第13章 相交线 平行线（易错30题专练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（解析版）

第13章相交线平行线（易错30题专练）一．选择题（共7小题）1．（2021•西湖区一模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，如果∠EFG＝64°，那么∠EGD的大小是（）A．122° B．124° C．120° D．126°【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG＝∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG＝∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°，故选：A．【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理．2．（2019春•花都区期末）如图，能判定直线a∥b的条件是（）A．∠2+∠4＝180° B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝90° D．∠1＝∠4【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依据平行线的判定方法得出结论．【解答】解：A．由∠2+∠4＝180°，不能判定直线a∥b；B．由∠3＝∠4，不能判定直线a∥b；C．由∠1+∠4＝90°，不能判定直线a∥b；D．由∠1＝∠4，能判定直线a∥b；故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．3．（2021春•松江区期末）如图，下列判断正确的是（）A．∠1与∠3是同位角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠1与∠4是内错角 D．∠2与∠3是同位角【分析】利用内错角、同位角、同旁内角定义进行解答即可．【解答】解：A、∠1与∠3是同位角，原题说法正确，故此选项符合题意；B、∠3与∠4是同旁内角，原题说法错误确，故此选项不符合题意；C、∠1与∠4不是内错角，原题说法错误，故此选项不符合题意；D、∠2与∠3不是同旁内角，原题说法错误，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了内错角、同位角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．4．（2021•饶平县校级模拟）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，则∠BOC的度数为（）A．30° B．150° C．30°或150° D．90°【分析】根据垂直关系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠AOC＝2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．【解答】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∵∠AOB：∠AOC＝2：3，∴∠AOB＝60°．因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°﹣60°＝30°；②当在∠AOC外时，∠B′OC＝90°+60°＝150°．故选：C．【点评】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．5．（2019春•金山区期中）下列说法正确的的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．两直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 C．两平行线被第三条直线所截，同位角相等 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及平行公理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；B、两平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故此选项错误；C、两平行线被第三条直线所截，所得的同位角相等，故此选项正确；D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误，故选：C．【点评】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及平行公理等知识，解题的关键是了解有关的定理及定义，难度不大．6．（2021春•松江区期末）如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（）A．线段PB的长是点P到直线l的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短 C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段PC的长是点C到直线PA的距离【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．【解答】解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；B、PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项不符合题意；C、线段PA的长度叫做点A到直线PC的距离，原说法不正确，故此选项符合题意；D、线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．7．（2019春•杨浦区期中）下列说法中，正确的个数有（）①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；④两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行线的性质和判定，点到直线的距离的定义，平行公理与推论逐个判断即可．【解答】解：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故①错误；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误；两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，故④正确；即正确的个数是1个，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，点到直线的距离的定义，平行公理与推论等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．二．填空题（共13小题）8．（2020春•虹口区期中）如图，直线AB和CD的夹角是70度．【分析】根据邻补角互补求出∠AOC．【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝110°．∴∠AOC＝70°．故答案为：70．【点评】本题考查对顶角，理解对顶角，邻补角的意义是正确判断的前提．9．（2021春•浦东新区校级期中）如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1＝35°时，则∠2＝35°或145°．【分析】分两种情况分别画图计算可得答案．【解答】解：第一种情况，如图：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°，∴∠1＝∠2＝35°，第二种情况，如图：∠COD＝∠2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠1+∠BOC＝90°，∠1+∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠AOD＝90°﹣∠1＝55°，∴∠2＝∠COD＝∠1+∠BOC+∠AOD＝35°+55°+55°＝145°．故答案为：35°或145°．【点评】此题考查的是垂线的性质，掌握余角性质是解决此题关键．10．（2019春•长宁区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，如果∠BOD＝40°，OA平分∠COE，那么∠DOE＝100度．【分析】根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义，即可得出∠COE的度数，进而得到∠DOE的度数．