2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.函数y=4(2—x+3/)2的导数是()

A.8(2-%+3%2)B.2(-1+6%)2

C.8(2—x+3X2)(6X—1)D.4(2—%+3x2)(6x—1)

2.已知单位圆上第一象限一点P沿圆周逆时针旋转g到点Q,若点Q的横坐标为则点P的

JZ

横坐标为()

11CCD

A.3-B.2-2

3.准线方程为x=2的抛物线的标准方程为()

A.y2=~8xB.y2=-4xC.x2=-8yD.x2=4y

4.若满足乙AC=6,8C=k的AABC恰有一个，则实数k的取值范围是()

A.(0,6]B.(0,6]U{6，7}C.[6,6<7]D.(6,6，7)

5.将函数〃x)=2s出(2x-金的图像向右平移汐单位后所得到的函数记为g(x),则下列结

论中正确的是()

A.g(x)的对称中心为惇+?0)(keZ)

B.g(x)=2sin(2x+今

C.g(%)在脸,刍上单调递减

D.g(x)的图像关于尤=会对称

6.已知函数/二丁，x/2若在区间(1,+8)上存在%(i=l,2“㈤，使得

孚=软0<k<4),贝E的取值不可能为()

xi

A.1B.2C.3D.4

7.定义域为R的函数/(©,g(x)满足f(l)>；,/(2)<2,且对于任意s,t均有2/(s)g(t)=

9(s+t)-g(s-t),2g(s)g(t)=f(s—t)-f(s+t),则()

A.f(O)+g(O)>lB.

C./(1)/(2)<g(l)g(2)D.f(l)f(2)+g⑴g⑵>1

8.如图，在棱长为2的正四面体4BCD中，点N,M分别为△ABC和的重心，P为线段CM

上一点，（）

A.4P+BP的最小为2

B.若DPI平面ABC,则正=叵而

4

C.若DPI平面4BC,则三棱锥P—4BC外接球的表面积为半

D.若尸为线段EN的中点，且DP〃MF,则MP=|"C

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.若四边形4BCD是矩形，则下列命题中正确的是（）

A.而,乐共线B.而,前相等

C.而，而模相等，方向相反D.左，丽模相等

10.若函数〃x）=tcm2x的图象向右平移令个单位得到函数g（x）的图象，那么下列说法正确

的是（）

A.函数g（x）的定义域为{X|XK/OT+今keZ}

B.函数g（x）在（一工涔）单调递增

C.函数g（x）图象的对称中心为亭+髀）,keZ

D.函数g（x）<1的一个充分条件是看<x<l

11.下列推导过程，正确的为（）

A.因为a、b为正实数,所以2+222氏1=2

ab7ab

B.因为％GR,所以%>1

C.因为a<0,所以±+a22/±-a=4

aya

D.因为久、yeR,孙<0,所以,+,=_[(—》+(T)]W_2I(_〉(_今=—2当且仅当

yxyx7yx

X=-y时，等号成立

12.下列不等关系正确的是()

A.3e<e3<37rB.e3<7re<enC.ne<n3<enD.3e<zr3<37r

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知关于变量x与y的5组数据(52)、(7,%)、(13,人)、(19,%)，若其得到的

线性回归方程为y=2久+45，则亍=-

14.｛即｝为等差数列，Sn为其前几项和，若S3=4d4,贝b10=.

15.设P为直线3x—4y+11=0上的动点，过点P作圆C：/+/一2%一2丫+1=0的两条

切线，切点分别为4B,则四边形P4CB面积的最小值为.

16.若存在无穷数列｛&J,｛g｝满足：对于任意"eN+，厮+「如+1是方程/-；(an+bn)x+

7anbn=。的两根，且%()=1,瓦〉0,则瓦=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

将下列指数式与对数式互化：

(l)ea=16；

(2)64-3=1;

(3)log39=2；

(4)logxy=z(x>。且久Hl,y>0).

18.(本小题12.0分)

根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程.

(1)焦点在久轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,-6)；

(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(X)=e"+a/—%—1,aER.

(1)若曲线y=/(比)在(—1/(—1))处的切线过点(0,0),求a的值；

(2)若/(久)在x=0处取得极小值，求a的取值范围.

20.(本小题12.0分)

(1)已知sin—a)=卷，且一岑<a<一］,求sin(瑞+a)的值；

(2)在△ABC中，己知sinA+cos4="，求tcmA的值.

