高数课后习题难点章

第六章

1求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.

(1)片3cos6及片l+cos6

解

曲线"=3cos6与"=l+cos6交点的极坐标为井|，令，B(1,-y).由对称性,

所求的面积为

A=2[1^(1+COS(9)2(/6(+|好处。)2d0=%.

(2)/?=&sin。及夕2=cos26.

解

曲线片岳in。与「2=cosM的交点物的极坐标为M吟至.所求的面积为

A=2[j1(V2sin^)2^+1geos划例=亳+^^.

6

⑶摆线ma(t-sint),7=a(l-cos力的一拱，7=0,绕直线产2a.

解V-71J'＜，T(2a)2dx-;r^＜，7r(2a-y)2dx

=8/乃2『〔勿_q(]_cosE)]2d〃“_sinr)

y

(\+cost)sin2tdt=la37r2.AF=a(Z-sin/),)^=a(1-cos/)

0

2求由抛物线/=4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的

最小值.

解设弦的倾角为仪由图可以看出，抛物线与过焦点的弦所围成的图形的

面积为

A=4+A.

显然当。=今时，4=0;当时，4〉0.

因此，抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为

4)=2Jy/2axdx=|VaV?|()=.

3证明由平面图形0M处於以OWXf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为

V=2/r^xf(x)dx.

证明如图，在X处取一宽为公的小曲边梯形，小曲边梯形绕y轴旋转所得

的旋转体的体积近似为2初f(x)以这就是体积元素，即

dV=17TX-f{x}dx,

于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为

V=12时(x)dx=2/rjxf(x)dx.

4计算抛物线/=2后从顶点到这曲线上的一点/x,y)

的弧长.

解

s=fyfl+x2(y)dy=^l+(^-)2dy=-f^p2+y~dy

=*亚可+曰My+Jp2+y)］；

5在摆线ma(t-sin力，片a(l-cos。上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标.

解设Z从0变化到Z。时摆线第一拱上对应的弧长为s(to),则

s(t0)=j+[y，⑺]2力=f>J[Q(1-cos/)F+[Qsin仔出

当右=2万时，得第一拱弧长s(2由=8a.为求分摆线第一拱为1:3的点为A(x,

y),令

4a(l—cosm)=2a,

解得力=与，因而分点的坐标为：

横坐标%=吟—sin争=（岸—当Q,

纵坐标y=Q（1-COS等=氏,

J乙

故所求分点的坐标为（卓-岑）I。）.

6直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cn?的蒸汽.设温度保持不变,

要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？

解由玻-马定律知：

PV=Z:=10.（^-102-80）=8000（k.

设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变，高度减小X厘米时压强为尸（X）牛/

厘米2,则

P（x）•[（^-102）（80-A：）]=80000^-,p（x）=-^-.

80-4

功元素为dW=（万•1。2）尸（%）公，

所求功为

W=「(乃•102).^QQ_dx=80000乃f°—LJx=800^1n2(J).

J)80—480-TT

7.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如

图所示.当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所

受的压力.

解建立坐标系如图，则椭圆的方程为

压力元素为

dP=l-x-2y(x)dx=x-|^(1)2-(x-^)2dx,

所求压力为

=(吨)=17.3(kN).

(提示：积分中所作的变换为尸江京皿)

8设有一长度为/、线密度为〃的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位

处有一质量为力的质点M试求这细棒对质点〃的引力.

解建立坐标系如图.在细直棒上取一小段力，引力元素为

m/jdy

dF=G-dy,

a2+y2a2+y2

如在X轴方向和y轴方向上的分力分别为

dF=--dF,dF、=*dF.

ryr

Gm/j.f1

E)d尸—aGmW正百心(Oax

ay/a2+l2

1

Gm/Jdy=G机〃L__-1=_^dy=,).

J,r。~+俨i}(a2+y2)yla2+y2ayJa2+l2

9.设有一半径为/?、中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数〃.在

圆心处有一质量为力的质点F.试求这细棒对质点，"的引力.

解根据对称性，£=0.

生铲

xR2

=G吗产).cos。=竿一比。,

=也吆pcos例。=也吆疝空

RJ)R2

引力的大小为"普sing,方向自"点起指向圆弧中点.

A2

10求圆盘(X-2)2+y2<i绕y轴旋转而成的旋转体的体积.

