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2023-2024学年山东省淄博市周村二中九年级(上)段考数学试卷(12月份)(五四学制)一.选择题(每题4分,共计48分)1.(4分)下列几何体中,主视图、左视图和俯视图都相同的是()A. B. C. D.2.(4分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,它的一个外角∠CBE=70°()A.110° B.70° C.140° D.160°3.(4分)如图,A1B1是线段AB在投影面P上的正投影,AB=20cm,∠ABB1=70°,则投影A1B1的长为()A.20sin70°cm B.20cos70°cm C.20tan70°cm D.4.(4分)如图,CD是⊙O的直径,弦AB垂直CD于点E,BC,AD,则下列结论不一定的是()A.AE=BE B.CE=OE C.AC=BC D.AD=BD5.(4分)如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上两点,则∠ABD的大小为()A.68° B.58° C.48° D.21°6.(4分)如图,∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=82°()A.160° B.164° C.162° D.170°7.(4分)如图,AB,CD是⊙O的弦,CD相交于点E,已知∠E=30°,则所对的圆心角的度数是()A.30° B.40° C.50° D.70°8.(4分)一块圆形玻璃镜面碎成了几块,其中一块如图所示,测得弦AB长20厘米,则镜面半径是()A.24厘米 B.26厘米 C.28厘米 D.30厘米9.(4分)如图,在⊙O中,AB为直径,四边形CDEF是正方形,连接BD,OF=1,则BD=()A. B. C.13 D.10.(4分)已知圆中两条平行的弦之间距离为1,其中一弦长为8,若半径为5()A.6或 B.6或7 C.6或 D.7或911.(4分)如图,AB为半圆的直径,O为圆心,点D是半圆上的动点(不与点A,B,C重合),点D从点A出发向点B运动.过点D作DE⊥AB、DF⊥OC,分别取DE和DF的中点M,N,连接MN.若AB=10()A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.等于5 D.等于2.512.(4分)如图,⊙O与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D,Q为弦AP上一点,且AQ=2PQ.若点A的坐标为(﹣6,0),则CQ的最小值为()A.3﹣3 B.2﹣4 C.6﹣4 D.6﹣2二.填空题(每题4分,共计20分)13.(4分)如图所示,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,AD∥OC,则∠AOD=.14.(4分)如图,AB是⊙O的直径,若AC=2,则BC长等于.15.(4分)在半径为1的⊙O中,弦AB=,AC=.16.(4分)如图,这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图,则它的左视图的面积是.17.(4分)某品牌电饭锅成本价为70元,销售商对其销量与定价的关系进行了调查,结果如下:定价(元)100110120130140150销量(个)801001101008060为获得最大利润,销售商应将该品牌电饭锅定价为元.三.解答题18.(12分)计算:(1)2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°;(2)(﹣1)2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°.19.(10分)如图,AB为⊙O的直径,点D是,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F.若AC=4,求⊙O的直径.20.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,交BC于点D,交AC于点E.(1)求证:点D是边BC的中点.(2)记的度数为α,∠C的度数为β.探究α与β的数量关系.21.(10分)已知二次函数y=x2+mx+m2﹣3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).(1)求m的值;(2)判断二次函数y=x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.22.(12分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(m,4),与y轴交于点C(0,3).(1)求m的值和一次函数的表达式;(2)已知P为反比例函数y=图象上的一点,S△OBP=2S△OAC,求点P的坐标.23.(14分)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,∠BAC=∠ADB.(1)求证DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小;(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=224.(14分)如图,抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点E.(1)求直线AD及抛物线的表达式;(2)在抛物线上是否存在点M,使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点M的坐标,请说明理由;(3)以点B为圆心,画半径为2的圆,点P为⊙B上一个动点PA的最小值.
