信号的时域分析

信号与系统

第一章信号的时域分析第二章连续时间系统的时域分析第三章信号的频域分析（傅里叶变换）第四章信号的s域分析（拉普拉斯变换）第五章连续时间系统的频域分析第八章离散时间系统的Z域分析（Z变换）第1章信号的时域分析

1.1信号

1.2信号的分类

1.3信号的基本运算与波形变换

1.4双边时间信号

1.5单边时间信号及有限时长信号

1.6离散时间序列

1.7信号的时域分解1.1信号1.1.1信号及其描述信息——反映人们得到“消息（即原来不知道的知识）”，信息是人类认识客观世界和改造客观世界的知识源泉。

获取信息，传输信息和交换信息——人类基本的社会活动。

信息一般要借助于一定形式的信号（光信号、声信号、电信号等），才能远距离快速传输和进行各种处理。信号是消息的载体，是消息的一种表现形式。什么是“信号（signal）”？广义地说，信号是带有信息的随时间变化的物理量或物理现象。例如，机械振动产生力信号、位移信号及噪声信号；雷电过程产生的声、光信号；大脑、心脏运动分别产生脑电信号和心电信号；电气系统随参数变化产生电磁信号等。在通信技术中，信号是消息的表现形式，它是传送各种消息的工具，是通信传输的客观对象。本课程将只讨论应用广泛的电信号，它通常是随时间变化的电压或电流。

信号的特性可以从时间特性和频率特性两方面来描述，信号的时间特性和频率特性有着对应的关系。

以下是人声(110Hz左右)的波形和频谱，频谱上几乎每个峰都是110Hz的倍数。每个峰的高度(确切地说是峰面积)代表这一频率的强度人声的频谱(上限为5500Hz)人声的波形(持续时间为０．６秒)1.2信号的分类1.确定信号与随机信号若信号可以用确定性图形、曲线或数学解析式来准确描述，则该信号为确定性信号(deterministicsignal)；

如周期信号，正弦信号等；若信号不遵循确定性规律，则该信号为随机信号(random

signal)。如马路上的噪声，其强度与频谱因时因地而异，且无法准确预测，因此它是随机信号；电网电压的波动量也是不可能确切预测的随机信号。图1.1.1（a）~（e）所示各信号均是确定性信号图1.1.1（f）所示信号是随机信号

确定信号（determinatesignal）可以分为周期信号、非周期信号与准周期信号。

周期信号（periodicsignal）——指按某一固定时间重复出现的信号，它可表示为：

满足此关系式的最小T值称为信号的周期。（1.1）非周期信号（aperiodicsignal）——在时间上不具有周而复始的特性，往往具有瞬变性，也可以看作为一个周期T趋于无穷大时的周期信号。准周期信号——周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期信号合成，但各周期信号的频率相互间不是公倍关系，其合成信号不满足周期条件。这种信号往往出现于通信。如（1.2）2.连续时间信号与离散时间信号连续信号（continuoussignal）——指在所讨论的时间间隔内，除若干个第一类间断点外，对于任意时刻值都可给出确定的函数值，此类信号称为连续信号或模拟信号。通常用表示，如图1.1.2所示。离散信号（discretesignal）——指在所讨论的时间区间，只在某些不连续规定的时刻给出函数值，而在其它时刻没有给出函数，通常用或[简写]表示，由于它是由一组按时间顺序的观测值所组成，所以也称为时间序列或简称序列，如图1.1.3所示

3.能量信号与功率信号信号按时间函数的可积性可分为能量信号、功率信号和非功率非能量信号。

信号可以看作是随时间变化的电压或电流，信号平方的无穷积分总值加到1欧姆电阻上的能量，简称为信号能量,即

（1.3）其平均功率定义为（1.4）若信号的能量有界，即,此时,则称此信号为能量有限信号，简称能量信号（energysignal）。若信号的功率有界，即,此时,则称此信号为功率有限信号，简称功率信号（powersignal

）。注意：一个信号不可能同时既是功率信号，又是能量信号；但可以是一个既非功率信号，又非能量信号。一般来说，周期信号都是功率信号；非周期信号则可能出现3种情况：能量信号、功率信号、非功率非能量信号。如持续时间有限的非周期信号为能量信号，如图1.5（a）所示脉冲信号；持续时间无限、幅度有限的非周期信号为功率信号，如图1.5（b）所示；持续时间、幅度均无限的非周期信号为非功率非能量信号，如图1.5（c）所示。

