理论力学-第11章-质点运动微分方程

普通高等教育规划教材编著肖明葵程光均张祥东吴云芳邹昭文课件制作王建宁理论力学11.1动力学基本定律11.2质点运动微分定律11.3质点动力学的两类基本问题11.4质点相对运动动力学的基本方程第11章质点运动微分方程动力学是研究物体机械运动与作用于其上的力之间的关系的科学。静力学所研究的是作用在刚体上的力系的合成方法及其平衡条件，而没有研究刚体在不平衡力系作用下的运动情况。运动学所研究的是质点和刚体运动的几何特征，而没有研究使物体运动发生变化的原因。11.1动力学基本定律因此，静力学和运动学所研究的只是物体机械运动的某一个方面，而动力学却要结合静力学和运动学的知识，对物体的机械运动进行全面的分析，研究作用于物体上的力与物体的质量及其运动变化之间的关系。根据研究对象的不同情况，动力学可分为质点动力学和质点系动力学两个方面。为了由浅入深地研究问题，可以先研究质点的运动，得到质点的运动规律，再把它推广到质点系和刚体的运动，得到物体机械运动的一般规律。11.1动力学基本定律动力学知识在工程技术或科学研究中具有极广泛的应用。例如，高速转动机械的均衡、振动和稳定，各种机器、机构和结构的动力计算，以及宇宙飞船和火箭的运行轨道等问题，都要用动力学知识来解决。所以，掌握动力学基本理论及其应用，具有十分重要的意义。11.1动力学基本定律根据所求解问题的不同情况，动力学可分为两类基本问题：一类是已知物体的运动规律，求作用在物体上的力；另一类是已知作用在物体上的力，求物体的运动规律。这两类基本问题不一定是截然分开的，在一个工程问题中有时会同时包括这两类基本问题。11.1动力学基本定律质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律。这些定律是动力学的基础。11.1动力学基本定律

第一定律任何质点都保持其静止的或作匀速直线运动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这种状态为止。质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性，质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态，即外力是改变质点运动状态的原因。11.1动力学基本定律

第二定律

质点受力作用而产生的加速度，其方向与力的方向相同，其大小与力的大小成正比，而与质点的质量成反比，即（11.1）式中，和分别表示质点的质量和加速度；作用于质点上的外力。此方程给出了作用于质点的力、质点的质量和质点的加速度三者之间的关系，称为质点动力学基本方程。表示11.1动力学基本定律当质点同时受几个力作用时，则式中力应理解为这些即质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上力系的合力。力的合力。因此，式（11.1）可写成11.1动力学基本定律由第二定律可知，不同外力作用在质量相同的质点上时，外力较大的质点获得的加速度较大，外力较小的质点获得的加速度较小；相同外力作用在质量不同的质点上时，质量较大的质点所获得的加速度较小，质量较小的质点所获得的加速度较大。这说明，质量较大的质点保持其原有运动状态的能力较强，即惯性较大；质量较小的质点保持其原有运动状态的能力较弱，即惯性较小。因此，质量是质点惯性大小的度量。因为平动刚体可视为质量集中在质心的质点，所以质量也是平动刚体惯性大小的度量。11.1动力学基本定律

式(11.1)说明了质点所受外力与加速度的关系。速度和加速度是两个不同的概念，而且速度的大小和方向与质点的初始条件有关，因此，仅由式(11.1)并不能完全确定质点的速度。在地球表面附近任何一点，物体都将受到地球的引力作用，这种作用称为重力，用符号表示。地球对物体作用的重力的大小称为重量。物体在重力作用下所产生的加速度称为重力加速度，用符号表示。由式(11.1)得

(11.2)上式建立了物体的重量与质量的关系。11.1动力学基本定律注意：重量和质量是两个不同的概念。质量是质点惯性大小的度量，在古典力学中，质量是一个不变的常量；而重量是物体所受重力的大小，在地面附近各点的重力加速度的大小随所在位置的纬度和高度的不同而略有差异，因此重量随物体所在位置的不同而改变，且在地面附近的空间内才有意义。不过，在一般工程实际中，可以认为重力加速度的大小为常数，其值取在纬度海平面上重力加速度的大小，即。11.1动力学基本定律