2023-2024学年山东省淄博市周村二中九年级(上)段考数学试卷(12月份)(五四学制)参考答案与试题解析一.选择题(每题4分,共计48分)1.【分析】根据简单几何体的三视图逐个判断即可.【解答】解:A.圆柱的主视图和左视图是矩形,故此选项不符合题意;B.圆锥的主视图和左视图是三角形,故此选项不符合题意;C.长方体的三视图都是矩形、宽不同;D.球的三视图都是圆形,故此选项符合题意.故选:D.【点评】本题考查了简单几何体的三视图,掌握常见几何体的三视图是解题的关键.2.【分析】利用圆内接四边形的性质即可.证明∠ADC=∠CBE即可得到答案.【解答】解:∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ABC+∠CBE=180°,∴∠ADC=∠CBE=70°.故选:B.【点评】本题主要考查圆的内接四边形,熟练掌握圆内接四边形的性质即可3.【分析】如图,过点A作AH⊥BB1于点H,则四边形AHB1A1是矩形,解直角三角形求出AH,可得结论.【解答】解:如图,过点A作AH⊥BB1于点H,则四边形AHB1A4是矩形,∴AH=A1B1,在Rt△ABH中,AH=AB•sin70°=20•sin70°(cm),∴A5B1=AH=20sin70°(cm).故选:A.【点评】本题考查平行投影,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.4.【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可.【解答】解:∵CD是⊙O的直径,弦AB垂直CD于点E,∴AE=BE,弧AC=弧BC,∴AC=BC,AD=BD,而CE=OE不一定成立,故选:B.【点评】本题考查的是垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.5.【分析】连接AD,利用圆周角定理求解.【解答】解:连接AD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∵∠BCD=∠BAD=42°,∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣42°=48°.故选:C.【点评】本题考查圆周角定理,解题的关键是掌握圆周角定理解决问题.6.【分析】求出∠BCD的度数,根据圆内接四边形的对角互补得出∠A+∠BCD=180°,求出∠A=82°,根据圆周角定理得出∠BOD=2∠A,再求出答案即可.【解答】解:∵∠DCE=82°,∴∠BCD=180°﹣∠DCE=98°,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠A+∠BCD=180°,∴∠A=82°,∴∠BOD=2∠A=164°,故选:B.【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理,能熟记圆内接四边形的性质和圆周角定理是解此题的关键.7.【分析】根据等腰三角形的性质,三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可.【解答】解:如图,连接OA,OB,∵OA=OC,∠AOC=100°,∴∠OAC=∠OCA=40°,∴∠E=30°,∴∠EAC+∠ECA=180°﹣30°=150°,∴∠OAB+∠OCD=150°﹣40°﹣40°=70°,∴∠AOB+∠COD=180°×2﹣70°×2=220°,∴∠BOD=360°﹣100°﹣220°=40°,故选:B.【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系,掌握等腰三角形的性质,三角形内角和定理是正确解答的前提.8.【分析】根据题意,弦AB长20厘米,弓形高CD为2厘米,根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径.【解答】解:如图,点O是圆形玻璃镜面的圆心,则点C,点O三点共线,由题意可得:OC⊥AB,AC=,设镜面半径为x厘米,由题意可得:x2=102+(x﹣2)7,∴x=26,∴镜面半径为26厘米,故选:B.【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,解决与弦有关的问题时,往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形,由勾股定理可求解.9.【分析】连接OD,利用勾股定理求出OD,再利用勾股定理求出BD即可.【解答】解:连接DO.∵CO=3,OF=1,∴CF=5,∵四边形CDEF是正方形,∴∠DCO=90°,CD=CF=4,∴OD===5,∴OB=OD=2,∴CB=CO+OB=8,∴BD===4.故选:B.【点评】本题考查圆的认识,正方形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.10.【分析】如图,分CD=8和AB=8这两种情况,利用垂径定理和勾股定理分别求解可得.【解答】解:如图,①若CD=8,则CF=CD=4,∵OC=OA=2,∴OF=3,∵EF=1,∴OE=2,则AE==,∴AB=2AE=5;②若AB=8,则AE=AB=4,∵OA=OC=5,∴OE=3,∵EF=1,∴OF=3,则CF=3,∴CD=2CF=4;综上,另一弦长为6或2,故选:C.