信号及其表述

11.0序（Introduction）1.1信号的分类（SignalClassification）1.2信号的描述（SignalDescription）1.3几种典型信号的频谱（SeveralTypicalSignal’sSpectrum）1.4随机信号的描述（DescriptionoftheRandomSignal）信息是事物存在方式和运动状态的特征。测试工作是按一定的目的和要求，获取感兴趣的、有限的某些特定信息。信号是信息的载体。工程测试就是信号的获取、加工、处理、显示记录及分析的过程。本章主要介绍信号及其描述的内容。1.0序（Introduction）信号（signal）：随时间或空间变化的物理量。信号是信息的载体，信息是信号的内容。依靠信号实现电、光、声、力、温度、压力、流量等的传输电信号易于变换、处理和传输，非电信号

电信号。信号分析与处理（signalanalysisandprocessing）不考虑信号的具体物理性质，将其抽象为变量之间的函数关系，从数学上加以分析研究，从中得出具有普遍意义的结论。2信号无处不在通信古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。近代通信方式：电报、电话、无线通讯。现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、卫星传输、移动通信。序（2/6）3000110100111110001100101010101110110010100011000摩尔码4序（3/6）故障诊断5序（4/6）心电图波形医学6序（5/6）生物医学信号处理应用举例滤波以前干扰严重滤波以后干扰去除7序（6/6）1.1信号的分类（SignalClassification）根据信号随时间的变化规律分为：确定性信号和非确定性信号8信号1确定性信号和非确定性信号(1)能用明确的数学关系式或图象表达的信号称为确定性信号。确定性信号分为周期信号和非周期信号。单自由度的无阻尼质量-弹簧振动系统位移信号

9信号的分类（2/13）周期信号（1）特点：信号按一定时间间隔周而复始重复出现。数学表达式为：x(t)=x(t+nTo)T0=2π/ω0=1/f0；ω0为角频率,f0为频率正弦波信号波形10信号的分类（3/13）周期信号（2）谐波信号——频率单一的正、余弦信号一般周期信号——由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。如周期方波、周期三角波等。11信号的分类（4/13）正弦信号的特征参数（1）按谐波成分多少,周期信号分为简谐周期信号和复杂周期信号。正弦信号的数学表达式为：12周期信号常用均值、绝对均值、均方值、均方根值、平均功率和相关函数来表示。其数学表达式分别为：均值绝对均值信号的分类（5/13）正弦信号的特征参数（2）均方值13均方根值平均功率相关函数信号的分类（6/13）非周期信号—准周期信号非周期信号分为准周期信号和非周期信号。多个频率成分叠加的信号，但频率之比不是有理数，叠加后不存在公共周期。柴油机振动信号14信号的分类（7/13）一般非周期信号（瞬变非周期信号）一般非周期信号特点：在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号。如；电容放电、试件断裂、衰减振荡信号等。15信号的分类（8/13）

思考？某钢厂减速机上测得的振动信号波形(测点3)如图所示，其基本波形属于何种信号？近似的看作为周期信号16信号的分类（9/13）(2)非确定性信号（随机信号）无法用明确的数学关系式表达。其幅值、相位变化是不可预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。如分子热运动，环境的噪声等，分为平稳随机信号和非平稳随机信号。加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形17信号的分类（10/13）2连续信号和离散信号根据信号的连续性分为连续时间信号和离散信号。若信号的独立变量取值连续，则是连续信号若信号的独立变量取值离散，则是离散信号18信号的分类（11/13）连续信号和离散信号示意图19信号的分类（12/13）t0连续信号t0离散信号3能量信号和功率信号能量信号：在所分析的区间（-∞，∞），能量有限值的信号，满足条件：

功率信号：若x(t)在区间（-∞，∞）的能量无限，但在有限区间(-T/2,T/2)满足平均功率有限的条件的信号。如周期信号、常值信号等。20信号的分类（13/13）1.2信号的描述（SignalDescription）

信号的时域表述—以时间作为独立变量，反映信号幅值随时间变化。信号的频域表述—揭示信号的频率结构特征。频率作为独立变量，反映信号各频率成分的幅值和相位特征。频域频谱分析时域时域图幅频谱图频谱图相频谱图211周期信号的描述周期信号可以利用傅里叶级数展开成不同频率的谐波信号的线性叠加。傅里叶级数展开三角函数展开式复指数展开式22信号的描述（2/53）（1）