第三定律

两个物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，沿同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。第三定律也就是静力学中讲过的作用与反作用定律。这个定律不但适用于静力平衡问题，而且在动力学问题中仍然适用。11.1动力学基本定律

必须指出，牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在物体上的力。显然，物体及其所受的力不因参考系的选择而改变，但同一物体的运动在不同的参考系中的描述可能是完全不同的，这就存在着根本性的矛盾。这决定了牛顿定律不可能适用于一切参考系，而只能适用于某些参考系。凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系。11.1动力学基本定律

相对于惯性参考系静止或作匀速直线平动的参考系都是惯性参考系。相对于惯性参考系作加速运动或转动的参考系称为非惯性参考系。那么，什么样的参考系才是惯性参考系呢？实验观察结果表明，对于大部分工程实际问题，可以近似地选取与地球相固连的参考系为惯性参考系；而对于研究人造地球卫星的运行轨道，河流冲刷等问题，必须考虑地球自转影响时，可以选取以地心为原点而三个轴分别指向三颗恒星的参考系作为惯性参考系；在天文计算中，必须考虑地球自转和绕太阳公转的影响时，取太阳中心作为坐标原点，三个坐标轴分别指向三颗恒星的参考系为惯性参考系。11.1动力学基本定律

以后的论述中，若没有特别说明，则总是将与地球相固连的参考系作为惯性参考系，而不考虑地球自转和绕太阳公转的影响。本书采用国际单位制，规定质量、长度和时间为基本量，它们的单位分别为千克(kg)、米(m)和秒(s)。除了这三个基本量之外的物理量均为导出量，如力、速度和加速度等，它们的单位为导出单位。

11.1动力学基本定律

若用M、L、T分别表示质量、长度和时间的量纲，则速度的量纲为dimv=LT-1，加速度的量纲为dima=LT-2，力的量纲为dimF=MLT-2。根据牛顿第二定律规定，使1kg质量的质点产生1m/s2加速度的力规定为1N，即11.1动力学基本定律11.2质点运动微分方程由牛顿第二定律直接导出且含有表示质点的位置或速度对时间的变化率的方程称为质点的运动微分方程。下面给出常用的几种质点运动微分方程的表达形式。1．矢量形式的质点运动微分方程设一质量为的质点M，在合力作用下，沿某一空间曲线运动，如图11.1所示。图11.1某瞬时，质点位于M点，其加速度为，则根据牛顿第二定律，有

(a)由运动学知

(b)11.2质点运动微分方程式中，为质点M的速度；r为质点M相对于某固定点O的位置矢径。将式(b)代入式(a)后可得或

这就是矢量形式的质点运动微分方程。（11.3）式(11.3)主要用于理论推导，在计算实际问题时，常常应用它的投影形式。11.2质点运动微分方程2．直角坐标形式的质点运动微分方程过原点O建立直角坐标系Oxyz(图11-1)，将式(11.3)中各项投影到各轴上，则有（11.4）这就是直角坐标形式的质点运动微分方程。式中、是作用在质点上的各个力在x、y、z轴上投影的代数和；、、是质点的加速度在x、y、z轴上的投影。11.2质点运动微分方程若质点在平面oxy内作平面运动，则式（11.4）中；若质点沿ox轴作直线运动，则式（11.4）中。11.2质点运动微分方程

3．自然轴系形式的质点运动微分方程若已知质点M的轨迹曲线，如图11.2所示，则以任意瞬时质点所在处M为原点，建立自然轴系Mτnb，其中τ、n和b分别为沿运动轨迹上M点的切线、主法线和次法线方向的单位矢量。将式(11.3)中各项投影到自然坐标轴上，则有图11.211.2质点运动微分方程由点的运动学知故有（11.5）11.2质点运动微分方程轴、主法线轴和次法线轴上的投影。这就是自然轴系形式的质点运动微分方程。式中、分别是作用在质点上的合力在切线11.2质点运动微分方程*4．极坐标形式的质点运动微分方程当质点M作平面曲线运动时，有时还可以采用极坐标表示的质点运动微分方程。如图11.3所示，由运动学可知，质点的加速度在极坐标系下有如下表达式：图11.311.2质点运动微分方程式中，和分别为沿径向和横向的单位矢量。将上式和方向，则有代入式（11.1）并将各项分别投影到（11.6）这就是极坐标形式的质点运动微分方程。11.2质点运动微分方程