21.(本小题12.0分)

四棱锥S—ABCD中，底面2BCD为平行四边形，侧面SBC1底面48CD,已知乙48c=45。,

AB=2,BC=SA=SB=C.

(1)证明SA1BC-,

(2)求直线SD与平面S4B所成角的大小.

22.(本小题12.0分)

已知等比数列的公比为4(4>1),且牝=1,数列｛.｝满足bn+i-%=an+1-X,br=工.

(1)求数列｛g｝的通项公式.

1

(2)规定：［%］表示不超过％的最大整数，如［一1.2］=-2,［2.1］=2.若；I=2,c=

n。九十乙7n乙

2

记〃=q+。2+。3+-+cn(n>2)求［?啜［；+2］的值,并指出相应九的取值范围.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：函数y=4(2—刀+3/)2,

所以y'=8(2-x+3x2)-(-1+6x)=8(2一久+3x2)(6x-1).

故选：C.

直接利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可.

本题考查了导数的运算，涉及了复合函数的求导公式的应用，解题的关键是掌握常见函数的求导

公式以及导数的运算法则，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由单位圆上第一象限内一点P沿圆周逆时针旋转g到点Q,点Q的横坐标为

可知点Q的纵坐标为?，即sinZjrOQ=孕，cosZ-xOQ=—1

设点P的横坐标为3

77

又乙xOP=Z-xOQ-

所以t=cosZxOP=cos(ZxOQ—g)=|coszxOQ+ysin/oOQ=|x(—|)+?x?=

故选：B.

利用任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式即可求解.

本题考查任意角的三角函数的定义，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：准线方程为x=2的抛物线的标准方程为y2=-2px,

令%2,解得p=4,

故y2=-8%.

故选：A.

根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解.

本题主要考查抛物线标准方程的求解，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为N4BC=a，AC=6,8C=k的A/IBC恰有一个,

所以4C=BCsin^ABC^AC>BC,

即6=k[^则k=6A/-2,

或者6>k,

所以可得k6(0,6]U{6C};

故选：B.

由只有一个三角形的条件可得2C=BCsin^ABC^AC>BC,再由题意可得k的取值范围.

本题考查三角形个数的判断方法，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解:将函数〃久)=2s讥(2xg)的图像向右平移着个单位后所得到的函数g(x)=2sin(2x-

-y')=-2sin(2x+^),B错误，。正确；

令2x一等=卜兀得x=竽+*kEZ,

故函数g(x)的对称中心为名+(,0),keZ,A错误；

令三2x-竿得居W久4晋即久久)的一个单调递减区间为塔，普，C错误;

又g(工)=2s出(一9=-2,

则9。)的图象关于％=工对称，。正确.

故选：D.

先根据函数图象的平移求出gQ),然后结合正弦函数的诱导公式，正弦函数的对称性及正弦函数

的单调性分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了函数图象的平移，正弦函数的单调性，对称性的应用，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：函数〃久”

竽表示（X,/。））点与原点连线的斜率，

...乎=竽=…华!的几何意义为这些点有相同的斜率，

X1x2xn

作出函数/'（%）的图象，在区间（1,+8）上，

y=kx与函数f（x）的交点个数有1个，2个或者3个，

即n的取值集合是{1,2,3},

故选：D.

作出/（均的图象，竽=守=…竽的几何意义为这些点有相同

X1x2xn

的斜率，利用数形结合即可得到结论.

本题考查的知识点是斜率公式，正确理解?表示（久,/（久））点与原点连线的斜率是解答的关键.

7.【答案】C

1-1

【解析】解：取/(%)=cosx,g(%)=sinx,满足/(l)=cosl>cos60°=/(2)=cos2<0<-,

sin(s+t)—sin(s—t)=2coss-sint,即2/(s)g(t)=g(s+t)—g(s—t),

cos(s+t)—cos(s—t)=2sins-sint,即2g(s)g(t)=f(s—t)—f(s+t),

上述函数满足题设要求，

对选项A：/(O)+g(0)=cosO+sinO=1,错误；

对选项5：/(-I)-5(-1)=cos(-l)-sin(-l)=V^sinCl+^)>V_2sin(y+^)=1,错误；

对选项C：coslcos2—sinlsin2=co(l+2)=cos3<0,故/(l)f(2)<g(l)g(2),正确；

对选项D：coslcos2+sinlsin2=cos(l-2)=cosl<1,错误.