三角函数展开式满足狄里赫勒条件（区间分段单调、有有限个不连续点、满足绝对可积）的周期信号可展开成:三角函数变换23信号的描述（3/53）

a0，an，bn为傅里叶系数；T0

为信号的周期，也是信号基波成分的周期；ω0=2π/T0为信号的基频,nω0为n次谐频；当x(t)为奇、偶函数时，可利用函数的正交特性求系数an，bn的值，可简化计算。常值分量余弦分量幅值正弦分量幅值参数含义如下：24信号的描述（4/53）

可将、代入：

各谐波分量的幅值

各谐波分量的初相角参数含义如下：由三角函数知（如图）：常值分量25信号的描述（5/53）

例题例1.1求周期方波的频谱，并作出频谱图。1信号表述2傅里叶级数展开5幅频谱图相频谱图3用三角函数展开方法4求傅里叶系数结果26信号的描述（6/53）例题求解过程27

x(t)

在一个周期内可表示为：因x(t)是奇函数，在对称区间积分值为0，所以信号的描述（7/53）……ω03ω05ω07ω04A/π4A/3π4A/5π4A/7πωAnω

nω03ω05ω07ω0周期方波的幅频与相频特性图28信号的描述（8/53）周期方波的时、频域表述29信号的描述（9/53）课堂习题求题图1-1周期三角波的频谱，并作频谱图。0t

30信号的描述（10/53）答案若取n次谐波分量的幅值n次谐波分量的相位31信号的描述（11/53）利用欧拉公式求傅立叶系数1得代入得32信号的描述（12/53）令利用欧拉公式求傅立叶系数233信号的描述（13/53）

如何求？利用欧拉公式求傅立叶系数334信号的描述（14/53）

Cn与an、bn、An的关系一般情况下，为复数。可写成：幅频谱图：|cn|——

实频谱图：Recn

——

虚频谱图：Imcn

——

相频谱图：

n

—

几个谱图35信号的描述（15/53）三角函数展开与复指数展开的比较：

复指数函数形式的频谱为双边谱（

从-

到+

），三角函数形式的频谱为单边谱（

从0到+

）

两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：

双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数

一般周期函数的复指数傅氏展开式的实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。36信号的描述（16/53）用复指数展开式求频谱总结(1)复指数展开式：如何求？幅频谱图：|cn|—

相频谱图：

n

—

实频谱图：Recn

—

虚频谱图：Imcn

—

37信号的描述（17/53）Recn=an/2Imcn=-bn/2用复指数展开式求频谱总结(2)1、通过三角函数展开式求得。38信号的描述（18/53）2、直接求得。求出后，将其写成如下形式：进而确定：Recn=an/2Imcn=-bn/2用复指数展开式求频谱总结(3)39信号的描述（19/53）例：用复指数展开形式求周期方波频谱，并作频谱图。幅频谱图：|cn|—

实频谱图：Recn

—

虚频谱图：

Imcn

—

相频谱图：

n

—

用复指数展开式求频谱例题（1）40信号的描述（20/53）解：用复指数展开式求频谱例题（2）41信号的描述（21/53）频谱图如何画？

n=±1、±3,……用复指数展开式求频谱例题（3）42信号的描述（22/53）例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。求正、余弦频谱（1）参数001001111/200-1/21/21/2方法一43信号的描述（23/53）例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。解：c-1=1/2，c1=1/2，cn=0（n=0,

2,

3,…）c-1=j/2，c1=-j/2，cn=0（n=0,

2,

3,…）求正、余弦频谱（2）方法二44信号的描述（24/53）1x(t)=cos

0t0t1x(t)=sin

0tt0cnR0

0-

01/21/2cnR0

0-

0

0

0-

01/2-1/2cnIcnI0

0-

0

|cn|0

0-

01/21/2|cn|0

0-

01/21/2An0

0

1An0

0

1单边幅频谱单边幅频谱双边幅频谱双边幅频谱45信号的描述（25/53）1.周期信号的频谱是离散谱；2.每个谱线只出现在基波频率的整数倍上；3.工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。周期信号频谱的特点4A

4A

3

4A

5

0

A(

)

03

05

0幅值谱46信号的描述（26/53）2非周期信号的描述47信号的描述（27/53）非周期信号举例电容放电时电压变化；激振力消除后的阻尼自由振动；静态拉伸试件突断时的件中应力等都是瞬变信号。以下讨论的非周期信号就指的是瞬变信号。瞬变信号的谱线不是离散的,在数学上不用傅里叶级数,而用傅里叶积分(变换)来描述。瞬变信号的频谱是连续频谱。48信号的描述（28/53）周期信号的频谱是离散的,谱线的频率间隔为,