【点评】本题主要考查垂径定理,解题的关键是掌握垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.11.【分析】如图,连接EF,OD.证明四边形DEOF是矩形,推出EF=OD=5,再利用三角形的中位线定理解决问题即可.【解答】解:如图,连接EF.∵OC⊥AB,DE⊥OADF⊥OC,∴∠FOE=∠DEO=∠DFO=90°,∴四边形OEDF是矩形,∴EF=OD=AB=7,∵DM=EN,DN=FN,∴MN=EF=,故选:D.【点评】本题考查圆的认识,三角形中位线定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.12.【分析】连接PO,过Q作QM∥OP,交AO于M,以M为圆心,MA为半径作圆,连接MC交⊙M于Q′,得到AM:AO=AQ:AP,求出AM的长,推出MQ=AM=4,由勾股定理求出CQ′的长即可.【解答】解:连接PO,过Q作QM∥OP,以M为圆心,连接MC交⊙M于Q′,∴AM:AO=AQ:AP,∵AQ=2PQ,∴AQ:AP=2:7,∵D的坐标是(0,﹣6),∴OA=OD=7,∴AM=AO=,∵OA=OP,∴∠MAQ=∠P,∵QM∥PO,∴∠MQA=∠P,∴∠MAQ=∠MQA,∴MQ=MA=4,∴Q在⊙M上,∴当Q与Q′重合时,CQ最小,∵OM=AO﹣AM=3﹣3=1,OC=3,∴MC===2,∴CQ′=CM﹣MQ′=2﹣4,∴CQ的最小值是2﹣4.故选:B.【点评】本题考查坐标与图形的性质,勾股定理,关键是作出辅助圆,当Q与Q′重合时,CQ最小.二.填空题(每题4分,共计20分)13.【分析】先根据题意求出∠AOC=50°,再利用AD∥OC,得到∠DAO=∠AOC=50°,再结合三角形的内角和定理即可求出∠AOD=80°.【解答】解:∵AB是⊙O的直径,∠BOC=130°,∴∠AOC=50°,∵AD∥OC,∴∠DAO=∠AOC=50°,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO=50°,∴∠AOD=180°﹣∠ADO﹣∠DAO=180°﹣50°﹣50°=80°故答案为:80°.【点评】本题主要考查平行线的性质,三角形的内角和定理,等腰三角的性质,熟练掌握相关知识点是解题的关键.14.【分析】由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,即可求得∠ACB=90°,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,求得∠A的度数,继而求得∠ABC=30°,则可求得BC的长.【解答】解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=∠D=60°,∴∠ABC=90°﹣∠A=30°,∵AC=2,∴BC=AC•tan60°=2.故答案为:2.【点评】此题考查了圆周角定理,解直角三角形等知识,解题的关键是掌握三角函数的定义,属于中考常考题型.15.【分析】连接OA,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据垂径定理求出AE、FA值,根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC,然后分两种情况求出∠BAC即可.【解答】解:有两种情况:①如图所示:连接OA,过O作OE⊥AB于E,∴∠OEA=∠OFA=90°,由垂径定理得:AE=BE=,AF=CF=,cos∠OAE==,cos∠OAF==,∴∠OAE=30°,∠OAF=45°,∴∠BAC=30°+45°=75°;②如图所示:连接OA,过O作OE⊥AB于E,∴∠OEA=∠OFA=90°,由垂径定理得:AE=BE=,AF=CF=,cos∠OAE==,cos∠OAF==,∴∠OAE=30°,∠OAF=45°,∴∠BAC=45°﹣30°=15°,故答案为:75°或15°.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用.此题难度适中,解题的关键是根据题意作出图形,求出符合条件的所有情况.此题比较好,但是一道比较容易出错的题目.16.【分析】由主视图、俯视图得到三棱柱的左视图为以底面高为一边,以棱柱高为另一边的矩形,从而可得结果.【解答】解:由题意得,左视图为以底面高为一边,其中底面高为一边长为,以棱柱高为另一边长为6,所以左视图的面积为,故答案为:.【点评】本题考查了空间几何体的三视图,掌握三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”是关键.17.【分析】根据题中信息,进行计算比对即可得出结论.【解答】解:设定价为x元时,利润为y元,当x=100时,y=(100﹣70)×80=2400.同理可求得:x=110,120,140,y=4000,6000,4800比较可知当x=130元时利润最大.【点评】本题考查的是二次函数的实际应用,难度一般.三.解答题18.【分析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可.【解答】解:(1)原式=2×﹣+×=﹣+=;(2)原式=﹣7+2×﹣++()6=﹣1++5=2+.【点评】本题考查特殊角的三角函数值的应用,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.19.【分析】如图,连接OF.由垂径定理得到DE=EF,,推出,得到DF=AC=4,因此EF=DF=2,设OA=OF=x,由勾股定理,垂径定理得到,求出x,即可得到圆的直径的长.