中考数学几何模型重点突破讲练：专题04 三角形中的8字模型和燕尾模型（教师版）

专题04三角形中的8字模型和燕尾模型如图，已知AC与BD相交于点O,连接AD,BC;根据三角形内角和定理和对顶角相等可得∠A+∠D=∠B+∠C;根据三角形两边之和大于第三边，可得AD+BC<AC+BD【模型变式1】如图已知BD与AC相交于点O,点E在OA上，连接AD,DE,BC;根据三角形内【模型变式2】如图DB与DG分别交AF于C点，E点，连接AB,GF;根据三角形内角和定理和对顶角相等可得如图在四边形ABOC中，可根据外角定理：三角形的一个外角等于不与它相邻的两个内角【模型变式1】分别在AB,BC,AC上，AE,BF,CD相交于点O。可得：【证明】如图，分别过点B,点C作BG垂直于AE于G点，作CP垂直于AG的延长线于P点。;根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B,因为∠FAB=∠CAD+∠CAB,即可求得∠DFB的度数；根据三角形外角的性质可得∠DGB=∠DFB-∠D,即可得∠DGB的度数.∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠CAD+∠CAB+∠B【例2】如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试(2)如图2,在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.请直接利用(1)中的结论，完成下列各题：③若∠D和DB为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、DB之间是否存在一定的数量关系?若存在，请若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论.③和②同理∴∠A+∠D=∠C+∠B(2)①解：以M为交点的有1个，即为△AMD和!CMP以O为交点的有4个，即为△AOD和△COB,△AOM和△BOC,△AOM和△CON,△AOD和△由(1)中的结论得：整理得：∠B+∠D=2∠P③解：∠B+∠D=2∠P理由如下：∵AP平分∠DAB,CP平分∠BCD由(1)中的结论得：由(1)中的结论得：∠2+∠P=∠4+∠B3∠2+∠D=3∠4+∠B则∠ADB的度数为()A.65°B.60°C.50°故选项A,B,C正确，3.如图，∠1=60°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠EA.240°B.280°C.360°【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在【解析】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E,∠2=∠F+∠D,4.如图是由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形，∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为()A.62B.152°C.208°D.2【答案】C【解析】∵如图可知∠BED=∠F+∠B,∠CGE=∠C+∠A,故选C.5.在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°,A.72°B.70°C.65°【答案】A【分析】延长BE交CF的延长线于O,连接AO,根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性质求出∠DEO,再根据四边形的内角和求出∠DFO,根据邻补角的性质即可求出∠DFC的度数.【解析】延长BE交CF的延长线于O,连接AO,如图，6.如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为()【解析】如图，连接BC,7.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=_.∵6边形ABCDEFK的内角和=(6-2)×180°=720°,【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E,∠A+根据四边形的内角和为360°,可得：∠2+∠3+∠GFE+∠4+∠5+∠DCB=360°10.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=_.【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠A+∠B+∠C+∠E+∠F+∠H+∠G+∠D=270°.11.如图所示，已知四边形ABDC,求证∠BDC=∠A+∠B【分析】方法1连接BC,根据三角形内角和定理可得结果；方法3延长BD,交AC于点E,两次运用三角形外角的性质即可得出结论.【解析】方法1如图所示，连接BC.方法2如图所示，连接AD并延长.∵∠3是△ABD的外角，同理，∠4=∠2+∠ACD.方法3如图所示，延长BD,交AC于点E.12.如图，AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD,若∠B=42°,∠D=54°,求∠M的度数.【答案】∠M=48°.再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD,然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(·),:)13.如图，BP平分∠ABC,交CD于点F,DP平分∠ADC交AB(1)若∠ADC=60°,求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°,求∠P的度数.【分析】(1)根据角平分线的定义可得:,然后利用三角形外角的性质即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF,∠CBP=∠PBA,再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP,∠C+∠CBP=∠P+∠PDF,所以∠A+∠C=2∠P,即可得解.14.(1)如图①,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(2)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；(3)如图③,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.图①【答案】(1)360°;(2)720°;(3)540°图③【分析】(1)连接AD,根据三角形的内角和定理得∠B+∠C=∠BAD+∠CDA,进而将问题转化为求四边(2)与(1)方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，(3)使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和.【解析】解：(1)如图①,连接AD,(2)如图②,由(1)方法可得：∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度数等于六边形AB(3)如图③,根据(1)的方法得，∠F+∠G=∠GAE+∠FEA,∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G图①图②图③如图1,AB、CD交于点O,我们把△AOD和△BOC图2如图2:求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数.(1)如图①,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__;(2)如图②,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_;(3)如图③,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=_;(4)如图④,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=_;图②图①图②图①图①图②EE图④【答案】(1)360;(2)540°;(3)720°;(4)1080°;过程见解析【分析】(1)连接CD,由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD,再由四边形的内角和定理得出结(2)连接ED,由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE,再由五边形的内角和定理得出结论；(3)连接BH、DE,由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD=∠HDE+∠BED,再根据五边形的内角和定理(4)连接ND、NE,由对顶角三角形可知∠1+∠2=∠NGH+∠EHG,再由六边形的内角和定理得出结论.【解析】解：(1)连接CD,由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD,则∠A+∠B+∠C+∠D+(2)连接ED,由对顶角三角形可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+(3)连接BH、DE,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=五边形CDEFG的内角和+△ABH(4)连接ND、NE,∵由对顶角三角形可知∠1+∠2=∠NGH+∠EHG,和+△NDE的内角和=(6-2)×180°+360°=1080°.六边形BCFGHM的内角和+△AND的内角图④图④16.模型规律：如图1,延长CO交AB于点D,则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B.因为凹四边形ABOC(1)直接应用①如图2,∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°,则∠BOC=°;②如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°;①如图4,∠ABO、∠ACO的2等分线(即角平分线)BO、CO交于点O,已知∠BOC=120°,∠BAC=50°,②如图5,BO、CO分别为∠ABO、∠ACO的10等分线(i=1,2,3,…,8,9).它们的交点从上到下依次为O₁、③如图6,∠ABO、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D,已知∠BOC=120°,∠C