当T→∝时,则谱线间隔,周期信号→非周期信号。因而周期信号的离散频谱就变成了非周期信号的连续频谱。傅里叶变换（积分）（1）当T→∝时,谱线间隔,离散变量,中的求和运算就变成了积分运算,于是，

49信号的描述（29/53）傅里叶变换（积分）（2）式中，这就是傅里叶积分。上式中括号内的积分,由于时间t是积分变量,所以积分后仅是的函数并记作,即50信号的描述（30/53）傅里叶正逆变换式1傅里叶变换(FT)傅里叶逆变换

(IFT)记为：x(t)X(

)FTIFT51信号的描述（31/53）以代入X(

)：有用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为傅里叶正逆变换式

252信号的描述（32/53）周期信号的幅值谱与非周期信号的幅值谱的区别尽管非周期信号的幅频谱和周期信号的幅频谱很相似，但是两者量纲不同。为信号幅值的量纲，而为信号单位频宽上的幅值。所以是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。

是离散的，是连续的。53信号的描述（33/53）例题：求矩形窗函数的频谱

1-T/2T/2tw(t)0定义抽样信号：解：54信号的描述（34/53）sinc

函数特点：sinc

是偶函数；sinc

以2

为周期并随

的增加作衰减震荡。sinc

在n

（n=

1,

2,……）处其值为0。矩形窗函数W(f)特点：W(f)为抽样函数，是连续的，无限的；随着频率增高幅值减小,说明信号能量集中在低频段；W(f)函数只有实部，没有虚部。W(f)中T称为窗宽。当T(脉冲持续时间)变小时,频谱过零点的频率提高,即衰减变慢,也就是频带加宽。抽样函数与矩形窗函数特点：55信号的描述（35/53）矩形窗函数谱图W(f)T01T1Tf3T3T

(f)

01T2T3T1T2T3T2T2T56信号的描述（36/53）

频谱连续，幅值衰减。|X(

)|与|cn|量纲不同。|cn|具有与原信号幅值相同的量纲，|X(

)|是单位频宽上的幅值。非周期信号频域描述的基础是傅氏变换。非周期信号频谱的特点57信号的描述（37/53）傅里叶变换的主要性质表58性质时域频域性质时域频域函数的奇偶虚实性实偶函数实偶函数频移实奇函数虚奇函数翻转虚偶函数虚偶函数共轭虚奇函数实奇函数时域卷积线性叠加频域卷积对称时域微分尺度改变频域微分时移积分信号的描述（38/53）1)线性叠加性59若

则当a，b为常数时，有：两函数线性叠加的傅里叶变换可以写成两函数的傅里叶变换的叠加。对复杂信号的频谱分析处理可分解为对一系列简单信号的频谱分析处理。信号的描述（39/53）2）对称性质由已知的傅里叶变换对，可求得逆向相应的变换对。若的傅里叶变换为,即：则

证明：互换t和f得：故有：

X(t)

x(-f)60信号的描述（40/53）

式表明傅里叶正变换与逆变换之间存在着对称关系,即信号的波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系。利用这个性质,可以根据已知的傅里叶变换得出相应的变换对,免去了烦杂的数学推导过程。下图是对称性应用举例。对称性质说明61信号的描述（41/53）对称性图示62信号的描述（42/53）3）奇偶虚实性（A）一般是实变量的复变函数。利用欧拉公式63将式写为：信号的描述（43/53）3）奇偶虚实性（B）时域实部虚部频域实偶0实偶实奇0虚奇虚偶0虚偶虚奇0实奇64信号的描述（44/53）4）时间尺度改变性质(推导)在信号x(t)幅值不变的条件下，若即：时域时间变量增大k倍，则频域的频率和幅值均缩小k倍。证明：当信号x(t)

的时间尺度变为kt

时，有65信号的描述（45/53）4）时间尺度改变性质00000066信号的描述（46/53）时间尺度改变性质应用时间尺度改变性质说明：时域时间变量增大k倍，则频域的频率和幅值均缩小k倍图(c)表明当时间尺度压缩(k

>1)时,频谱的频带变宽,幅值变低；图(a)为时间尺度扩展(

k

<1)时,其频谱的频带变窄,幅值增高。

应用磁带机作扩展时间轴和压缩时间轴的谱分析时,此特性很有实用价值。若磁带慢录快放,时间尺度压缩,时域波形变窄,分析结果频带加宽,幅值降低,信号处理效率高,频率分辨率高；若磁带快录慢放,则时间尺度扩展,时域波形变宽,结果频带变窄,幅值增高,信号处理效率低,频率分辨率低。67信号的描述（47/53）5）时移性质此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值t0时，频谱函数将乘因子，即只改变相频谱，不会改变幅频谱。把时域信号延时t0时，则其频域相移若把时域信号沿时间轴平移一常值，则其频域引起相应的相移即证明：68信号的描述（48/53）(c)时移的时域矩形窗(d)图(c)对应的幅频和相频特性曲线