解V=2-2^fx-y/l-(x-2)2dx

令1-2=sin/

证明见第三题

11抛物线y=；X2被圆炉+,2=3所需截下的有限部分的弧长.

x2+y2=3

解由41,解得抛物线与圆的两个交点为(-0,1),(0,1),于是所

求的弧长为

s=20J1+%2dx=2[.Jl+-2+3ln(x+Jl+.2)]；'

=-y/6+ln(V2+V3).«y1

（5）(0,1)

12半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切,2

X+1y2=3

球的比重与水相同，现将球从水中取出，需作多

少功？

解建立坐标系如图.将球从水中取出时，球的各点上升的高度均为2r.在x

处取一厚度为dx的薄片，在将球从水中取出的过程中，薄片在水下上升的高度

为r+x,在水上上升的高度为LX在水下对薄片所做的功为零，在水上对薄片所

做的功为

dW=g7V(r-x)(r2-x2)dx,,

对球所做的功为()

13.边长为a和人的矩形薄板，与液面成角斜沉于液体内，长边平行于液

面而位于深方处，设a>6,液体的比重为，试求薄板每面所受的压力.

解在水面上建立x轴，使长边与x轴在同一垂面上，长边的上端点与原点对

应.长边在x轴上的投影区间为[0,Aosa],在x处x轴到薄板的距离为AKrtana

压力元素为

dP=pg-(/z+xtan«)•«•

cosacosa

薄板各面所受到的压力为

O9CI—cosa1.

P=-t-^—(h+xtanoc)dx=—psab(2h+bsina).

cosaJ>2

14.设星形线％=acos3f,y=asin3/上每•点处的线密度的大小等于该点到

原点距离的立方，在原点。处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质

点的引力.

解取弧微分力为质点，则其质量为

(J%2+y2Yds-+y2>ds,

3,23,2

其中t/5=A/[(flcosz)]+[(<7sinr)JJ/=3asinrcos/i/r.

设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为£、用则有

尺=区・唔京•不片dIG/fcos'sin5=|G〃，

F=pG」)•—/'ds=3Ga2|^cos?sin4rJz=^Ga2,

x小(x2+y2)"+y2J)5

所以尸=(|G〃qGa2).

第七章

1设向量的方向余弦分别满足⑴cosgO;(2)cos户=1;(3设oso?=cos£=0,问这些

向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

解(1)当cosgO时，向量垂直于x轴，或者说是平行于人位面.

(2)当cos/=l时，向量的方向与y轴的正向一致，垂直于zOx面.

(3)当cosgcos/?=0时，向量垂直于x轴和y轴，平行于z

轴，垂直于xa面.

2一向量的终点在点8(2,-1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,-4,7.

求这向量的起点A的坐标.

解设点力的坐标为(司y,z).由已知得

'2-X=4

<—1—y=-4,

7-z=7

解得4—2,尸3,z=0.点4的坐标为4(-2,3,0).

3(1)设a、b、c为单位向量，且满足a+Z>+c=O,求.

解因为a+加c=0,所以(a+加c)•(m■加c)=0,

即aa+b加cc+2a加2ac+2ca=0,

Jci'b-\~b'C+c*d~—5(。+。力+c・c)=——(I+l+l)=~~

(2)设|a,=3,18=4,c|=5,且满足a+加c=0,求|ax加bxc+cxa|

解

c=-(a4-Z>),

axZ?+Z>xc+cxa=axZ>-Z>x(a+b)-(a+Z>)xa=axb-bxa-bxa='3axb,

ax加bxc+cxai=3|axb=3a-Ib=3-3-4=36.

4.设质量为100kg的物体从点掰(3,1,8)沿直线称动到点4(1,4,2),计算重力

所作的功(长度单位为饵重力方向为z轴负方向).

解尺(0,0,-100x9.8)=(0,0,-980),S=MtM2=(1-3,4-1,2-8)=(-2,3,-6).

生户5=(0,0,-980)-(-2,3,-6)=5880(焦耳).

5求向量年(4,-3,4)在向量人(2,2,1)上的投影.acos6

解Prj„a=aeb=a-^-=^-ab=J(4,-3,4).(2,2,1)=1(4x2-3x2+4xl)=2.

⑸\b\V22+22+l23

6试用向量证明直径所对的圆周角是直角.

证明设48是圆。的直径，。点在圆周上，则防=-凌，IOCHOAI.

ACBC=(OC-OA)\OC-OB)={OC-OA)[OC+OA)^OC?-\OA\L=0,

所以AC1BC,Z6=90°.

7画出下列方程所表示的曲面：先旋转再伸缩

(1)4/+y-z2=4;

2

(2)x-y-4z=4;

⑶x+9

8分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线］:的柱面方程•

解把方程组中的x消去得方程3/-Z2=16,这就是母线平行于X轴且通过曲

线《二"£”的柱面方程.

