第十二章《全等三角形》同步单元基础与培优高分必刷卷（全解全析）

第十二章《全等三角形》同步单元基础与培优高分必刷卷全解全析1．A【分析】根据全等三角形的性质依次判断即可得出结果．【详解】解：①全等三角形对应边相等，正确，符合题意；②全等三角形对应角相等，正确，符合题意；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，正确，符合题意；④全等三角形周长相等，正确，符合题意；⑤全等三角形面积相等，正确，符合题意．所以正确的有5个，故选：A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，深刻理解全等三角形的性质是解题关键．2．C【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断．【详解】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正确；∵△ABC≌△AEF，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；∠FAB＝∠EAB不一定相等，故②不符合题意；综上：正确的有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．3．B【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质得到DE=DA，然后利用三角形的面积公式求出的值，即可．【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵，BD是∠ABC的平分线，∴DE=AD，∵，，∴．故选：B【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．4．C【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证Rt△APR≌Rt△APS(HL)，可证得AS=AR，成立．【详解】解：如图：连接AP，∵PR=PS，∴AP是∠BAC的平分线，在Rt△APR与Rt△APS中，∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，∴AS=AR，故①正确；∵AQ=PQ，∴∠BAP=∠QAP=∠QPA，∴，②正确；BC只是过点P，并没有固定，故△BRP≌△CSP③不成立．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．5．B【分析】由题意先利用“角角边”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，CD=DE，然后求出BD+DE=AE，进而可得△DEB的周长．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE，CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE，BD+DE+BE=AE+BE=AB=5cm，所以△DEB的周长为5cm．故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是证明△ACD≌△AED．6．D【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），综上所述t的值为：0，3，9，12．共4中情况．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．7．A【分析】延长交于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明，再求出即可解决问题．【详解】解：延长交于H．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵∠BFC＝∠DBF+∠BDF，∠BDF＝∠CAD+∠ACD，∴，∵，∴，∴，∴∠BFC＝45°+45°＝90°，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键．8．B【分析】根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可．【详解】解：过点G作⊥AB于点，由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，∵∠C=90°，⊥AB，CG=4，∴GC==4，∵P为边AB上一动点，∴，∴GP的最小值为4．故选：B．【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，熟记垂线段最短是解题的关键．9．B【分析】根据全等三角形的性质可得∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，易证△OEB≌△ODC（AAS），根据全等三角形的性质依次进行判断即可．【详解】解：∵△EBC≌△DCB，∴∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，在△OEB和△ODC中，∴△OEB≌△ODC（AAS），故①选项符合题意；∵∠EBC＝∠DCB，∴AB＝AC，∵BE＝CD，∴AE＝AD，故②选项符合题意；没有足够的条件证明∠EBO＝∠OBC，∠DCO＝∠OCB，故③选项不符合题意；∵∠ECB＝∠DBC，∴OB＝OC，故④选项符合题意，综上，符合题意的选项有①②④，共3个，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10．C【分析】需要分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解．【详解】解：当点在上，点在上时，以，，为顶点的三角形与全等，，，，当点在上，点第一次从点返回时，以，，为顶点的三角形与全等，，，，综上所述：的值为1或．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．11．2【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得．【详解】解：如图，过点作于，，平分，，即点到边所在直线的距离是．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．12．2##两【分析】先根据已知条件，加上公共边BD，则利用“SSS”可判断△ADB≌△CBD；根据全等三角形的性质得到∠A=∠C，再加上∠AOD=∠COB，AD=BC，则根据“AAS”可判断△AOD≌△COB．【详解】解：∵AD=CB，AB=CD，DB=BD，∴根据“SSS”可判断△ADB≌△CBD；∴∠A=∠C，∵∠AOD=∠COB，AD=BC，∴根据“AAS”可判断△AOD≌△COB，综上所述，图中共有2对全等三角形．故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．13．48【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质可得OE=OF=OD=4，再由△ABC的面积是：，即可求解．【详解】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：，故答案为：48.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．14．4【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG，根据全等三角形的面积相等可得，然后根据求解即可得出答案．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH，在Rt△DEF和Rt△DHG中，，∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），∴，同理Rt△ADE≌Rt△ADH，∴＝10﹣3＝7，∴＝7﹣3＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．15．（答案不唯一）【分析】根据三角形全等的判定条件，边角边或边边边，即可解得答案【详解】由题可知，,,若，则（ASA）；若，则（AAA）故答案为：或【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握其判定条件即可16．