2023-2024学年山东省淄博市周村二中九年级（上）段考数学试卷（12月份）（五四学制）

2023-2024学年山东省淄博市周村二中九年级（上）段考数学试卷（12月份）（五四学制）一．选择题（每题4分，共计48分）1．（4分）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（）A． B． C． D．2．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠CBE＝70°（）A．110° B．70° C．140° D．160°3．（4分）如图，A1B1是线段AB在投影面P上的正投影，AB＝20cm，∠ABB1＝70°，则投影A1B1的长为（）A．20sin70°cm B．20cos70°cm C．20tan70°cm D．4．（4分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB垂直CD于点E，BC，AD，则下列结论不一定的是（）A．AE＝BE B．CE＝OE C．AC＝BC D．AD＝BD5．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，则∠ABD的大小为（）A．68° B．58° C．48° D．21°6．（4分）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°（）A．160° B．164° C．162° D．170°7．（4分）如图，AB，CD是⊙O的弦，CD相交于点E，已知∠E＝30°，则所对的圆心角的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．70°8．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，则镜面半径是（）A．24厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．30厘米9．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，四边形CDEF是正方形，连接BD，OF＝1，则BD＝（）A． B． C．13 D．10．（4分）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5（）A．6或 B．6或7 C．6或 D．7或911．（4分）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，点D是半圆上的动点（不与点A，B，C重合），点D从点A出发向点B运动．过点D作DE⊥AB、DF⊥OC，分别取DE和DF的中点M，N，连接MN．若AB＝10（）A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．等于5 D．等于2.512．（4分）如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，Q为弦AP上一点，且AQ＝2PQ．若点A的坐标为（﹣6，0），则CQ的最小值为（）A．3﹣3 B．2﹣4 C．6﹣4 D．6﹣2二．填空题（每题4分，共计20分）13．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD∥OC，则∠AOD＝．14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，则BC长等于．15．（4分）在半径为1的⊙O中，弦AB＝，AC＝．16．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是．17．（4分）某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：定价（元）100110120130140150销量（个）801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．三．解答题18．（12分）计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．19．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D是，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若AC＝4，求⊙O的直径．20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：点D是边BC的中点．（2）记的度数为α，∠C的度数为β．探究α与β的数量关系．21．（10分）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．22．（12分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与y轴交于点C（0，3）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．23．（14分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝224．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点PA的最小值．

2023-2024学年山东省淄博市周村二中九年级（上）段考数学试卷（12月份）（五四学制）参考答案与试题解析一．选择题（每题4分，共计48分）1．【分析】根据简单几何体的三视图逐个判断即可．【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，故此选项不符合题意；B．圆锥的主视图和左视图是三角形，故此选项不符合题意；C．长方体的三视图都是矩形、宽不同；D．球的三视图都是圆形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．2．【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明∠ADC＝∠CBE即可得到答案．【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝70°．故选：B．【点评】本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可3．【分析】如图，过点A作AH⊥BB1于点H，则四边形AHB1A1是矩形，解直角三角形求出AH，可得结论．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BB1于点H，则四边形AHB1A4是矩形，∴AH＝A1B1，在Rt△ABH中，AH＝AB•sin70°＝20•sin70°（cm），∴A5B1＝AH＝20sin70°（cm）．故选：A．【点评】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4．【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB垂直CD于点E，∴AE＝BE，弧AC＝弧BC，∴AC＝BC，AD＝BD，而CE＝OE不一定成立，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．5．【分析】连接AD，利用圆周角定理求解．【解答】解：连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BCD＝∠BAD＝42°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣42°＝48°．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理解决问题．6．【分析】求出∠BCD的度数，根据圆内接四边形的对角互补得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝82°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，再求出答案即可．【解答】解：∵∠DCE＝82°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝98°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝82°，∴∠BOD＝2∠A＝164°，故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的性质和圆周角定理是解此题的关键．7．【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵OA＝OC，∠AOC＝100°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠E＝30°，∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，故选：B．【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提．8．【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，则点C，点O三点共线，由题意可得：OC⊥AB，AC＝，设镜面半径为x厘米，由题意可得：x2＝102+（x﹣2）7，∴x＝26，∴镜面半径为26厘米，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．9．