第12讲等边三角形（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（原卷版）

第12讲等边三角形（核心考点讲与练）一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．一．七巧板（共1小题）1．（2019秋•奉贤区期中）七巧板是我们民间流传最广的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中6号部分的面积是正方形面积的（）A． B． C． D．二．等边三角形的性质（共6小题）2．（2020秋•上海期末）若把一个边长为2厘米的等边△ABC向右平移a厘米，则平移后所得三角形的周长为厘米．3．（2021春•静安区校级期末）小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是．4．（2020秋•静安区期末）如图，一个边长是1的等边三角形ABC，将它沿直线l作顺时针方向滚动，求滚动100次，B点所经过的路程（结果保留π）．5．（2021春•杨浦区期末）如图，已知直线l1∥l2，等边三角形ABC的顶点A、C分别在直线l1、l2上，如果边AB与直线l1的夹角∠1＝26°，那么边BC与直线l2的夹角∠2＝度．6．（2020秋•上海期末）边长为6cm的等边三角形的面积是．7．（2021春•杨浦区期末）甲、乙两人沿边长为60米的等边三角形ABC的边按A→B→C→A的方向行走，甲每分钟走65米，乙每分钟走50米，设甲在顶点A时，乙在顶点C，几分钟后甲、乙两人可第一次行走在同一条边上？（不含甲、乙两人在三角形相邻顶点时的情形）三．等边三角形的判定（共3小题）8．（2021春•闵行区期末）在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为．9．（2019•金山区二模）在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是（只要写出一个即可）．10．（2019春•虹口区期末）说理填空：如图，点E是DC的中点，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求证：△BEC为等边三角形．解：因为DF平分∠CDA（已知）所以∠FDC＝∠．因为∠CDA＝120°（已知）所以∠FDC＝°．因为DF∥BE（已知）所以∠FDC＝∠．（）所以∠BEC＝60°，又因为EC＝EB，（已知）所以△BCE为等边三角形．（）四．等边三角形的判定与性质（共2小题）11．（2020春•宝山区期末）如图，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，△DEF是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3，△ABC是等边三角形吗？试说明理由．12．（2019春•浦东新区期末）如图，已知等边△ABC和等边△CDE，P、Q分别为AD、BE的中点．（1）试判断△CPQ的形状并说明理由．（2）如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状会改变吗？请你将图2中的图形补画完整并说明理由．分层提分分层提分题组A基础过关练一．选择题（共1小题）1．（2016春•闵行区期末）如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．90° B．120° C．150° D．180°二．填空题（共6小题）2．（2019秋•闵行区期末）如图，将边长为2cm的等边△ABC沿边BC向右平移1.5cm得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．3．（2018秋•浦东新区期中）等边三角形的边长为a，则它的周长为．4．（2021春•普陀区校级月考）等边三角形的面积为8，则它边长是．5．（2020秋•徐汇区校级月考）如图，将边长为6cm的等边△ABC沿BC边向右平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是22cm，那么平移的距离应该是cm．6．（2018秋•金山区期末）将边长为6cm的等边三角形ABC向右平移一定的距离后得到三角形DEF，已知EC＝2cm，那么平移的距离为cm．7．（2019•金山区二模）在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是（只要写出一个即可）．三．解答题（共2小题）8．（2019春•崇明区期末）如图，在等边△ABC中，边AB＝6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒．（1）当t＝3时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由；（2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值；（3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．9．（2019春•虹口区期末）说理填空：如图，点E是DC的中点，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求证：△BEC为等边三角形．解：因为DF平分∠CDA（已知）所以∠FDC＝∠．因为∠CDA＝120°（已知）所以∠FDC＝°．因为DF∥BE（已知）所以∠FDC＝∠．（）所以∠BEC＝60°，又因为EC＝EB，（已知）所以△BCE为等边三角形．（）题组B能力提升练一．填空题（共3小题）1．（2020秋•徐汇区校级期中）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若△ABC是优三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．则这个三角形的面积是．2．（2017秋•浦东新区期末）如果等边三角形的边长为m厘米，那么这个三角形的面积等于平方厘米（用含m的代数式表示）．3．（2018春•杨浦区期末）如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝度．二．解答题（共6小题）4．（2019秋•泸县期末）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．5．（2007春•静安区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，连接BD，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）说明DB与DE相等的理由．6．（2008春•闵行区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上．（1）如果AD⊥BC，BE⊥AC，试证明∠APE＝60°的理由；（2）如果BD＝EC，那么“∠APE＝60°”是否还能成立？请说明理由．7．（2006秋•杨浦区期末）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P．（1）当△ABC为等边三角形（如图1）时，求证：EP＝DP；（2）当△ABC不是等边三角形，但∠ACB＝60°（如图2）时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．8．（2015秋•诸城市期末）如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE∥BC的理由；（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．9．