应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类基本问题。第一类基本问题已知质点的运动规律，即已知质点的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分问题。求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组，求解这个方程组即可得到所求的未知力。11.3质点动力学的两类基本问题例11.1

质量为的质点M在图11.4所示坐标平面Oxy内运动，已知其运动方程为其中a、b、ω均为常数，求质点M所受到的力。图11.411.3质点动力学的两类基本问题可见质点M的运动轨迹曲线是以a和b为半轴的椭圆。解由运动方程消去时间，得由运动方程求得质点的加速度在坐标轴上的投影为11.3质点动力学的两类基本问题由直角坐标形式的质点运动微分方程，得故，力的大小为11.3质点动力学的两类基本问题的方向余弦为其中的模，力为质点M相对于坐标原点O的位置矢径由此可见，力的方向与矢径的方向相反，并指向坐标也可表示为原点O，所以力这种力称为有心力。11.3质点动力学的两类基本问题

第二类基本问题已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这一类问题可归结为数学中的积分问题。求解积分问题要比求解微分问题复杂得多。因为作用于质点上的力可能是时间的函数，也可能是质点的位置坐标的函数，或者是质点速度的函数，还有可能是上述三种变量的函数。由数学知识可知，只有当力函数关系比较简单时，才能求得微分方程的精确解；当力函数关系比较复杂时，求解将非常困难，有时只能求得近似解。11.3质点动力学的两类基本问题

此外，求解微分方程时还将会出现积分常数，这些积分常数与质点运动的初始条件有关，如质点的初始位置和初始速度等。所以，求解第二类问题时，除了要知道作用在质点上的力以外，还必须知道质点运动的初始条件，才能完全确定质点的运动。顺便指出，在质点动力学问题中，有一些问题是同时包含着这两类问题的。下面举例说明如何运用质点运动微分方程求解质点动力学的这两类基本问题。11.3质点动力学的两类基本问题

例11.2如图11.5a所示一弹性杆件，下端固定，上端有一质量为m的物体。使其质量块偏离原位置距离a后释放，质量块在杆的弹性恢复力下开始振动，杆的质量不计，试求质量块的运动规律。图11.511.3质点动力学的两类基本问题

解取质量块为研究对象，并将其视为质点。质量块沿x方向作直线运动，杆对质量块的作用相当一弹簧，图11.5

b是该系统的计算模型。设弹簧刚度系数为k，当质点偏离平衡位置的距离为x时，弹性恢复力的大小为

列质点运动微分方程11.3质点动力学的两类基本问题令,得

(1)式(1)为一元二次常微分方程，其通解为：

(2)将式(2)对t求导，得：

(3)11.3质点动力学的两类基本问题注意到初始条件：,并代入式(2)、(3),得

(4)

(5)由式(5)、(4)得：并代入式(2),得

(6)11.3质点动力学的两类基本问题

式(6)为质量块的运动方程。可见质量块的运动为简谐振动。这种仅在恢复力作用下产生的振动，称为自由振动。质量块的最大偏离a，称为振幅。质量块振动一次所需的时间，称为周期，用T表示，即每秒内质量块振动的次数，称为频率，用f表示，11.3质点动力学的两类基本问题而

ω是质量块在2π(s)时间内振动的次数，称为圆频率。

ω只决定系统本身的质量和刚度，是系统在振动时所固有的特性，所以圆频率又称为固有频率。11.3质点动力学的两类基本问题例11.3质量为的小球以水平速度射入静水之中，如图11.6所示，如水对小球的阻力F可视为与速度v的一次方成正比，即，其中为常量。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。图11.611.3质点动力学的两类基本问题解以小球为研究对象，并取初始位置为坐标原点，建立图所示坐标系。小球在任意位置M处，受力有重力和阻力