【解答】解:如图,连接OF,∵DE⊥AB,∴DE=EF,,∵点D是弧AC的中点,,∴,∴DF=AC=4,∴EF=DF=2,设OA=OF=x,∵OF2=OE2+EF7,∴.∴x=4,∴⊙O的直径AB=2x=7.【点评】本题考查垂径定理,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系,关键是由圆心角、弧、弦的关系得到DF=AC,由勾股定理,垂径定理列出关于圆半径的方程.20.【分析】(1)根据圆周角定理以及等腰三角形的性质即可得出BD=CD即可;(2)根据等腰三角形的性质,圆周角定理以及直角三角形两锐角互余即可得出答案.【解答】(1)证明:如图,连接AD,∵AB是⊙O的直径,点D在圆上,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD,即点D是BC的中点;(2)解:β﹣α=45°;如图,连接OE,∵的度数为α,∴∠AOE=α,∵OA=OE,∴∠OAE=,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠CAD=∠OAE=45°﹣α,∵∠CAD+∠C=90°,∴45°﹣α+β=90°即β﹣α=45°.【点评】本题考查圆周角定理,等腰三角形的性质以及直角三角形的性质,掌握圆周角定理,等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余是正确解答的前提.21.【分析】(1)将(2,4)代入解析式求解.(2)由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数.【解答】解:(1)将(2,4)代入y=x7+mx+m2﹣3得3=4+2m+m8﹣3,解得m1=8,m2=﹣3,又∵m>3,∴m=1.(2)∵m=1,∴y=x2+x﹣2,∵Δ=b2﹣4ac=12+4=9>0,∴二次函数图象与x轴有4个交点.【点评】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数与方程的关系.22.【分析】(1)把A(m,4)代入反比例函数解析式求得m的值,然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式;(2)过点A作AH⊥y轴于点H,过点P作PD⊥x轴于点D,由S△OBP=2S△OAC得到,即,解得PD=2,即可求得点P的纵坐标为2或﹣2,进一步求得点P的坐标.【解答】解:(1)∵点A(m,4)在反比例函数,∴,∴m=1,∴A(8,4),又∵点A(1,3),3)都在一次函数y=kx+b的图象上,∴,解得,∴一次函数的解析式为y=x+5;(2)对于y=x+3,当y=0时,∴OB=2,∵C(0,3),∴OC=3,过点A作AH⊥y轴于点H,过点P作PD⊥x轴于点D,∵S△OBP=2S△OAC,∴,即,解得PD=3,∴点P的纵坐标为2或﹣2,将y=3或﹣2代入得x=4或﹣2,∴点P(2,8)或(﹣2.【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,考查了反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求一次函数的解析式,三角形的面积,数形结合是解题的关键.23.【分析】(1)由圆周角定理得到∠BAC=∠CDB,而∠BAC=∠ADB,因此∠ADB=∠CDB,得到BD平分∠ADC,由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB=90°,即可求出∠BAD=90°;(2)由垂径定理推出△ACD是等边三角形,得到∠ADC=60°由BD⊥AC,得到∠BDC=∠ADC=30°,由平行线的性质求出∠F=90°,由圆内接四边形的性质求出∠FBC=∠ADC=60°,得到BC=2BF=4,由直角三角形的性质得到BC=BD,因为BD是圆的直径,即可得到圆半径的长是4.【解答】(1)证明:∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,∴∠ADB=∠CDB,∴BD平分∠ADC,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°,∴2(∠ABD+∠ADB)=180°,∴∠ABD+∠ADB=90°,∴∠BAD=180°﹣90°=90°;(2)解:∵∠BAE+∠DAE=90°,∠BAE=∠ADE,∴∠ADE+∠DAE=90°,∴∠AED=90°,∵∠BAD=90°,∴BD是圆的直径,∴BD垂直平分AC,∴AD=CD,∵AC=AD,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC=60°∵BD⊥AC,∴∠BDC=∠ADC=30°,∵CF∥AD,∴∠F+∠BAD=180°,∴∠F=90°,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC+∠ABC=180°,∵∠FBC+∠ABC=180°,∴∠FBC=∠ADC=60°,∴BC=2BF=4,∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,∴BC=BD,∵BD是圆的直径,∴圆的半径长是4.【点评】本题考查圆内接四边形的性质,圆周角定理,平行线的性质,等边三角形的判定和性质,关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB=90°,
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