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文档简介

几何综合题中考真题1.如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且∠AGD=∠BGC,(1)求证:AD=BC;(2)求证:△AGD∽△EGF;(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求的值.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).【分析】(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得GA=GB,GD=GC.由“SAS”可判定△AGD≌△BGC根据全等三角形的对应边相等即可得AD=BC;(2)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定△AGB∽△DGC,再由相似三角形对应高的比等于相似比可得,再证得∠AGD=∠EGF,根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△AGD∽△EGF;(3)如图1,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AH⊥BH.由△AGD≌△BGC可知∠GAD=∠GBC.在△GAM和△HBM中,由∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB可证得∠AGB=∠AHB=90°,根据等腰三角形三线合一的性质可得∠AGE=45°,即可得出,根据相似三角形对应边的比相等即可得.【详解】(1)证明:,E为AB的中点,.同理,.,易证,.(2)证明:,.,,点E,点F分别是AB、CD的中点,,,..易证,,即.易证.(3)方法1:如图所示,延长AD和BC,相交于点H,与BG相交于点M.AD,BC所在的直线互相垂直,....在等腰直角三角形GAB中,.由(2)的结论:,可得.方法2:如图所示,连接对角线AC,取AC的中点H,连接EH,FH.F、H、E分别是CD,AC,AB中点,FH是的中位线,EH是的中位线,∴HF//AD,,HE//BC,.AD、BC所在的直线互相垂直,.,,在等腰直角三角形HEF中,,.方法3如图所示,过点A作AM//DC,使,连接MB,MC,过点E作EN//AM,交BM于点N,连接NC,则四边形AMCD为平行四边形.∴AD//MC,,EN//AM//CD.E为AB中点,N为BM中点,,四边形ENCF为平行四边形,.AD,BC所在的直线互相垂直,,是等腰直角三角形,,即.2.已知正方形,点为边的中点.(1)如图1,点为线段上的一点,且,延长,分别与边,交于点,.①求证:;②求证:.(2)如图2,在边上取一点,满足,连接交于点,连接延长交于点,求的值.【答案】(1)详见解析;(2)【详解】试题分析:(1)①利用ASA判定证明两个三角形全等;②先利用相似三角形的判定,再利用相似三角形的性质证明;(2)构造直角三角形,求一个角的正切值.试题解析:(1)①证明:∵四边形为正方形,∴,,又,∴,又,∴,∴(ASA),∴.②证明:∵,点为中点,∴,∴,又∵,从而,又,∴,∴,即,由,得.由①知,,∴,∴.(2)解:(方法一)延长,交于点(如图1),由于四边形是正方形,所以,∴,又,∴,故,即,∵,,∴,由知,,又,∴,不妨假设正方形边长为1,设,则由,得,解得,(舍去),∴,于是,(方法二)不妨假设正方形边长为1,设,则由,得,解得,(舍去),即,作交于(如图2),则,∴,设,则,,∵,即,解得,∴,从而,此时点在以为直径的圆上,∴是直角三角形,且,由(1)知,于是.考点:(1)全等三角形的判定;(2)相似三角形的判定及性质;(3)求一个角的三角函数值.3.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F(1)求证:CM=EM;(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM【答案】(1)证明见解析;(2)∠EMF=100°;(3)证明见解析.【详解】【分析】(1)在Rt△DCB和Rt△DEB中,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行证明即可得;(2)根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=40°,根据CM=MB,可得∠MCB=∠CBM,从而可得∠CMD=2∠CBM,继而可得∠CME=2∠CBA=80°,根据邻补角的定义即可求得∠EMF的度数;(3)由△DAE≌△CEM,CM=EM,∠DEA=90°,结合CM=DM以及已知条件可得△DEM是等边三角形,从而可得∠EDM=60°,∠MBE=30°,继而可得∠ACM=75°,连接AM,结合AE=EM=MB,可推导得出AC=AM,根据N为CM中点,可得AN⊥CM,再根据CM⊥EM,即可得出AN∥EM.【详解】(1)∵M为BD中点,Rt△DCB中,MC=BD,Rt△DEB中,EM=BD,∴MC=ME;(2)∵∠BAC=50°,∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-50°=40°,∵CM=MB,∴∠MCB=∠CBM,∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM,同理,∠DME=2∠EBM,∴∠CME=2∠CBA=80°,∴∠EMF=180°-80°=100°;(3)∵△DAE≌△CEM,CM=EM,∴AE=EM,DE=CM,∠CME=∠DEA=90°,∠ECM=∠ADE,∵CM=EM,∴AE=ED,∴∠DAE=∠ADE=45°,∴∠ABC=45°,∠ECM=45°,又∵CM=ME=BD=DM,∴DE=EM=DM,∴△DEM是等边三角形,∴∠EDM=60°,∴∠MBE=30°,∵CM=BM,∴∠BCM=∠CBM,∵∠MCB+∠ACE=45°,∠CBM+∠MBE=45°,∴∠ACE=∠MBE=30°,∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°,连接AM,∵AE=EM=MB,∴∠MEB=∠EBM=30°,∠AME=∠MEB=15°,∵∠CME=90°,∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM,∴AC=AM,∵N为CM中点,∴AN⊥CM,∵CM⊥EM,∴AN∥CM.