【解答】解：∵∠BOD＝40°，∴∠AOC＝∠BOD＝40°，∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝80°，∴∠DOE＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100．【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．11．（2021春•浦东新区期末）如图，点A到直线BC的距离是线段AE的长度．【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案．【解答】解：∵AE⊥BC，垂足为E，∴点A到直线BC的距离是线段AE的长度．故答案为：AE．【点评】此题考查点到直线的距离，解题的关键是根据点到直线的距离及线段的长的意义解答．12．（2021春•金山区期末）如图，在直线l1∥l2，把三角板的直角顶点放在直线l2上，三角板中60°的角在直线l1与l2之间，如果∠1＝35°，那么∠2＝65°．【分析】根据三角形外角性质即可求得∠3的度数，再依据平行线的性质，可求得∠3＝∠2．【解答】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1＝∠ABC＝35°，∴∠3＝∠C+∠ABC＝30°+35°＝65°，∵直线l1∥l2，∴∠2＝∠3＝65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．13．（2020春•东城区校级期末）如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为9cm．【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【解答】解：因为∠C＝90°，所以AC⊥BC，所以A到BC的距离是AC，因为线段AC＝9cm，所以点A到BC的距离为9cm．故答案为：9．【点评】本题考查了点到直线的距离．解题的关键是掌握点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．14．（2020春•闵行区校级期中）如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到直线BC的距离是线段AD的长度．【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案．【解答】解：∵AD⊥BC，垂足为D，∴点A到直线BC的距离是线段AD的长度．故答案为：AD．【点评】此题考查点到直线的距离，解题的关键是根据点到直线的距离及线段的长的意义解答．15．（2019春•静安区期中）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则点B到线段CD的距离是线段BD的长．【分析】根据点到直线的距离，即可解答．【解答】解：∵CD⊥AB于点D，∴点B到线段CD的距离是线段BD的长，故答案为：BD．【点评】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．16．（2019春•浦东新区校级月考）如图，在图中与∠1是同位角的角有4个．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答即可．【解答】解：如图：与∠1是同位角的角有：∠2，∠3，∠4，∠5，共4个．故答案为：4．【点评】此题主要考查了“三线八角”中的同位角的概念，掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形是解答此题的关键．17．（2020•南宁模拟）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4，过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F2；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝40400．【分析】由D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得＝，因为AB＝5，BC＝4，所以有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20．【解答】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，∴＝，即＝，∵AB＝5，BC＝4，∴4D1E1+5D1F1＝20，同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2020E2020+5D2020F2020＝20，∴4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2020＝40400；故答案为：40400．【点评】本题考查平行线的性质，探索规律．能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1＝20是解题的关键．18．（2019春•青浦区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝50度．【分析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC的度数，再根据邻补角的和等于180°求解即可．【解答】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65°，∴∠BOC＝2∠BOE＝2×65°＝130°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查了角平分线的定义以及邻补角的定义．解题的关键是掌握角平分线的定义以及邻补角的和等于180°，是基础题，比较简单．19．（2019春•杨浦区期中）如图，若AB∥CD∥EF，则∠x，∠y，∠z三者之间的数量关系是∠x+∠z＝∠y．【分析】依据AB∥CD∥EF可得出∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，进而得到∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，据此可得∠x+∠z＝∠y．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，∴∠x+∠z＝∠y．故答案为：∠x+∠z＝∠y．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．20．（2019春•松江区期末）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度数是50°．【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD＝∠D，从而得到∠CAD＝∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠D，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACD+∠D+∠CAD＝180°，∠ACD＝80°，∴80°+∠D+∠D＝180°，解得∠D＝50°．故答案为：50°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．三．解答题（共10小题）21．（2020春•嘉定区期末）阅读并填空．已知：如图，线BCF、线AEF是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试说明AD∥BC．解：∵AB∥CD（已知）∴∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等）∵∠3＝∠4（已知）∴∠3＝∠BAE（等量代换）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（等式的性质）即∠BAE＝∠DAC∴∠3＝∠DAC（等量代换）∴AD∥BC（同错角相等，两直线平行）【分析】由AB∥CD得∠4＝∠BAE，根据等量代换，等式的性质得∠3＝∠DAC，最后由内错角相等，两直平行判定直线AD∥BC．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等），又∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BAE（等量代换），又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（角的和差），∴∠BAE＝∠DAC，∴∠3＝∠DAC（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故答案为：BAE，两直线平行，同位角相等；BAE，等量代换，等式的性质，DAC，DAC，等量代换，同错角相等，两直线平行．