第08讲三角形的内角和（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（原卷版）

第08讲三角形的内角和（核心考点讲与练）一．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．二．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．一．三角形内角和定理（共9小题）1．（2021春•上海期中）如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定2．（2021春•金山区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（）A．90°﹣n° B．90°+n° C．45°+n° D．180°﹣n°3．（2021春•浦东新区期末）若一个三角形的两个内角的度数分别为60°，50°，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定4．（2021春•浦东新区校级期末）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为度．5．（2021春•奉贤区期末）已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90° C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C6．（2021春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（）A．三角形的高都在三角形内 B．三角形的三条中线相交于三角形内一点 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度7．（2021春•上海期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，∠1+∠2的度数是（）A．180° B．270° C．360° D．无法确定8．（2020秋•虹口区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于．9．（2021春•奉贤区期中）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为倍角三角形；（2）如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F；①说明∠ABO＝2∠E的理由；②若△AEF为4倍角三角形，直接写出∠ABO的度数．二．三角形的外角性质（共5小题）10．（2021春•浦东新区期中）如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝．11．（2021秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度数等于．12．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．13．（2020春•杨浦区期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．解：因为DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（），又∠D＝42°，所以∠B＝°（等式性质）．因为∠ACD＝∠A+∠B（），又∠A＝35°，∠B＝°，所以∠ACD＝°（等式性质）．14．（2019春•闵行区期中）（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．

分层提分分层提分题组A基础过关练一．选择题（共2小题）1．（2018春•闵行区期末）如果三角形三个内角的比为1：2：3，那么它是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形2．（2018春•普陀区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°二．填空题（共17小题）3．（2021春•静安区期末）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1＝126°，∠2＝80°，则∠3＝度．4．（2021春•普陀区期中）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，那么△ABC是三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”）5．（2021春•黄浦区期末）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：1：2，那么△ABC的形状是三角形．6．（2021春•奉贤区期末）将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝度．7．（2020春•宝山区期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD＝．8．（2020春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，联结DE，如果DE∥AB，那么∠CAD的度数是度．9．（2020春•松江区期末）如图，在△ABC中，两个内角∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，若∠B＝70°，则∠D＝度．10．（2019秋•浦东新区期中）在△ABC中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则必有一个内角等于°．11．（2018秋•宝山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝°．12．（2018春•金山区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝．13．（2020春•杨浦区期中）如图所示，∠DBA＝140°，∠A与∠C的度数之比为2：5，则∠A＝度．14．（2020秋•长宁区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，则∠A＝度．15．（2020•松江区二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度．16．（2019秋•嘉定区期末）如图，将三角形ABC沿射线AC向右平移后得到三角形CDE，如果∠BAC＝36°，∠BCA＝72°，那么∠BCD的度数是．17．（2019秋•浦东新区校级月考）已知任意一个三角形三个内角的和为180°，如果有一个三角形三个内角的度数比是1：3：5，这个三角形中最大的内角是度．18．（2018春•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE＝度．19．（2020春•虹口区期中）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，则∠C的一个外角等于度．三．解答题（共8小题）20．（2019春•青浦区期末）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝3：4：5，求三角形各内角度数．21．（2019春•徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC（1）若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝度（直接写出答案）；（2）请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．22．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．23．（2020春•浦东新区期末）已知△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝58°，求∠B的度数．24．（2021春•浦东新区校级期中）如图，已知∠AGH＝∠B，∠CGH＝∠BEF，EF⊥AB于F，试说明CG⊥AB．25．（2019秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，如果BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线且他们相交于点P，设∠A＝n°．（1）求∠BPC的度数（用含n的代数式表示），写出推理过程．（2）当∠BPC＝125°时，∠A＝．（3）当n＝60°时，EB＝7，BC＝12，DC的长为．26．（2020春•杨浦区期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．解：因为DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（），又∠D＝42°，所以∠B＝°（等式性质）．因为∠ACD＝∠A+∠B（），又∠A＝35°，∠B＝°，所以∠ACD＝°（等式性质）．27．（2019春•黄浦区期末）（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线．当点P在斜边AB上移动时，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上：①点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝；②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是；③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是．题组B能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2019秋•浦东新区校级月考）BP和CP是△ABC两个外角的平分线，则∠BPC为（）A． B．90°+ C．90°﹣ D．∠A2．（2020春•黄浦区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（）A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）°二．填空题（共13小题）3．（2020春•奉贤区期末）在△ABC中，∠C＝40°，把△ABC沿BC边上的高AH所在直线翻折，点C落在射线CB上的点C'处，如果∠BAC'＝20°，那么∠BAC＝度．4．（2020春•普陀区期末）如图，点D是△ABC两条角平分线AP、CE的交点，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝°．5．（2020春•嘉定区期末）△ABC的三个内角的度数之比是1：3：5，如果按角分类，那么△ABC是三角形．6．（2020春•金山区期末）在△ABC中，∠A＝50°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC＝．7．（2019春•奉贤区期末）如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，那么∠AOD+∠BOC＝．8．（2019春•青浦区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的高．如果∠1＝54°，那么∠C＝度．9．（2019春•奉贤区期末）如图，在△BDE中，∠E＝90°，AB∥CD，∠ABE＝20°，则∠EDC＝．10．（2019秋•虹口区校级月考）如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．∠E＝．11．（2019春•浦东新区期末）如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，则∠A的度数为．（用m，n表示）12．（2019春•虹口区期末）△ABC中，∠A＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝°．13．（2017春•浦东新区期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上使三角板的两条直角边分别经过B、C，直角顶点D落在△ABC的内部，那么∠ABD+∠ACD＝度．14．（2020秋•青山区期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝度．15．（2018春•闵行区期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝．三．解答题（共10小题）16．（2019春•浦东新区期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝（2x+10）°，∠B＝（3x）°，∠ACD是△ABC的一个外角，且∠ACD＝（6x﹣10）°，求∠A的度数．17．（2019春•闵行区期中）（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．18．（2018秋•浦东新区期末）如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的下方，其中∠OBA＝30°（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．19．（2019春•虹口区期末）如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”．（1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC＝3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC＝∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由；（2）如小明研究结果可以总结为：，该三角形是一个“活三角形”．请通过自己操作研究，并根据上述结论，总结“活三角形”的其他特征；（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结）（3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为度．（直接写出结果即可）20．（2018春•浦东新区期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，延长DE与BC的延长线交于点F，∠BAC和∠BFD的角平分线交于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）所以∠BAG＝，（角平分线定义）又因为∠FPQ＝+∠AED，＝+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∠AED＝∠B（已知）所以∠FPQ＝（等式性质）（请完成以下说理过程）21．（2018春•普陀区期中）如图，已知△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝30°，点F是AB上一点，且∠BCF＝25°，点D在边CA的延长线上，AE平分∠BAD，说明CF∥AE的理由．解：因为点D在边CA的延长线上（已知），所以∠BAC+∠BAD＝180°（）．因为∠BAC＝70°（已知），所以∠BAD＝180°﹣∠BAC＝110°（等式性质）．因为AE平分∠BAD（已知），所以∠EAB＝∠BAD＝55°（）．因为∠AFC＝+＝55°（），所以＝（等量代换）．所以CF∥AE（）．22．（2018春•普陀区期中）如图，已知∠A＝∠C，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC．说明∠1＝∠2的理由．解：因为∠A＝∠C（已知），所以AB∥DC（）．所以∠ABD＝∠CDB（）．因为BE平分∠ABD（已知），所以（）．同理．所以∠1＝∠2（）．23．（2017春•普陀区期中）如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，（1）如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；（2）如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度