高三概率统计知识点撷英

高三概率统计知识点撷英概率统计是高中数学中的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维、数据分析能力具有重要意义。高三阶段，面对高考，熟练掌握概率统计知识点，灵活运用相关公式、方法，对于提高解题速度和正确率具有重要意义。本文将对高三概率统计知识点进行梳理，帮助大家更好地掌握这一部分内容。一、随机事件与概率1.1随机事件的定义随机事件是指在相同的条件下，可能发生也可能不发生的事件。1.2概率的定义及性质概率是指随机事件发生的可能性，通常用0到1之间的实数表示。概率具有以下性质：（1）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。（2）互斥事件的概率和为1。（3）独立事件的概率乘积。1.3概率计算方法（1）直接计算法：根据事件的发生情况直接计算概率。（2）排列组合法：利用排列组合知识计算概率。（3）树状图法：利用树状图展示事件的所有可能结果，计算概率。（4）列表法：将所有可能结果列出来，计算概率。二、离散型随机变量2.1离散型随机变量的定义离散型随机变量是指取值有限或可数的随机变量。2.2概率质量函数（概率分布列）概率质量函数是指离散型随机变量取某个值时的概率。2.3期望值、方差与标准差（1）期望值：离散型随机变量的期望值是指所有可能取值与其概率乘积的和。（2）方差：离散型随机变量的方差是指各取值与期望值差的平方与其概率乘积的和。（3）标准差：离散型随机变量的标准差是方差的平方根。三、连续型随机变量3.1连续型随机变量的定义连续型随机变量是指取值无限且连续的随机变量。3.2概率密度函数（概率分布）概率密度函数是指连续型随机变量取某个值附近的概率。3.3期望值、方差与标准差（1）期望值：连续型随机变量的期望值是指概率密度函数在对应区间上的积分。（2）方差：连续型随机变量的方差是指概率密度函数在对应区间上的二重积分。（3）标准差：连续型随机变量的标准差是方差的平方根。四、大数定律与中心极限定理4.1大数定律大数定律是指在随机试验中，大量重复试验时，随机变量的样本均值趋近于其期望值。4.2中心极限定理中心极限定理是指当随机试验中，试验次数足够多时，随机变量的样本均值的分布趋于正态分布。五、条件概率与独立性5.1条件概率条件概率是指在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。5.2独立性独立性是指两个事件的发生互不影响。5.3全概率公式与贝叶斯公式（1）全概率公式：一个事件可以分解为几个互斥事件的和，其概率等于各互斥事件概率的和。（2）贝叶斯公式：根据已知条件，求未知概率的一种方法。六、随机样本与抽样分布6.1随机样本随机样本是指从总体中随机抽取的一部分个体。6.2抽样分布抽样分布是指随机样本的某个统计量（如均值、方差）的所有可能取值的概率分布。6.3常用抽样分布（1）正态分布（2）t分布（3）卡方分布七、假设检验7.1假设检验的基本概念假设检验是指根据样本数据，对总体参数进行推断的一种方法。7.2两类错误（1）第一类错误：拒绝真实假设。（2）第二类错误：接受虚假假设。例题1：计算下列随机事件的概率A：抛掷一个正常的六面骰子，得到偶数点的概率。B：从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率。解题方法：直接计算法。A：骰子有6个面，其中偶数点有2、4、6三个，所以概率为3/6=1/2。B：一副扑克牌中有4种花色，每种花色有13张牌，所以红桃的概率为13/52=1/4。例题2：甲、乙两人比赛，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4。甲赢后乙赢的概率是多少？解题方法：条件概率。已知甲赢后，比赛结束，乙不可能赢。所以甲赢后乙赢的概率为0。例题3：抛掷两个正常的六面骰子，两个骰子的点数之和为7的概率。解题方法：排列组合法。两个骰子的点数之和为7的可能组合有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共6种。所以概率为6/36=1/6。例题4：一个袋子里有5个红球和7个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率。解题方法：直接计算法。红球的概率为5/(5+7)=5/12。