故选：C.

=cosx,g(x)=sinx,验证满足各个条件，再根据三角函数的公式，依次计算每个选项得

到答案.

本题考查函数值的计算，函数值比较大小，构造函数是解决本题的关键，是中档题.

8.【答案】D

【解析】解：,•・CM，平面4BD,CM1BM,CM1AM,当点P与点M重合时，2P+BP取得最小

值，最小值为2M+BM=殍，故A错误；

在正四面体4BCD中，•••DP_L平面4BC,；.DNCCM=P,则点P为正四面体4BCD内切球的球心,

CN=|CE=铝

DN=7CD2—CN2=亨,设正四面体4BCD内切球的半径为r,因为/.ABC=%TBC+

^P-ABD+^P-BCD+^P-ACD'

RRSR

■■■：SA4BC.DN=^SAABC-r+:SAABD'+I5ABCD-+IAACD->解得r=NP=粤=?，故

CP=^CM,故B错误；

4

设三棱锥P—ABC外接球的球心为0,半径为R,则R2=。。2=cW+(OP-N+>，

解得R=^I则三棱锥P-ABC外接球的表面积为4TTR2=等，故c错误；

42

MF=ME+yEC=^~DE+^-ED+^-~DC=^-DM+^-DC=｝；~DM+y~DC,

63666646

设丽=AMCJOOP=W+AMC=W+AMO+ADC=(1-A)W+ADC>

_C=(1—A)/zA=-7

5

DPI/MF,所以〃丽，贝噌，解得｛5,故MP=，C,故D正确.

(6=^1^=12'

故选：D.

利用正四面体的性质，逐项计算判断即可.

本题考查空间几何体的性质，以及利用向量法解决几何问题的方法，属中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：•••四边形4BCD是矩形，

•­.AD//BC,\AC\=\BD\,

所以南，至共线，羽，丽模相等，故A、。正确；

•••矩形的对角线相等，

\AC\=|BD|,德丽模相等，但方向不同，故8不正确;

\AD\=\CB\5.AD//CB,所以前，布的模相等，方向相反,

故C正确.

故选：ACD.

根据向量的加法和减法的几何意义（平行四边形法则），结合矩形的判定与性质进行分析可解.

本题考查向量的共线，相等，模，向量的加减法的几何意义，属基础题，根据向量的加减法的平

行四边形法则和矩形的性质综合判定是关键.

10.【答案】BD

【解析】解：•.•函数f（x）=的图象向右平移3个单位，得到函数久久）=tan（2x-弱的图象,

由2x—^中卜兀+^,求得xH"+萼k&Z,

可得f⑺的定义域为{小+*keZ},故A错误；

当%e（T泻）,2%-a（-舞）,

故函数/（x）单调递增，故8正确；

令2x—”等，求得x="+?kEZ,

3246

可得/（X）的图象的对称中心为（与+巳。），kez,故C错误；

4o

由g（%）Wl,可得号+而，可得?一看<久《合+1，

乙JZ1ZZN4

•••g（x）<1成立的一个充分条件是看V%<3，故。正确，

故选：BD.

由题意利用函数y=4s讥（3X+R）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查函数y=4si7i（3x+0）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：对于4因为a、6为正实数，所以2>0”>0,

ab

故2+陞24=2，

ab7ab

当且仅当2=£即a=b时取等号，

ab

故选项A正确；

对于8,因为％220,所以％2+121,

则。〈喜八

故选项B错误;

对于当。<时，-+

C,0aa<0,

故选项c错误；

对于D,因为久y<0,则一，>0，一9>。，

所以以3+?=—[(一》+(一即W-2Jf=-2,

yxyx7yx

当且仅当一；=一£即工=—y时取等号，

y人

故选项。正确.

故选：AD.

利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可.

