2018课标版理数一轮(8)第八章-立体几何(含答案)2-第二节-空间点、直线、平面之间的位置关系

理数课标版第二节空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面的根本性质(1)公理1:如果一条直线上的①两点

在一个平面内,那么这条直线在

此平面内.(2)公理2:过②不在一条直线上

的三点,有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有③一个

公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.教材研读2.空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系

(2)异面直线所成的角(i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'

与b'所成的⑦锐角(或直角)

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(ii)范围:⑧

.(3)公理4:平行于⑨同一条直线

的两条直线互相平行.(4)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角⑩相等或互补

.3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有

相交

、

平行

、

在平面内

三种情况.(2)平面与平面的位置关系有

平行

、

相交

两种情况.1.如图是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,那么这四个点不

共面的是 ()

答案

D

A、B、C中四个点一定共面,D中四个点不共面.2.a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b ()A.一定是异面直线

B.一定是相交直线C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线答案

C假设c∥b,由公理4可知,a∥b,与a,b是异面直线矛盾,应选C.3.假设直线l不平行于平面α,且l⊄α,那么 ()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交答案

B假设α内存在直线m∥l,∵l⊄α,∴l∥α,与题设矛盾,应选B.4.两两相交的三条直线最多可确定

个平面.答案3解析当三条直线共点且不共面时,最多可确定3个平面.5.如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,那么异

面直线B1C与EF所成的角的大小为

.

答案60°解析连接B1D1,D1C,因B1D1∥EF,故∠D1B1C(或其补角)为所求角,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.考点一共点、共线、共面问题典例1如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的

中点.求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点.

考点突破证明(1)如下图,连接CD1、EF、A1B,∵E、F分别是AB和AA1的中点,∴FE∥A1B且EF= A1B.∵A1D1

BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥D1C,∴FE∥D1C,

∴EF与CD1可确定一个平面,即E、C、D1、F四点共面.(2)由(1)知EF∥CD1,且EF= CD1,∴四边形CD1FE是梯形,∴直线CE与D1F必相交,设交点为P,那么P∈CE⊂平面ABCD,且P∈D1F⊂平面A1ADD1,∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,∴P∈AD,∴CE、D1F、DA三线共点.方法技巧1.点线共面问题的证明方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线确定平面β,

最后证明平面α,β重合.2.证明三线共点问题常用的方法:先证其中两条直线交于一点,再证交点

在第三条直线上(发现第三条直线是两相应平面的交线,从而利用公理3

证明).3.证明点共线问题的方法:(1)公理法:先找出两个平面,然后证明这些点

都是这两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上;(2)同一

法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.1-1如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与

平面α相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.

证明因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β.又因为AB∩α=E,AB⊂β,所以E∈α,E∈β,即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点,因为两个平面有公共点,它们有且只有一条过公共点的公共直线,所

以E,F,G,H四点必定共线.考点二空间两直线的位置关系典例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,

有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为

.(注:把你认为正确的结论的序号都填上)答案③④解析直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,所以①②

错误.点B,B1,N在平面BB1C1C中,B1在直线BN外,点M在此平面外,所以BN

与MB1是异面直线.同理,AM与DD1也是异面直线.方法技巧异面直线的判定方法(1)利用反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,

由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否认假设,肯定两条直线异

面.此法在异面直线的判定中经常用到.(2)利用结论:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的

直线是异面直线.2-1设A,B,C,D是空间中四个不同的点,那么以下说法中,不正确的选项是

(填序号).①假设AC与BD共面,那么AD与BC共面;②假设AC与BD是异面直线,那么AD与BC也是异面直线;③假设AB=AC,DB=DC,那么AD=BC;④假设AB=AC,DB=DC,那么AD⊥BC.答案③解析显然①正确.对于②,假设AD与BC共面,由①正确得AC与BD共面,

这与题设矛盾,故假设不成立,从而得②正确.对于③,当AB=AC,DB=DC

时,易知AD与BC不一定相等,故③不正确.对于④,取BC的中点E,连接AE,

DE,由题设得BC⊥AE,BC⊥DE,根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面

ADE,从而AD⊥BC,故④正确.考点三异面直线所成角典例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求AC与A1D所成角的大小;(2)假设E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.解析(1)如下图,连接B1C,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,易知A1D∥B1C,从而∠B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角.∵AB1=AC=B1C,∴∠B1CA=60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如下图,连接BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1,∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD,∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.方法技巧求异面直线所成角的三个步骤(1)作:通过作平行线得到相交直线.(2)证:证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).(3)求:解三角形,求出所作的角,如果求出的角是锐角或直角,那么它就是要

求的角,如果求出的角是钝角,那么它的补角才是要求的角.3-