【分析】连接OD，利用勾股定理求出OD，再利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：连接DO.∵CO＝3，OF＝1，∴CF＝5，∵四边形CDEF是正方形，∴∠DCO＝90°，CD＝CF＝4，∴OD＝＝＝5，∴OB＝OD＝2，∴CB＝CO+OB＝8，∴BD＝＝＝4．故选：B．【点评】本题考查圆的认识，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得．【解答】解：如图，①若CD＝8，则CF＝CD＝4，∵OC＝OA＝2，∴OF＝3，∵EF＝1，∴OE＝2，则AE＝＝，∴AB＝2AE＝5；②若AB＝8，则AE＝AB＝4，∵OA＝OC＝5，∴OE＝3，∵EF＝1，∴OF＝3，则CF＝3，∴CD＝2CF＝4；综上，另一弦长为6或2，故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．11．【分析】如图，连接EF，OD．证明四边形DEOF是矩形，推出EF＝OD＝5，再利用三角形的中位线定理解决问题即可．【解答】解：如图，连接EF．∵OC⊥AB，DE⊥OADF⊥OC，∴∠FOE＝∠DEO＝∠DFO＝90°，∴四边形OEDF是矩形，∴EF＝OD＝AB＝7，∵DM＝EN，DN＝FN，∴MN＝EF＝，故选：D．【点评】本题考查圆的认识，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【分析】连接PO，过Q作QM∥OP，交AO于M，以M为圆心，MA为半径作圆，连接MC交⊙M于Q′，得到AM：AO＝AQ：AP，求出AM的长，推出MQ＝AM＝4，由勾股定理求出CQ′的长即可．【解答】解：连接PO，过Q作QM∥OP，以M为圆心，连接MC交⊙M于Q′，∴AM：AO＝AQ：AP，∵AQ＝2PQ，∴AQ：AP＝2：7，∵D的坐标是（0，﹣6），∴OA＝OD＝7，∴AM＝AO＝，∵OA＝OP，∴∠MAQ＝∠P，∵QM∥PO，∴∠MQA＝∠P，∴∠MAQ＝∠MQA，∴MQ＝MA＝4，∴Q在⊙M上，∴当Q与Q′重合时，CQ最小，∵OM＝AO﹣AM＝3﹣3＝1，OC＝3，∴MC＝＝＝2，∴CQ′＝CM﹣MQ′＝2﹣4，∴CQ的最小值是2﹣4．故选：B．【点评】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，关键是作出辅助圆，当Q与Q′重合时，CQ最小．二．填空题（每题4分，共计20分）13．【分析】先根据题意求出∠AOC＝50°，再利用AD∥OC，得到∠DAO＝∠AOC＝50°，再结合三角形的内角和定理即可求出∠AOD＝80°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠BOC＝130°，∴∠AOC＝50°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠AOC＝50°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADO﹣∠DAO＝180°﹣50°﹣50°＝80°故答案为：80°．【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．14．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠A的度数，继而求得∠ABC＝30°，则可求得BC的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∵AC＝2，∴BC＝AC•tan60°＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义，属于中考常考题型．15．【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．【解答】解：有两种情况：①如图所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE＝，AF＝CF＝，cos∠OAE＝＝，cos∠OAF＝＝，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°；②如图所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE＝，AF＝CF＝，cos∠OAE＝＝，cos∠OAF＝＝，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°，故答案为：75°或15°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．此题比较好，但是一道比较容易出错的题目．16．【分析】由主视图、俯视图得到三棱柱的左视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果．【解答】解：由题意得，左视图为以底面高为一边，其中底面高为一边长为，以棱柱高为另一边长为6，所以左视图的面积为，故答案为：．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，掌握三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”是关键．17．【分析】根据题中信息，进行计算比对即可得出结论．【解答】解：设定价为x元时，利润为y元，当x＝100时，y＝（100﹣70）×80＝2400．同理可求得：x＝110，120，140，y＝4000，6000，4800比较可知当x＝130元时利润最大．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，难度一般．三．解答题18．【分析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×＝﹣+＝；（2）原式＝﹣7+2×﹣++（）6＝﹣1++5＝2+．【点评】本题考查特殊角的三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．19．【分析】如图，连接OF．由垂径定理得到DE＝EF，，推出，得到DF＝AC＝4，因此EF＝DF＝2，设OA＝OF＝x，由勾股定理，垂径定理得到，求出x，即可得到圆的直径的长．【解答】解：如图，连接OF，∵DE⊥AB，∴DE＝EF，，∵点D是弧AC的中点，，∴，∴DF＝AC＝4，∴EF＝DF＝2，设OA＝OF＝x，∵OF2＝OE2+EF7，∴．∴x＝4，∴⊙O的直径AB＝2x＝7．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆心角、弧、弦的关系得到DF＝AC，由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．20．【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质即可得出BD＝CD即可；（2）根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及直角三角形两锐角互余即可得出答案．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，点D在圆上，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，即点D是BC的中点；（2）解：β﹣α＝45°；如图，连接OE，∵的度数为α，∴∠AOE＝α，∵OA＝OE，∴∠OAE＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠OAE＝45°﹣α，∵∠CAD+∠C＝90°，∴45°﹣α+β＝90°即β﹣α＝45°．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余是正确解答的前提．21．【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x7+mx+m2﹣3得3＝4+2m+m8﹣3，解得m1＝8，m2＝﹣3，又∵m＞3，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+4＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有4个交点．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．22．【分析】（1）把A（m，4）代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，由S△OBP＝2S△OAC得到，即，解得PD＝2，即可求得点P的纵坐标为2或﹣2，进一步求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数，∴，∴m＝1，∴A（8，4），又∵点A（1，3），3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+5；（2）对于y＝x+3，当y＝0时，∴OB＝2，∵C（0，3），∴OC＝3，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，∵S△OBP＝2S△OAC，∴，即，解得PD＝3，∴点P的纵坐标为2或﹣2，将y＝3或﹣2代入得x＝4或﹣2，∴点P（2，8）或（﹣2．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．23．【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝180°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，