小球沿x、y轴的运动微分方程为11.3质点动力学的两类基本问题首先将上两式两边同时除以小球的质量m，然后再分离变量，并按题意，时，，形式，有。写成定积分积分并经整理得（a）11.3质点动力学的两类基本问题写成定积分形式，有将上两式分离变量，且注意到，时，积分并经整理后得质点的运动微分方程为（b）11.3质点动力学的两类基本问题事实上，在静止的阻力介质中，不论初始速度如何，落体都将趋于以极限速度而铅垂下落。此时重力等于阻力，即由式（a）可见，当时，，即小球趋于等速铅垂下落，下落速度。称为极限速度。由式（b）可见，当时，即小球的轨迹趋于一铅垂直线。11.3质点动力学的两类基本问题如忽略介质阻力，应有。按高等数学中求极限的时，式（b）的极限为罗比塔法则，当这是水平抛体的运动方程，其轨迹为抛物线。以上例子均为一个问题中只涉及一类问题,实际上在工程中通常还有同时包括这两类问题的综合问题。下面介绍同时包括两类问题的例子。11.3质点动力学的两类基本问题

例11.4

如图11.7a所示，重G的重物随同跑车以v0的速度沿吊车桥移动，重物的重心到悬挂点的距离为L。当跑车突然刹车时，重物因惯性而继续运动。不计钢索的自重和伸长，求偏角为φ时钢索的拉力以及钢索的最大拉力。图11.711.3质点动力学的两类基本问题解：与钢索的长度相比，起吊重物的尺寸很小，因此可将起吊的重物简化为质点，并以它为研究对象，画其受力图和运动图。跑车突然刹车时，重物因惯性而以初速度v0绕悬挂点O作圆周运动。以跑车刹车时重物所在位置为弧坐标的原点，以重物向左运动的一侧为弧坐标的正向。以偏角为φ时重物所在位置M为原点建立自然轴系，τ为切线轴单位矢量，n为主法线轴单位矢量。11.3质点动力学的两类基本问题设M处重物具有速度为v，法向加速度为和切向加速度为，作用在重物上的力有重力G和钢索的拉力，方向如图11.7b所示。列出自然轴系形式的质点运动微分方程：(1)(2)11.3质点动力学的两类基本问题由式(1)得

(3)作变换(4)将式(4)代入(3)并分离变量得：

(5)11.3质点动力学的两类基本问题注意到初始条件：当时。将式（5）写成定积分形式，有积分并经整理后得

(6)11.3质点动力学的两类基本问题将式(6)代入式(2)，整理得到偏角为φ时钢索的拉力为由上式可知，当时钢索的拉力为最大，即11.3质点动力学的两类基本问题由上式可知，钢索中的最大拉力实际上由两部分组成：

1)G——由重物自重产生的拉力，称为静反力；

2)

——由突然刹车产生的拉力，称为动反力。由于动反力与跑车突然刹车时的速度平方成正比，所以在设计钢索时必须考虑该反力的影响。在工程中通常令k——动力荷载系数，简称为动荷系数。显然。

11.3质点动力学的两类基本问题

综上所述，在具体求解质点动力学两类基本问题时，应注意掌握以下三点：第一，对抽象为质点的物体进行两个分析：1）受力分析。画出正确的受力图；2）运动分析。了解其轨迹、运动方程、速度、加速度等哪些是已知的或易于确定的，哪些是待求的。第二，在正确的受力分析和运动分析的基础上，恰当选取坐标系和坐标轴，写出质点的运动微分方程在直角坐标轴或自然轴上的投影形式。第三，注意与高等数学密切联系，掌握好两类问题和综合问题的解法。

11.3质点动力学的两类基本问题

前面讨论了质点在惯性坐标系中的运动，即绝对运动。但在许多情况下，我们需要研究质点相对于非惯性坐标系的运动。例如，考虑地球自转时，河流中水的运动，远程导弹的轨道偏离，以及在变速运动的车、船中的物体的运动等。在非惯性坐标系中，牛顿第二定律是不适用的。*11.4质点相对运动动力学基本方程

