数学（北师大版选修2-3）课件1.2第1课时排列的概念与排列数公式

第一章计数原理§2排列第1课时排列的概念与排列数公式学习目标重点难点1.理解并掌握排列的概念，排列数公式．2．能利用排列数公式计算排列数．3．理解并掌握树形图的应用，会用树形图解决简单的排列问题．4．了解排列数公式的推导，培养化归的数学思想方法.1.重点是排列的概念和应用排列数公式．2．难点是利用排列数公式化简、求值、证明.一、阅读教材：P7～P8的有关内容，完成下列问题．1．排列的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照__________排成一列，叫作

____________________________________的一个排列．一定顺序

从n个不同的元素中任意取出m个元素

元素相同的两个排列是否相同？两个排列相同的充要条件是什么？提示：元素相同的两个排列不一定相同．两个排列相同的充要条件是元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．二、阅读教材：P8～P10的有关内容，完成下列问题．2．排列数所有排列的个数

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

n！

1

解析：由排列数公式，得2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，解得n＝8．答案：8排列的概念

下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？解：(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由：因为加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关，但做除法时，两个元素谁作除数，谁作被除数是不一样的，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．选出3个座位而不入座，与顺序无关，故不是排列问题；“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3个客人入座是排列问题．【点评】判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．1．下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？(4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？解：(1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题．(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．写出简单数列问题的所有排列

写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？解：(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种．【点评】在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．2．从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；(2)若组成的三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．解：(1)组成三位数分三个步骤．第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理，共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树形图：由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321，共18个．(2)直接画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312．

(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55)；排列数的计算或证明1．判断一个问