【点睛】本题考查了三角形全等的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等,综合性较强,正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.4.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°(1)求证:△PAB∽△PBC(2)求证:PA=2PC(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2·h3【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【分析】(1)结合题意,易得∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC,然后由∠APB=∠BPC=135°即可证明△PAB∽△PBC;(2)根据(1)中△PAB∽△PBC,可得,然后由△ABC是等腰直角三角形,可得出,易得PA=2PC;(3)过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC、AC于点D,E,首先由Rt△AEP∽Rt△CDP得出,即,再根据△PAB∽△PBC可得出,整理即可得到.【详解】解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC又∠APB=135°,∴∠PAB+∠PBA=45°,∴∠PBC=∠PAB,又∵∠APB=∠BPC=135°,∴△PAB∽△PBC;(2)∵△PAB∽△PBC,∴,在Rt△ABC中,AC=BC,∴,∴∴PA=2PC;(3)过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC、AC于点D,E,∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°,∴∠APC=90°,∴∠EAP+∠ACP=90°,又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°∴∠EAP=∠PCD,∴Rt△AEP∽Rt△CDP,∴,即,∴∵△PAB∽△PBC,∴即.【点睛】本题是相似三角形综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质,其中第(3)问有一定难度,通过作辅助线构造出Rt△AEP∽Rt△CDP是解题关键.5.如图1.已知四边形是矩形.点在的延长线上.与相交于点,与相交于点求证:;若,求的长;如图2,连接,求证:.【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析【分析】(1)由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB,则有∠E=∠ADB,进而证得∠EGB=90º即可证得结论;(2)设AE=x,利用矩形性质知AF∥BC,则有,进而得到x的方程,解之即可;(3)在EF上截取EH=DG,进而证明△EHA≌△DGA,得到∠EAH=∠DAG,AH=AG,则证得△HAG为等腰直角三角形,即可得证结论.【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠EAD=90º,AO=BC,AD∥BC,在△EAF和△DAB,,∴△EAF≌△DAB(SAS),∴∠E=∠BDA,∵∠BDA+∠ABD=90º,∴∠E+∠ABD=90º,∴∠EGB=90º,∴BG⊥EC;(2)设AE=x,则EB=1+x,BC=AD=AE=x,∵AF∥BC,∠E=∠E,∴△EAF∽△EBC,∴,又AF=AB=1,∴即,解得:,(舍去)即AE=;(3)在EG上截取EH=DG,连接AH,在△EAH和△DAG,,∴△EAH≌△DAG(SAS),∴∠EAH=∠DAG,AH=AG,∵∠EAH+∠DAH=90º,∴∠DAG+∠DAH=90º,∴∠HAG=90º,∴△GAH是等腰直角三角形,∴即,∴GH=AG,∵GH=EG-EH=EG-DG,∴.【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识,涉及知识面广,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用截长补短等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.6.如图1,在四边形ABCD中,,点E在边BC上,且,,作交线段AE于点F,连接BF.(1)求证:;(2)如图2,若,,,求BE的长;(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求的值.【答案】(1)见解析;(2)6;(3)【分析】(1)根据平行线的性质及已知条件易证,,即可得,;再证四边形AFCD是平行四边形即可得,所以,根据SAS即可证得;(2)证明,利用相似三角形的性质即可求解;(3)延长BM、ED交于点G.易证,可得;设,,,由此可得,;再证明,根据全等三角形的性质可得.证明,根据相似

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