例题5：一个班级有30名学生，其中有18名女生，已知随机选取一名学生是女生的概率，求该班级有多少名男生？解题方法：用比例求解。女生概率为18/30=3/5，所以男生概率为2/5，男生人数为30×2/5=12。例题6：抛掷三枚正常的六面骰子，至少有两枚骰子的点数相同的概率。解题方法：直接计算法。至少有两枚骰子的点数相同，可以分为两种情况：（1）三枚骰子的点数都相同，有6种情况（111、222、333、444、555、666）。（2）三枚骰子中只有两枚点数相同，有3×6×5=90种情况（112、113、114、…、665）。所以，至少有两枚骰子的点数相同的概率为(6+90)/216=1/3。例题7：一个产品的合格率为90%，现随机抽取一件产品，求该产品合格的概率。解题方法：条件概率。已知该产品已经被抽到，求该产品合格的概率，即合格率本身，为90%。例题8：甲、乙两人比赛，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4。甲赢和乙赢的概率和是多少？解题方法：互斥事件的概率和。甲赢和乙赢是互斥事件，所以概率和为0.6+0.4=1。例题9：某学校有男生和女生共计1000人，男生人数为40%，求该校女生人数。解题方法：用比例求解。男生人数为40%，即男生人数为1000×40%=400人，所以女生人数为1000-400=600人。例题10：抛掷一个正常的六面骰子，得到5点的概率。解题方法：直接计算法。骰子有6个面，其中有一个面是5点，所以概率为1/6。例题11：从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到王子的概率。解题方法：直接计算法。一副扑克牌中有4张王子牌，所以概率为4/52=1/13。例题12：抛掷一枚正常的硬币，得到正面的概率。解题方法：直接计算法。硬币有两个面，其中一个面是正面，所以概率为1/2。例题13：一个由于篇幅限制，以下将提供部分经典习题及解答，供您参考。例题1：抛掷一枚公平的六面骰子两次，计算至少有一次出现5点的概率。解题方法：直接计算法。至少有一次出现5点，可以分为两种情况：（1）第一次出现5点，第二次不出现5点，概率为1/6*5/6。（2）第一次不出现5点，第二次出现5点，概率为5/6*1/6。所以，至少有一次出现5点的概率为(1/6*5/6)+(5/6*1/6)=6/36=1/6。例题2：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出两个球，计算取出的两个球颜色相同的概率。解题方法：排列组合法。取出的两个球颜色相同，可以分为两种情况：（1）取出两个红球，概率为C(5,2)/C(10,2)。（2）取出两个蓝球，概率为C(5,2)/C(10,2)。所以，取出的两个球颜色相同的概率为(C(5,2)/C(10,2))+(C(5,2)/C(10,2))=2*(5*4)/(10*9)=20/45=4/9。例题3：一个班级有30名学生，其中有18名女生，随机选取一名学生，求该学生是男生的概率。解题方法：直接计算法。男生概率为30-18/30=12/30=2/5。例题4：抛掷一枚公平的硬币三次，计算恰有一次出现正面的概率。解题方法：直接计算法。恰有一次出现正面，可以分为三种情况：（1）第一次正面，第二次反面，第三次反面，概率为(1/2)*(1/2)*(1/2)。（2）第一次反面，第二次正面，第三次反面，概率为(1/2)*(1/2)*(1/2)。（3）第一次反面，第二次反面，第三次正面，概率为(1/2)*(1/2)*(1/2)。所以，恰有一次出现正面的概率为3*(1/2)*(1/2)*(1/2)=3/8。例题5：甲、乙两人比赛，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4。求甲赢且乙赢的概率。解题方法：独立事件的概率乘积。甲赢且乙赢的概率为0.6*0.4=0.24。例题6：某学校有男生和女生共计1000人，男生人数为40%，求该校女生人数。解题方法：用比例求解。男生人数为40%，即男生人数为1000×40%=400人，所以女生人数为1000-400=600人。例题7：抛掷一枚公平的六面骰子两次，计算至少有一次出现5点的概率。解题方法：直接计算法。至少有一次出现5点，可以分为两种情况：（1）第一次出现5点，第二次不出现5点，概率为1/6*5/6。（2）第一次不出现5点，第