正以8m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18m时的速度为()图2A．8m/s B．12m/sC．10m/s D．14m/s答案C解析由v2－v02＝2ax得v＝eq\r(v02＋2ax)＝eq\r(82＋2×1×18)m/s＝10m/s，C正确．3．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为()A．1∶2 B．1∶4C．4∶1 D．2∶1答案B解析小车的末速度为0时，运动的位移最大，由v2－v02＝2ax得eq\f(x1,x2)＝eq\f(v012,v022)＝eq\f(1,4)，选项B正确．4．如图3所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5m/s增加到10m/s时位移为x.则当速度由10m/s增加到15m/s时，它的位移是()图3A.eq\f(5,2)xB.eq\f(5,3)xC．2xD．3x答案B解析由v2－v02＝2ax得102－52＝2ax,152－102＝2ax′；两式联立可得x′＝eq\f(5,3)x，故B正确．5．物体的初速度是v0，以不变的加速度a做直线运动，如果要使速度增加到初速度的n倍，那么经过的位移是()A.eq\f(v02,2a)(n2－1) B.eq\f(v02,2a)(n－1)C.eq\f(v02,2a)n2 D.eq\f(v02,2a)(n－1)2答案A解析由公式v2－v02＝2ax知，(nv0)2－v02＝2ax，得x＝eq\f(v02,2a)(n2－1)，A正确．6．一滑雪运动员由静止开始沿足够长的斜坡匀加速下滑．当下滑距离为l时，速度为v，那么，当他的速度是eq\f(v,2)时，下滑的距离是()A.eq\f(l,2)B.eq\f(\r(2)l,2)C.eq\f(l,4)D.eq\f(3l,4)答案C解析由v2－v02＝2ax知v2＝2al；当速度为eq\f(v,2)时有(eq\f(v,2))2＝2al1，得l1＝eq\f(v2,8a)＝eq\f(l,4)，C正确．7.如图4所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L，一颗子弹沿水平方向以v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为()图4A.eq\f(2v1＋v2,3) B.eq\r(\f(2v12＋v22,3))C.eq\r(\f(v12＋v22,3)) D.eq\f(2,3)v1答案B解析设子弹运动的加速度大小为a，子弹穿出A时的速度为v，子弹在A中运动的过程中，有v2－v12＝－2aL，子弹在B中运动的过程中，有v22－v2＝－2a·2L，两式联立可得v＝eq\r(\f(2v12＋v22,3)).故正确答案为B.考点二初速度为零的匀变速直线运动的比例式8．(2019·豫南九校高一第一学期期末联考)质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2s、第2个2s和第5个2s内三段位移之比为()A．1∶4∶25 B．2∶8∶7C．1∶3∶9 D．2∶2∶1答案C解析质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以质点在第1个2s、第2个2s和第5个2s内的三段位移之比为1∶3∶9，因此选C.9．(2019·抚顺重点高中协作校高一上学期期末)一观察者站在第一节车厢前端，设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计，当列车从静止开始做匀加速运动时，下列说法中正确的是()A．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶2∶3∶…B．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…C．在相等时间里经过观察者的车厢速度之比是1∶22∶32∶…D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…答案D10．(多选)如图5所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是()图5A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶eq\r(2)C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶eq\r(2)D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(eq\r(2)＋1)∶1答案BD解析方法一根据匀变速直线运动的速度位移公式：v2＝2ax，解得：v＝eq\r(2ax)，因为经过B、C两点的位移比为1∶2，则通过B、C两点的速度之比为1∶eq\r(2)，故B正确，A错误；设AB段、BC段的长度为L，所经历的时间分别为t1、t2，根据匀变速直线运动的位移时间公式：L＝eq\f(1,2)at12和2L＝eq\f(1,2)a(t1＋t2)2，联立可得：eq\f(t1,t2)＝eq\f(\r(2)＋1,1)，故D正确，C错误．方法二比例关系：初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))，所以滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶(eq\r(2)－1)＝(eq\r(2)＋1)∶1，D正确，C错误；通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n)，A错误，B正确．二、非选择题11．在全国铁路第六次大提速后，火车的最高时速可达250km/h，若某列车正以216km/h的速度匀速运行，在列车头经路标A时，司机突然接