因而在研究质点相对于非惯性参考系的运动时，要采用其它的方法，通常采用如下两种方法：①通过坐标变换，把相对于惯性系的已知运动规律变换成相对于非惯性系的运动规律；②直接写出相对于所考察的非惯性系的运动微分方程，然后求解。我们主要介绍后者，即用复合运动的分析方法，通过引入惯性力的概念，将质点在非惯性坐标系中的运动转换到惯性坐标系中，再利用牛顿第二定律，从而最终得到质点在非惯性坐标系中与在惯性坐标系中相似的运动微分方程。以使问题得以解决。*11.4质点相对运动动力学基本方程

设质点M相对于非惯性坐标系o’x’y’z’运动,而此坐标系又相对于一惯性坐标系oxyz运动，如图11.8所示。质点的质量为m，相对轨迹为A’B’,绝对轨迹为AB。相对加速度为绝对加速度为，质点所受力系之合力为F。在惯性坐标系中，应用牛顿第二定律，有（a）图11.8*11.4质点相对运动动力学基本方程由运动学中点的加速度合成定理有（b）其中，是质点M的牵连加速度，是科氏加速度，且（c）将式（b）代入式(a),移项整理得（d）*11.4质点相对运动动力学基本方程令则式（d）成为

(11.7)其中和都是具有力的量纲，分别称为牵连惯性力和科氏惯性力。*11.4质点相对运动动力学基本方程

式（11.7）是质点相对于非惯性坐标系o’x’y’z’运动的动力学方程，称为质点相对运动动力学基本方程。即质点的质量与相对加速度的乘积等于作用于质点上的力与牵连惯性力、科氏惯性力的矢量和。*11.4质点相对运动动力学基本方程式（11.7）可改写成为微分方程的形式

(11.8)式中r’表示质点在非惯性坐标系中的位置矢径。式（11.8）称为质点相对运动微分方程。可以用来解决质点在非惯性坐标系中的两类动力学问题。*11.4质点相对运动动力学基本方程下面来讨论几种特殊情况。一、动坐标系作平动时质点的相对运动因为坐标系作平动，则科氏加速度，所以科氏。于是质点相对运动动力学基本方程为惯性力

(11.9)*11.4质点相对运动动力学基本方程二、动坐标系作匀速直线平动时质点的相对运动因为坐标系作匀速直线平动，则科氏加速度及牵连均为零，所以科氏惯性力和牵连惯性力也均为零。于是，质点相对运动动力学基本方程为加速度

(11.10)*11.4质点相对运动动力学基本方程

上式表明，对这样的参考系，牛顿第二定律也适用。因此有：相对于惯性参考系作匀速直线平动的参考系也是惯性参考系。由于式（11.11）中不包含与牵连运动有关的项，说明当动坐标系作惯性运动时，质点的相对运动不受牵连运动的影响。因此可以说：发生在惯性参考系中的任何力学现象，都不能发觉该参考系本身的运动情况。这个结论称为相对性原理。*11.4质点相对运动动力学基本方程三、质点的相对平衡与相对静止若质点在动坐标系中作匀速直线运动，则称该质点处于相对平衡状态。这时，于是式（11.7）成为

(11.11)即质点处于相对平衡时，作用于质点的力F与牵连惯性力及科氏惯性力成平衡。*11.4质点相对运动动力学基本方程若质点在动坐标系中保持相对静止，则，因此有。此时式（11.7）成为（11.12）式（11.12）称为质点相对静止的平衡方程。即当质点在非惯性坐标系中保持相对静止时，作用在质点上的力F与牵连惯性力成平衡。*11.4质点相对运动动力学基本方程例11.5图11.9示单摆，摆长为，小球质量为，其悬挂点O以加速度向上运动。求此时单摆作微摆时的周期。解以悬挂点为原点建立一平动坐标系O’x’y’。选小球为，绳子