把方程组中的y消去得方程3V+2Z2=16,这就是母线平行于y轴且通过曲线

2x2+y2+z2=16

/+[2_>2=0的柱面方程.

x=acosO

9求螺旋线"asinO在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.

Z=bO

解由前两个方程得，+「=才，于是螺旋线在X处面上的投影曲线的直角坐标

方程为

[x2+y2=a2

[z=0

由第三个方程得。=寺代入第一个方程得

b

—=cosy-,即z=^arccos—,

aba

于是螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为

z=&arccos—

•a-

y=0

由第三个方程得。=三代入第二个方程得

b

—=sin-7,即z=/?arcsin—,

aba

于是螺旋线在了龙面上的投影曲线的直角坐标方程为

x=0

z=Z>arcsin—,

a

10求上半球OWzvJa2T2-y2与圆柱体x'+yMaxS>。）的公共部分在xa面和zOx

面上的投影.

解圆柱体x+y<ax在xOy面上的投影为?+/当%它含在半球

OVz4a2_*2_丫2在宜加面上的投影内，所以半球与圆柱体的公共部分在

才如面上的投影为x+y<ax.

为求半球与圆柱体的公共部分在z公面上的投影，由圆柱面方程得

代入半球面方程z=Ja2_x2_）,2,得名=乒晟（0«朕a）,于是半球与圆柱

体的公共部分在zOx面上的投影为

0<z<yJa2-ax（0<A<a）,即z+ax<^,Q<x<a,z>Q.

11.求旋转抛物面（04率4）在三坐标面上的投影.

解令必4得/+/=4,于是旋转抛物面把幻在*如面上的投影为

x+y<4.

令40得合”，于是旋转抛物面2-/+/（04把4）在yOz面上的投影为y<z<4.

令尸0得必V,于是旋转抛物面必力V（04把4）在zOx面上的投影为7<2<4.

12分别按下列条件求平面方程：

(1)平行于z0x面且经过点(2,-5,3);

解所求平面的法线向量为J=(0,1,0),于是所求的平面为

0-(户2)-5(j4-5)+0-(z-3)=0,即T=-5.

(2)通过z轴和点(-3,1,-2);

解所求平面可设为/矛+6片0.

因为点为3,1,-2)在此平面上,所以

—34+层0,

将层34代入所设方程得

4r+3/l产0,

所以所求的平面的方程为

口3尸0,

(3)平行于x轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7).

解所求平面的法线向量可设为/2=(0,b,c).因为点(4,0,-2)和(5,1,7)

都在所求平面上，所以向量m=(5,1,7)-(4,0,-2)=(1,1,9)与〃是垂直的，即

加9a0,b=-9c,

于是z?=(0,-9c,c)=-c(0,9,-1).

所求平面的方程为

9(尸0)-(z+2)=0,即9尸z—2=0.

13用对称式方程及参数方程表示直线,：一.

[2x+y+z=4

解平面x-y+z^l和2x+y+z^4的法线向量为m=(l,-1,1),n=(2,1,1),所

求直线的方向向量为

iJk

s=n]xn2=1—11=-2i+j+3k.

一211

在方程组/『fzT/中，令片0,得,:+E解得43,^-2.于是

[2x+y+z=4[2x+z=4

点(3,0,-2)为所求直线上的点.

所求直线的对称式方程为

%—3_y_z+2

二T=T=丁；

参数方程为

x=i-21,产t,大一2+31.

14求过点(3,1,-2)且通过直线矢4=与="的平面方程.

。4JL

解所求平面的法线向量与直线*4=亨=：的方向向量S=(5,2,1)垂

直.因为点⑶1,-2)和(4,-3,0)都在所求的平面上，所以所求平面的法线向量与

向量&=(4,-3,0)-(3,1,-2)=(1,-4,2)也是垂直的.因此所求平面的法线向量可

取为

ijk

〃=S]Xs,=521=Si-9j-22k.

1-42

所求平面的方程为

8(^-3)-9(JA-D-22(Z+2)=0,

即8矛-9尸22z-59=0.

15试确定下列各组中的直线和平面间的关系：

%+3y+4z

⑴和4x-2y-2z=3;

解所给直线的方向向量为5=(-2,-7,3),所给平面的法线向量为比(4,-2,

-2).

因为sn=(-2)x4+(-7)x(-2)+3x(-2)=0,所以sin,从而所给直线与所给平

面平行.又因为直线上的点(-3,-4,0)不满足平面方程4户2尸2交3,所以所给直

线不在所给平面上.