本题考查了基本不等式的理解与应用，“1”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足

三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：,­,e<3<7T,3e<3n,e3<en,e3<Tt3,

令/(久)=等(%>o),「⑺=话^,由广(%)<Q得x>e,由((久)>0得。<x<e,

.・•/(>)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，则当x=e时，"久)取得极大值也是最大值，

1

即/(%)</(e)=

对于4由/(3)</(e),可得竽<等，e仇3V3仇e,即

由/(7T)V/(3),可得萼〈当，.•・3仇7T<7T仇3,即兀3<3兀，

又•・,”v7r3,

・•・3e<e3<3%故A正确；

对于8：/(7T)</(e),即萼<?，・•.e)7TVyr伍e,即兀，<e",

2

i.z>2,In—ei

/(x)<p令力=三，则

n

整理得伉兀>2-：,gpeZnnr>e(2—金~2.7x(2—条)=3.048>3,

Inn6>Ine3,e3<7ie<e71,故5正确；

pOp

对于C：由选项区知仇7T>2—,贝|3"7T>6----->6—e>7T,BPZHTT3>TT=Ine71,•t.TT3>e71,

口71

故C错误；

对于D：/(TT)</(3),即等〈等，二3仇兀<兀仇3,即兀3<3兀，

又3,<兀，<兀3,...3e<兀3<3兀，故£)正确.

故选：ABD.

根据e<3<7i,则3,<3",e3<en,e3<it3,构造函数f(x)=等(乂>0),求出尸〈),判断/'(%)

的单调性，结合指数函数、幕函数的性质，逐一分析选项，即可得出答案.

本题考查幕函数、指数函数的性质及运用函数的单调性比较大小，考查函数思想和转化思想，考

查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

13.【答案】63

【解析】解：由题意，-=1+5+7+13+19=9)

代入y=2比+45，可得y=2x9+45=63.

故答案为：63.

将M弋入方程亍=2x+45计算，即可得答案.

本题主要考查线性回归方程及其应用，属于基础题.

14.【答案】0

【解析】解:因为S3=4a3,所以3a2=4a4,即3a2=4(a2+2d),

所以a2+8d=0,所以am=a2+8d=0.

故答案为：0.

根据等差数列的性质及通项公式计算即可得解.

本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题.

15.【答案】3

【解析】解：；圆的方程为：x2+y2-2x-2y+1=0

二圆心C(l,l)、半径r为：1

根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，

即最小距离为圆心到直线的距离，切线长P4PB最小,

|3—4+11|

圆心到直线的距离为d==2,

J32+42

\PA\=\PB\=Vd2-r2=7-3，

SPACB=2x-\PA\'r—A/-3.

故答案为：

由圆的方程为求得圆心半径r为：1,由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，

即距离为圆心到直线的距离时，切线长P4PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积

求解.

本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转

化思想.属中档题.

16.【答案】512

【解析】解：Cln+i，垢+i是方程产—(厮+^=0的两根，可得

即有&i+i+bn+1=/(的+瓦),an+1bn+1=(%瓦)不，

右,力1>0,可得bn>0,

_________1

由％i+i+bn+1>27an+1bn+1,可得+%)>2(的b)严，

对于给定的的，瓦，这显然是不可能的对于任意的"成立；

同样可以证明出1>0,bn>0,也不可能同时成立，所以a1。=1，可得必0=。，

倒推可得a1+瓦=2°(£110+bio),a1瓦=(CI^QZJ^Q)^>所以a1=0,b1=2。=512.

故答案为：512.

运用二次方程的韦达定理和等比数列的通项公式和数列的递推式，对数列｛5｝,也„｝的各项符号

讨论，即可得到所求值.

本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，

属于难题.

17.【答案】解：(l)ea=16,化为对数：a=Znl6；

(2)64-3=”，化为对数：log64[=—<;

(3)log39=2,化为指数：32=9；

z

(4)logxy=z,化为指数：x=y.

【解析】根据题意把指数化为对数，把对数化为指数即可.

本题考查了指数与对数的互化问题，是基础题.

18.【答案】解：⑴设椭圆方程为最+，=l(a>b>0),

(2b=a

则436解得=148,b2=37,

〔滔+/=1

所以椭圆方程为：攵+4=1.

14837

(2)解：设椭圆的标准方程为，+，=l(a>b〉0),

・••在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且半

焦距为6,如图所示，c=b=6,所以0=67"至，

•••椭圆的方程为:L

7236

【解析】(1)设椭圆方程为最+，=l(a>b>0),利用已

知条件列出方程组，求解a,b,得到椭圆方程.

(2)由等腰三角形的性质可知：c=6=6.则a?=+C2=72,即可求得椭圆的标准方程;

本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题.