①②##②①【分析】通过证明△APR≌△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠PAS，可证QPAR，可求解．【详解】解：如图，连接AP，①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，又AP=AP，∠ARP=∠ASP=90°，∴△APR≌△APS（AAS），∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QPAR，∴②正确；③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．17．0，3，9，12【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），故答案为：0，3，9，12．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．18．见解析【分析】由AB=CD，得AC=BD，再利用SAS证明△AEC≌△DFB，即可得结论．【详解】证明：，，．在和中，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．(1)见解析(2)见解析(3)△ABE的面积为40【分析】（1）根据全等三角形的判定定理判断△ACE≌△BCD即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的面积公式即可得到结论．（1）证明：∵∠ACB=90°，E是BC延长线上一点，∴∠ACE=∠ACB=90°，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠FBE=∠CAE，∵∠CAE+∠E=90°，∴∠FBE+∠E=90°，∴∠BFE=180°-（∠FBE+∠E）=180°-90°=90°，∴BF⊥AE；（3）解：∵BD=8，DF=2，∴BF=10，∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD=8，∴△ABE的面积=AE•BF=×8×10=40．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明△ACE≌△BCD．20．(1)见解析(2)AF的长为1【分析】（1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC；（2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求．（1）解：∵EG⊥AD，EF⊥AC，∴∠EGB=90°=∠EFC，∴△EGB和△EFC是直角三角形，∵AE平分∠CAD，∴∠EAG=∠EAF，∵EA=EA，∴△AGE≌△AFE，∴EG=EF，∵EB=EC，∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)，得证；（2）解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，∴BG=FC，AG=AF，∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，∵AB=3，∴2AF+3=5，∴AF=1，即AF的长为1．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键．21．(1)证明见解析，(2)BC=4．【分析】（1）证明△ADF≌△ACE即可；（2）易证△FDG≌△BCG，则可得出CD的长度，由（1）可得△ADF≌△ACE，点E为BC中点则点D为AC中点，求出AC即可得到BC的长度．（1）∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∴∠AEC=∠FAD，∵FD⊥AC，∴∠FAD=90°，在△ADF和△ACE中，∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，∴△ADF≌△ACE，∴FD＝AC．（2）由（1）可知，FD=AC，∵AC=BC，∴FD=BC，在△FDG和△BCG中，∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，FD=BC，∴△FDG≌△BCG，∴CG=DG，则CD=2CG=2，∵△ADF≌△ACE，∴AD=CE，∵AC=BC，点E为BC中点，∴点D为AC中点，则AC=2CD=4，∴BC=AC=4．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握全等三角形对应边和对应角相等以及用AAS和ASA判定三角形全等是解题的关键．22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；（2）过点作于点，先根据全等三角形的性质可得，设，则，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程，解方程即可得．（1）证明：如图，过点作于点，∵平分，，∴，在与中，，∴，，，．（2）解：如图，过点作于点，由（1）已证：，，设，则，，，在和中，，，，，解得，即的长为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．23．(1)AM=DE，AM⊥DE，(2)成立，证明见详解；(3)成立，证明见详解．【分析】（1）延长MA交DE于F，证明△ABC≌△AED（SAS），得出DE=BC=2AM，∠ABC=∠AED，得出AM=DE，证出∠AFE=90°，即可得出AM⊥DE；（2）延长AM至N，使MN=AM，连接BN、CN，延长MA交DE于F，则四边形ABNC是平行四边形，得出BN=AC=AD，BN∥AC，证明△ABN≌△EAD（SAS），得出AN=DE，∠BAN=∠AED，得出AM=DE，证出∠AFE=90°，即可得出AM⊥DE；（3）由（1）的结论，当∠BAC=90°，可得AM=DE，AM⊥DE；当∠BAC≠90°时，延长CA到F，使AF=AC，连接BF，延长AM交DE于G，则AM是△BCF的中位线，得出AM=BF，AM∥BF，得出∠MAC=∠F，证明△ABF≌△AED(SAS)，得出BF=DE，∠F=∠ADE，得出AM=DE，证出∠AGD=90°，即可得出AM⊥DE．（1）AM=DE，AM⊥DE，理由如下：延长MA交DE于F，如图1所示：∵∠BAC=90°，M是BC中点，∴AM=BC，∵∠BAE=∠CAD=90°，∠BAC=90°，∴∠EAD=90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED(SAS)，∴DE=BC，∠ABC=∠AED，∴AM=DE，∵∠BAE=90°，∴∠BAM+∠EAF=90°，∴∠AED+∠EAF=90°，∴∠AFE=90°，∴AM⊥DE；（2）（1）中的结论成立，AM=DE，AM⊥DE，理由如下：延长AM至N，使MN=AM，连接BN、CN，延长MA交DE于F，如图2所示：∵M是BC中点，∴BM=CM，∴四边形ABNC是平行四边形，∴BN=AC=AD，BN∥AC，∴∠NBA+∠BAC=180°，∵∠BAE=∠CAD=90°，∴∠DAE+∠BAC=180°，∴∠NBA=∠DAE，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴AN=DE=2AM，∠BAN=∠AED，∴AM=DE，∵∠BAE=90°，∴∠BAN+∠EAF=90°，∴∠AED+∠EAF=90°，∴∠AFE=90°，∴AM⊥DE；（3）（1）中的结论成立，理由如下：由（1）的结论，当∠BAC=90°，可得AM=DE，AM⊥DE，当∠BAC≠90°时，延长CA到F，使AF=AC，连接BF，延长AM交DE于G，如图3所示：则AF=AC=AD，∵M是BC中点，∴AM是△BCF的中位线，∴AM=BF，AM∥BF，∴∠MAC=∠F，∵∠BAE=∠DAC=90°，∴∠DAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴∠BAF=∠EAD，在△ABF和△AED中，，∴△ABF≌△AED(SAS)，∴BF=DE，∠F=∠ADE，∴AM=DE，∴∠GAC=∠ADE，∵∠MAC+∠DAM=