(2)•和3x—2丹7/8;

解所给直线的方向向量为》(3,-2,7),所给平面的法线向量为注(3,-2,

7).

因为2A,所以所给直线与所给平面是垂直的.

(3)矢2=岩2=3芋和x+y+z=3.

31—4

解所给直线的方向向量为*(3,1,-4),所给平面的法线向量为z?=(l,1,1).

因为s.72=3x1+1x1+(-4)x1=0,所以从而所给直线与所给平面平行.又因

为直线上的点(2,-2,3)满足平面方程科外々3,所以所给直线在所给平面上.

16求点(-1,2,0)在平面矛+2尸z+l=0上的投影.

解平面的法线向量为比(1,2,-1),过点(-1,2,0)并且垂直于已知平面的

直线方程为

.x+l_y-2_z

丁二丁二7

将此方程化为参数方程X=-1+力产2+2力介一，代入平面方程x+2广z+l=0中，得

(-1+1)+2(2+21)-(-8+1=0,

解得再2将Z=—：2代入直线的参数方程，得］=—］5，>=2t，Z=：2・于是

点(-1,2,0)在平面x+2尸z+l=0上的投影为点(一条令.

4jj

17求点尸⑶—1,2)到直线［：+)'—"+1：°八的距离.

［2x—y+z-4=0

解已知直线的方向向量为

ijk

s=(l,1,-1)x(2,-1,1)=11-l=-3j-3k.

2-11

过点P且与已知直线垂直的平面的方程为

-3(丹1)-3(z-2)=0,即丹z-l=0.

解线性方程组

%+y-z+l=0

<2%-y+z-4=0,

y+zT=0

I3

得41，，=-5，z=；・

二二:比的距离就是点尸⑶)与点

点户(3,-1,2)到直线0T2

13

(1,一当会间的距离，即

d=3

18画出下列各曲面所围成的立体图形：

(l)x=0,y=0,z-0,x-2,7=1,3x+4y+2z-12-0;截距式

19设a+3乩7a-5Z>,a-4b17a-2b,求(a)).

解因为a+3Z?!7a-5/>,a-4Z>17a-2Z>,

所以(出3b)-(7a-56)=0,U-46)-(7a-26)=0,

即7a|2+16a-^-15|Z?2=0,7|a|-30a-ZH-8|/>|2=0,

又以上两式可得

\aHb\=y/2y/a^b,

于是cos(a⑦)=p^j=J,(a：b)=q.

\aV\b\23

20设的⑵-3,1),b={\,-2,3),c=(2,1,2),向量r满足zla,rib,Prjcr=14,

求r.

解设r=(x,y,z).

因为zla,rib,所以r•eO,r-b=O,即

2A3丹有0,x-2y+3z=0.

又因为PijQ14,所以r.=C=14,即

2x+y+2z=42.

解线性方程组

2x-3y+z=0

<x-2y+3z=0,

2x+y+2z=42

得户14,尸10,右2,所以人(14,10,2).

另解因为rJLa,工L6,所以r与ax5=；-3f=-7i-5j-A平行，故可设4/1(7,5,

1-23

1).

又因为Pij414,所以r±c=14,r-^42,即

Icl

4(7x2+5xl+lx2)=42,/l=2,

所以r=(14,10,2).

21设年(-1,3,2),辰(2,-3,-4),c=(-3,12,6),证明三向量a、b、c共面，并

用a和1表示c.

证明向量a、b、c共面的充要条件是(axb).yO.因为

ijk

axZ>=-l32=-6i-3fc,

2-3-4

(ax/?)・c=(-6)x(-3)+0x12+(-3)x6=0,

所以向量a、b、c共面.

设c=/l歼〃&则有

(-2+2//,32-3/z,24—4〃)=(一3,12,6),

即有方程组

—2+2//=-3

<3/i—3//=12,

24—4〃=6

解之得A=5,/z=l,所以c=^a+b.

22求通过点4(3,0,0)和8(0,0,1)且与面成。角的平面的方程.

解设所求平面的法线向量为F(a,b,c).

^=(3,0,-1),x―面的法线向量为公(0,0,1).

按要求有〃.£=0,器=cosg,

\n\'\k\3

3a-c=0

即,<•」,

yja2+h2+c22

解之得仁3a,b=±而a.于是所求的平面的方程为

(x-3)±V26y+3z=0,

即x+V5jy+3z=3,或x-V^jy+3z=3.

23设一平面垂直于平面