安徽省合肥市第四十六中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题【含答案】

安徽省合肥四十六中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列各数中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把各项化简，再根据被开方数相同的即为同类二次根式．【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故错误；B、，与不是同类二次根式，故错误；C、，与是同类二次根式，故正确；D、，与不是同类二次根式，故错误；故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是熟记同类二次根式的定义．2.用配方法解下列方程时，配方错误的是（）A.化为 B.化为C.化为 D.化为【答案】C【解析】【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此判断.【详解】解：A、化为，故本选项正确；B、化为，故本选项正确；C、化为，故本选项错误；D、化为，故本选项正确；故选C.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3.某企业今年1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了，3月份又开始了回暖，已知3，4月份平均月增长率为，则4月份的产值是（）A.万元 B.万元C.万元 D.万元【答案】B【解析】【分析】根据1月份的产值是a万元，用a把2月份的产值表示出来，进而得出4月份产值列出式子万元，即可求解．【详解】解：1月份的产值是a万元，则：2月份的产值是万元，∵3，4月份平均月增长率为，∴4月份的产值是万元，故选：B．【点睛】此题主要考查了列代数式，解此题的关键是能用a把3、4月份的产值表示出来．4.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，∴，∵，∴∴，∴，∴，故先：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根．5.如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（）A.四边形是平行四边形B.如果，那么四边形是矩形C.如果平分平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D.如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形【答案】D【解析】【详解】由DE∥CA,DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形故A.

B正确；如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确；如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误.故选D6.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A.当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B.当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C.当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D.当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】【分析】根据连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断，即可求解【详解】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；故选D．7.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为()A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【详解】∵CE=5，△CEF的周长为18，∴CF+EF=18-5=13．∵F为DE的中点，∴DF=EF．∵∠BCD=90°，∴CF=DE，∴EF=CF=DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，故选D．【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．8.为了了解班上体育锻炼情况，班主任从八（）班名同学中随机抽取了位同学开展“分钟跳绳”测试，得分如下（满分分）：，则以下判断正确的是（）A.这组数据的众数是，说明全班同学的平均成绩达到分B.这组数据的方差是，说明这组数据的波动很小C.这组数据的中位数是，说明8分以上的人数占大多数D.这组数据的平均数是8，可以估计班上其他同学的平均成绩大约也是分【答案】D【解析】【分析】根据众数、平均数、方差以及中位数的定义，求得它们的值，进而得出结论．【详解】解：．这组数据众数是，而全班同学的平均成绩达到分，故本选项错误；．这组数据的方差是，说明这组数据的波动较大，故本选项错误；．这组数据的中位数是，说明分以上的人数占大多数，故本选项错误；．这组数据的平均数是，可以估计班上其他同学的平均成绩大约也是分，故本选项正确；故选：．【点睛】此题考查了众数、平均数、方差以及中位数，解题的关键是理解平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标，众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．9.对于函数，下列结论错误的是（）A.图象顶点是 B.图象开口向上C.图象关于直线对称 D.图象最大值为﹣9【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【详解】解：A．∵函数y=(x+2)2-9，∴该函数图象的顶点坐标是（-2，-9），故选项A正确；B．a=1＞0，该函数图象开口向上，故选项B正确；C．∵函数y=(x+2)2-9，∴该函数图象关于直线x=-2对称，故选项C正确；D．当x=-2时，该函数取得最小值y=-9，故选项D错误；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10.如图，在菱形中，，是边上一点，且，有下列结论：是等边三角形；；周长的最小值为；面积的最大值为．其中正确结论有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形与菱形的性质解答即可．【详解】解：连接，

∵菱形中，，∴与是等边三角形，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，，，∴，∴是等边三角形，故正确；∴，∴，∵，∴，即，故正确；∵的周长，∴等边三角形的边长最小时，的周长最小，当时，最小，周长的最小值为，故正确；∵菱形边长为4，；∴与为正三角形，∴，∴，∵，∴，过作，交延长线于点，设，则，∴，∵四边形是菱形，∴，在中，由勾股定理得：，∴的面积，当时，的面积最大值为：，故正确；综上正确的有共个，故选：．【点睛】此题考查了菱形性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11.有一组数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是，则这组数据的方差是__________．【答案】##【解析】【分析】先根据中位数的定义求出的值，再求出这组数据的平均数，最后根据方差公式进行计算即可．【详解】解：∵数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是，∴，∴这组数据的平均数是，∴这组数据的方差是：．故答案为：．【点睛】本题考查方差和中位数：一般地设个数据，的平均数为，则方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．12.若是方程的两不同的根，则的值为__________．【答案】-1【解析】【分析】由一元二次方程的解可得出m2＋m＝1，进而可得出m3＋m2＝m①，由根与系数的关系可得出m＋n＝−1②，将①②代入m3＋m2＋n中即可求出结论．【详解】∵m是方程x2＋x−1＝0的根，∴m2＋m＝1，等式两边同时乘m，得：m3＋m2＝m．∵m、n是方程x2＋x−1＝0的两不同的根，∴m＋n＝−1，∴m3＋m2＋n＝m＋n＝−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出m3＋m2＝m，m＋n＝−1是解题的关键．13.某抛物线的顶点为（3，﹣4），并且经过点（4，﹣2），则此抛物线的解析式为_____．【答案】y=2（x-3）2-4【解析】【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-3）2-4，然后把（4，-2）代入求出a的值即可．【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-3）2-4，