时移性质举例（a）时域矩形窗图（a）对应的幅频和相频特性曲线00000069信号的描述（49/53）6）频移性质若为常数，则：若频谱沿频率轴平移一个常值,对应的时域函数将乘因子即70信号的描述（50/53）7）微分和积分特性

微分性质若积分性质在振动测试中，如果测得位移、速度或加速度中任一参数,便可用傅里叶变换的微积分特性求其它参数的频谱。如何应用？71信号的描述（51/53）8）卷积特性如何应用？时移特性72信号的描述（52/53）例题已知信号的频谱为，利用傅立叶变换的性质求以下函数的频谱：1）；2）；3）；4）；73解：信号的描述（53/53）1.3几种典型信号的频谱

（severaltypicalsignal’sspectrum）1单位脉冲函数(δ函数)的频谱（1）δ函数定义且其面积（强度）：

/2

01/

t

(t)0t

(t)74（2）δ函数的性质

1)函数的采样性质

2)筛选性筛选结果为x(t)在发生δ函数位置的函数值(又称为采样值)3)卷积性

几种典型信号的频谱（2/17）75

函数与其他函数的卷积示例

(t)0t1x(t)0tA0tAx(t)(t)(t

t0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t)(t

t

0)-t0t0-t0t076几种典型信号的频谱（3/17）（3）δ函数的频谱

对δ(t)取傅里叶变换δ函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱”。δ函数是偶函数，即，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对0t(t)10f(f)177几种典型信号的频谱（4/17）（各频率成分分别移相2

ft0）

(t

t0)

(f)

（单位脉冲谱线）1（幅值为1的直流量）1（均匀频谱密度函数）

(t)

（单位瞬时脉冲）频域时域单位脉冲函数的时、频域关系78几种典型信号的频谱（5/17）2矩形窗函数和常值函数的频谱（1）矩形窗(rectanglewindow)函数的频谱79几种典型信号的频谱（6/17）W(f)T01T1Tf3T3T(f)

01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)080几种典型信号的频谱（7/17）（2）常值函数(又称直流量)的频谱

幅值为1的常值函数的频谱为f=0处的δ函数。当矩形窗函数的窗宽T趋于无穷时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域为δ函数。81几种典型信号的频谱（8/17）（3）指数(exponent)函数的频谱双边指数衰减函数其傅里叶变换为≥82几种典型信号的频谱（9/17）单边指数衰减函数及其频谱83几种典型信号的频谱（10/17）（4）符号(sign)函数和单位阶跃(unitstep)函数的频谱符号函数的频谱符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a→0时的极限形式，即：≥84几种典型信号的频谱（11/17）单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数a→0时的极限形式。≥85几种典型信号的频谱（12/17）单位阶跃函数及其频谱01tx(t)0X(t)1－186几种典型信号的频谱（13/17）（5）正余弦(sine/cosine)函数的频谱密度函数

正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：87几种典型信号的频谱（14/17）1/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2

f0t0tcos2

f0t88几种典型信号的频谱（15/17）（6）梳状(comb)函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱Ts为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数（fs=1/Ts）因为在（-Ts

/2，Ts/2）区间内只有一个

函数

(t)，故89几种典型信号的频谱（16/17）从而所以即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为1/Ts。...comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts......COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts1Ts2Ts90几种典型信号的频谱（17/17）1随机过程的概念及分类随机信号是非确定性信号,其特点为：（1）时间函数不能用精确的数学关系式来描述；（2）不能预测它未来任何时刻的准确值；（3）每次观测结果都不同，但重复试验可以看到它具有统计规律性，因而可用概率统计方法来描述和研究。特点随机过程的相关概念随机现象：产生随机信号的物理现象；911.4

随机信号的描述

（

DescriptionoftheRandomSignal）

随机过程的的相关概念（1）样本函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作xi(t)。样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数随机过程：分为平稳和非平稳过程两类。在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）称为随机过程。记作{x(t)}，即：{

x(t)}={x1(t)，x2(t)，……，xi(t)，……}92随机信号的描述（2/10）随机过程在任何时刻的各统计特性采用总体平均方法来描述。总体平均:就是全部样本函数在某时刻之值相加后再除以样本