【点评】本题综合考查平行线的判定与性质，等式的性质，角的和差等相关知识点，重点掌握平行线的判定与性质，混淆点学生在书写时易将平行线的判定与性质写错．22．（2018春•嘉定区期中）阅读并填空：如图，已知DE∥BC，如果∠ADE＝∠AED，那么∠B与∠C相等吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠ADE＝∠B．∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．因为∠ADE＝∠AED（已知），所以∠B＝∠C（等量代换）．【分析】先根据平行线的性质得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，再由∠ADE＝∠AED即可得出结论．【解答】解：因为DE∥BC（已知），所以∠ADE＝∠B．∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．因为∠ADE＝∠AED（已知），所以∠B＝∠C（等量代换）．故答案为：∠B，（两直线平行，同位角相等），（等量代换）．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．23．（2018春•静安区期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，那么∠E＝∠F吗？为什么？【分析】根据平行线的判定和性质和等量代换即可得到结论．【解答】解：∠E＝∠F，理由：∵AB∥CD（已知），∴∠A＝∠CDE（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠C（已知），∴∠C＝∠CDE（等量代换），∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．24．（2021春•奉贤区期中）如图，已知：∠ABC＝∠ADC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且∠1＝∠2．试说明：（1）AD∥BC；（2）∠A＝∠C．【分析】（1）先根据角平分线的定义得出∠3＝∠ABC，∠1＝∠ADC，再由∠ABC＝∠ADC得出∠3＝∠1，根据∠1＝∠2可得出∠2＝∠3，故AD∥BC；（2）由平行线的性质可知∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°，根据∠ABC＝∠ADC，进而可得出结论．【解答】证明：（1）如图：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠3＝∠ABC，∠1＝∠ADC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠3＝∠1，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠A＝∠C．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的判定与性质是解答此题的关键．25．（2019春•长宁区期末）如图，已知∠B＝∠C，D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线，试说明AE与BC平行的理由．【分析】根据AE是∠DAC的角平分线和∠B＝∠C，求出∠DAE＝∠B，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到AE与BC互相平行．【解答】解：AE与BC平行，理由是：∵AE是∠DAC的平分线，∴∠DAC＝2∠DAE，∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C，∴∠DAC＝2∠B，∴∠DAE＝∠B，∴AE∥BC．【点评】本题主要利用角平分线的定义，等边对等角的性质，平行线的判定定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．26．（2018春•普陀区期中）如图，已知AB∥DE，∠C＝20°，∠B：∠D＝4：3，求∠BOE的度数．解：因为AB∥DE（已知），所以∠B＝∠DOB（两直线平行，内错角相等）．因为∠DOB＝∠D+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），所以∠B＝∠D+∠C（等量代换）．（余下说理过程请写在下方）【分析】根据平行线的性质得到∠B＝∠COE，根据三角形外角的性质列方程求得∠COE＝80°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：因为AB∥DE（已知），所以∠B＝∠DOB（两直线平行，内错角相等）．因为∠DOB＝∠D+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），所以∠B＝∠D+∠C（等量代换）．因为∠B：∠D＝4：3（已知），所以可设∠B＝4x、∠D＝3x．又因为∠C＝20°（已知），所以4x＝3x+20（等量代换）．所以x＝20．所以∠B＝80°．因为AB∥DE（已知），所以∠B+∠BOE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠BOE＝180°﹣∠B＝100°（等式性质）．故答案为：两直线平行，内错角相等；D，C；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；B，D，C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．27．（2021春•闵行区校级月考）如图，∠1＝∠2，∠DAB＝85°，那么∠B的度数是多少，为什么？【分析】由已知角度及等量代换可得∠2+∠BAC＝85°，再根据三角形的内角和为180°即可求解．【解答】解：∵∠1+∠BAC＝∠DAB＝85°，∠1＝∠2，∴∠2+∠BAC＝85°，∵∠B+∠2+∠BAC＝180°，∴∠B＝180°﹣85°＝95°．故∠B的度数是95°．【点评】此题考查了三角形的内角和．解题的关键是掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．28．（2021春•静安区期末）如图，已知在△ABC中，FG∥EB，∠2＝∠3，说明∠EDB+∠DBC＝180°的理由．解：∵FG∥EB（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠1＝∠3（等量代换）．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠EDB+∠DBC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．【分析】利用平行线的性质和判定解答即可【解答】解：∵FG∥EB（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠1＝∠3（等量代换）．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．∴∠EDB+∠DBC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：已知；∠1；∠2；两直线平行，同位角相等；∠1；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．（2021春•济宁期末）如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°．请填写∠CGD＝∠CAB的理由．∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定义），∴∠ADC＝∠EFC，∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3（同角的补角相等），∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠CGD＝∠CAB．【分析】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠CAB即可．【解答】解：∠CGD＝∠CAB，理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定义），∴∠ADC＝∠EFD，∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3（同角的补角相