把（4，-2）代入得a•（4-3）2-4=-2，解得a=2，

所以抛物线解析式为y=2（x-3）2-4，

故答案为：y=2（x-3）2-4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．本题的关键是利用对称性确定抛物线与x轴的交点坐标．14.如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为_____．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边长,根据直角三角形的性质得到CM=,CN=,∠MCB=∠ECN,∠MCE=∠NCD,根据勾股定理计算即可.【详解】解:如图连接CM、CN,由勾股定理得,AB=DE=,△ABC、△CDE是直角，三角形,M,N为斜边的中点,CM=CN=,∠MCB=∠ECN,∠MCE=∠NCD,∠MCN=,MN=.因此,本题正确答案是:.【点睛】本题主要考查三角形的性质及计算，灵活做辅助线是解题的关键.15.在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10cm，6cm，一条对角线的长为8cm；则原三角形纸片的周长是_______．【答案】48cm或(32＋8)cm【解析】【详解】分析:首先补全三角形进而利用平行四边形的性质得出各边长进而得出答案,解答本题应分两种情况进行．详解:如图1：周长：2×（10+8+6）=48（cm）；如图2：∵BD=6，BC=8，CD=10，∴BD2+BC2=CD2，∴△BCD是直角三角形，∴∴ACB=∠CBD=90°,在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=，∴周长为2×(10+4+6)=(32+8)（cm）；综上所述：原三角形纸片的周长是48或(32+8)cm．故答案为48或（32+8）cm．点睛:此题主要考查了图形的剪拼，三角形的中位线，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用及分类讨论的数学思想，利用勾股定理求出AB的长是解题关键．16.如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是__________．【答案】##【解析】【分析】根据题意，在点N的运动过程中，点在以M为圆心、为直径的圆上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而求出的长即可．【详解】解：由折叠的性质可知，∴点在以M为圆心、为直径的圆上运动，∴长度取最小值时，M、、C三点共线，即在上时，如图所示，过点M作于交延长线于点F，∵四边形为菱形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵M为中点，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、圆外一点到圆上一点距离的最值，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等等，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．三、解答题17.计算：【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质先化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.【详解】解：原式＝＝＝18.解方程：．【答案】，【解析】【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，然后用因式分解法解方程即可．【详解】解：，将方程化为一元二次方程的一般形式得：，分解因式得：，∴或，解得：，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）∵AF∥CD，∴∠EAF=∠ECD．∵EAC中点，∴AE=EC．在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF=CD，∴四边形AFCD是平行四边形．∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=AD=BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF=DEBC，∴∠H=∠ECH=∠CEF=90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH=EC=2，EF=CH，BH=CH+BC．在Rt△BHF中，BF．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．求：（1）铅球在行进中的最大高度；（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为；（2）该男生把铅球推出的水平距离是．【解析】【分析】（1）将所给二次函数化为顶点式，则顶点纵坐标即为所求的最大高度；

（2）令y=0，此时，解方程即可求出该男生将铅球推出的距离．【详解】（1）∵∴y的最大值为3∴铅球在行进中的最大高度为．（2）令得：解方程得，，（负值舍去）．∴该男生把铅球推出的水平距离是．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，二次函数与一元二次方程的关系．21.某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？（2）若要使商场平均每天的盈利最多，请你为商场设计降价方案．【答案】（1）每件衬衣应降价20元（2）售价降价15元【解析】【分析】（1）表示出每天降价元后售出的数量，表示出利润，解方程得到答案；（2）设每件衬衣降价元，利润为元，列出函数关系式，运用二次函数的最值求解即可．【小问1详解】解：设每件衬衣降价元，由题意得，，解得：，，商场要尽快减少库存，当时，其销量较大，答：若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣应降价20元；【小问2详解】设每件衬衣降价元，利润为元，，，函数有最大值，当时，取得最大值，此时，答：售价降价15元时，商场平均每天的盈利最多．【点睛】本题考查的是一元二次方程和二次函数的应用，根据题意找出等量关系列出方程和函数解析式是解题的关键，注意：解一元二次方程，得到两个根，检验两个根的合理性．22.已知正方形ABCD．点E在AB上，点G在AD．点F在射线BC上，点H在CD上．（1）如图1．，求证：；（2）如图2，，P为EF中点，求证：；（3）如图3，EH交FG于O，，若，，则线段EH的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）过点A作AM∥FG交BC于点M，由矩形性质可证得四边形AGFM是平行四边形，由MF=AG；由条件中垂直关系及矩形性质，易证△DAE≌△ABM，可得AE=BM，则可得结论成立；（2）取CF=NC，连接EN，则可得EN∥PC，则EN=2PC，NC=CF；其次易得△DAE≌△DCF，则易得BE=BN，从而由勾股定理易得结论；（3）作BM∥FG交AD于M，作BN∥EH交CD于N，则易得四边形BFGM、四边形BEHN为平行四边形，则AM=2，BN=EH；延长NC到P，使CP=AM=2，则可证明△BAM≌△BCP，∠ABM=∠CBP，∠MBN=∠PBN=45°，再证明△BMN≌△BPN，得MN=PN；设CN=x，则在Rt△DMN中，由勾股定理得关于x的方程，解方程可求得x，在Rt△BCN中，由勾股定理可求得BN的长，即EH的长．【小问1详解】过点A作AM∥FG交B