19.【答案】解：(1)函数/(%)=ex+ax2-x-1,

所以/(-l)=-+a,

故切点为(―L；+a),

又((%)=e%+2ax—1,

则/(-1)=；—2Q-1,

故切线方程为y-0+a)=&-2a—l)(x+1),

又切线过点(0,0),

故-(}+a)=}-2a-1,

所以a=--1；

e

(2)函数/(%)=e*+ax2—%—1,

则/'(%)=e*+2ax—1,

所以/"(%)=ex+2a,

因为f(%)在久=0处取得极小值，

则((0)=0,

当/〃(%)>0时,则/(%)单调递增，

故当％V0时,/'(%)<0,则/(%)单调递减，

当%>0时，f(x)>0,则/(%)单调递增，

此时/(%)在久=0处取得极小值，

则/(0)=1+2a>0,解得a>-1,

故实数a的取值范围为(-g,+8).

【解析】(1)先求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而得到切线方程，利用切

线过点(0,0),即可求出a的值；

(2)利用二次求导的导数值大于0,则该点为函数的极小值点，列出不等式，求解即可.

本题考查了导数的应用，主要考查了导数几何意义的理解与应用，曲线切线方程的求解，函数极

值的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

20.【答案】解:⑴

••・普<用—a<粤,即5—a可能在第二，三，四象限，

又•・,sin("一a)=|>0,

・•・工一a在第二象限，

•••cos附一a)=-J1-sin2(^1-ex)=一"

・•・sin砥+a)=sing一附一a)]=cos给-a)=-^；

(2)vsinA+cosA="①,

1

•••(sinA+cosAy9=1+IsinAcosA=—

12

・•・sinAcosA=一元②，

4,.3

sinA=-sinA4=--

由①②得或

A34

cosA=--cosA=-

又•・,在△ABC中必有sizM>0,

4

sinA=-

3，

cosA=--

.sinA4

2nA^^=~3-

【解析】⑴先通过角的范围求出cos/-a),再利用诱导公式变形sin怎+a)=sing—危—a)]

后，即可利用cos(£-a)求值；

(2)将s讥4+cosA="两边同时平方可得sirMcosA的值，再结合si九4+cosA可求出sinA,cosA,

进而可求出tern/的值.

本题主要考查两角和与差的三角函数，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】解：（1）证明：在四棱锥S—ABCO中,

连接",乙48。=45。,AB=2,BC=2「，

由余弦定理得AC?=22+（2。）2-2X2X

2Afix容=42,

贝"AC=2=AB,AC2+AB2=BC2,乙CAB=90°,

取BC中点G,连接SG,AG,

则4G1BC,AG=。，

因为平面SBC_L平面4BCD,

平面SBCCl平面4BCD=BC,AGu平面48CD,于是4G_L平面SBC,

又SGu平面SBC,则有4G1SG,SG=VSA2-AG2=1,

从而SG2+BG2=3=SB2,

即有SG1BC,

而SGn4G=G,SG,AGu平面SAG,

因此BC1平面SAG,又S4u平面SAG,

所以8cls4.

（2）由（1）知，SG1BC,平面SBC1平面力BCD,平面SBCn平面力BCD=BC,SGu平面SBC,

贝USG1平面力BCD,

在口ZBCD中，^DAB=135°,连接BD,

由余弦定理得OB?=22+—2x2x2cx(一詈)=20，即OB=2门,

11

S^ABD=2sl24BCO=^^ABC=58c•AG=2,

2,2-

等腰△SAB底边AB上的iWih=JSA—(|i4B)=yT~2,S^SAB—•h=A/

设。到平面SZB的距离为d,

由％-SAB=七-4BD，得§SAS4B-d=^S^ABD-SG,

即=2x1,解得d=，7,

设BD与面SAB所成角为。，

Ijlil_d_6_

Xisind-而-0-F

所以直线DB与平面S2B所成角的正弦值是色.

10

【解析】（1）取BC的中点G,利用余弦定理求出47并证明4G1BC,再利用面面垂直的性质、线面

垂直的判定性质推理作答.

（2）利用余弦定理求出BD,再利用等体积法求出点D到平面S4B的距离即可求出.

本题考查了空间中的垂直关系的证明以及直线与平面所成的角的计算问题，属于中档题.

22.【答案】解：（1）由题意得an=a-】，所以与+1=於,

n

所以有与一瓦=”—九岳—。2二—九…，bn+i—bn=A—Af

所以%+i-4=开+於+…+於一九4=气苧一九4=*^一几4,

An+1-AAn+1-A1

所以“+i