【例1.1】如图1.6所示信号，判断其是否为能量信号与功率信号。

解

图1.6（a）的信号所以该信号为能量信号

所以该信既非能量信号又非功率信号图1.6（b）的信号1.4系统及LTI系统的基本性质1.4.1系统的概念

系统——相互依赖、相互作用的单元组成的能够完成某些特定功能的整体.系统理论包括系统分析(systemanalysis)与系统综合(systemsynthesis)（设计）两方面的内容。系统分析是对已知的系统作各种特性的分析；系统综合则是根据需要去设计构成一满足性能要求的系统。综合是分析的逆问题，它的解答不一定是唯一的。在电子信息领域中，通常利用通信系统(communicationssystem)、控制系统(controlsystem)和计算机系统(computersystem)进行信号的传输和处理。通信系统是指为传送消息而装设的全套设备（包括传输信道），应由发送设备、传输信道和接收设备三部分组成。发送设备信道接收设备信号源受信者1.4.2系统模型系统模型——指系统的特定功能或特性的一种数学抽象和数学描述。具体地说，就是用某种数学表达式或用具有理想特性的符号组合成图形，描述系统的特定功能或特性。

（1）RLC串联回路

由元件的理想特性及KVL定律建立方程为几个例子（2）连续时间平滑系统要处理的信号，含有有用信号和随机干扰。该系统在t时刻的输出，等于该时刻前后区间的输入信号的平均值．（3）离散时间平滑系统为了仅保留某个数据的变化趋势，去掉随机起伏（波动）所采用的方法，就是在一个移动的区间上对这些数据取平均。

用框图表示系统系统在任意时刻的响应可以由初始状态和区间上的输入完全地确定。1.4.3系统的基本联接方式最基本的联接方式有三种：级联、并联和反馈联接。1.系统的串联（级联）举例：检测系统

（1.46）说明：系统的级联联接也可以是三个或更多个系统依次链接起来。离散时间系统的级联也完全类似。

2.系统的并联说明：可以两个以上的系统并联联接，此时可以看做两个系统并联后，再逐个和别的系统并联联接。连续时间系统的并联类似。

（1.47）举例：该系统使用了一个低通滤波器和两个不同中心频率的带通滤波器处理后相加。3.系统的反馈联接说明：通常把系统1的信号支路称为前馈支路，系统2的信号支路称为反馈支路。

（1.48）或举例：电子望远镜系统

指定的望远镜角度望远镜的实际角度4.系统的混联系统联接形式包含有串联、并联、反馈任意2种或3种联接形式称为混联。

1.4.4系统的分类根据系统处理的信号形式的不同，系统可分为三大类：连续时间系统（简称连续系统）、离散时间系统（简称离散系统）和混合系统。

从系统本身的特性来划分，可分为：线性与非线性、时变与非时变、因果与非因果、稳定与非稳定、记忆与无记忆等系统。1.线性系统和非线性系统齐次性若则有则有叠加性

若凡能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。若则有对于线性离散系统则有：线性系统的分解性零输入响应：仅有初始状态而激励为零时的响应零状态响应：仅有激励而初始状态为零的响应对于线性系统，若系统有多个初始状态时，零输入响应对每个输入初始状态呈线性（称之为零输入线性）；当系统有多个输入时，零状态响应对于每个输入呈线性（称之为零状态线性）。凡不具备上述特性的系统则称之为非线性系统。

【例1.8】试判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？系统1：系统3：系统2：系统4：零输入响应和零状态均呈线性，线性系统仅有零输入响应呈线性，非线性系统仅有零状态响应呈线性，非线性系统零输入响应和零状态响应均不呈线性，非线性系统【例1.9】某系统可由微分方程表示，试问该系统是否为线性系统？解若有两个输入及分别作用于系统，则由所给微分方程可得：

但无论取什么值

均不成立。故该系统为非线性系统。2.非时变系统与时变系统如果系统的参数与时间无关而为一个常数，或它的输入与输出的特性不随时间（独立变量）的起点而变化，即系统的输出仅取决于输入而与输入的起始作用时间无关，则称为非时变系统或称时不变系统。若则有若若系统在同样信号激励下，输出响应随加入时间始点的不同而产生变化，即不具备非时变特性的系统为时变系统。则有若系统既是线性的又是非时变的，则称为线性时不变系统（lineartimeinvariant），简记为LTI。对于连续线性时不变系统，其描述方程为线性常系数微分方程；对于离散线性时不变系统，其描述方程为线性常系数差分方程。

【例1.10】试判断下列系统是非时变系统还是时变系统。系统1：系统2：系统3：系统4：解系统1：则有为时变系统

系统3：则有而

为时变系统

系统4：则有为时变系统

而

系统2：则有为非时变系统

而

若系统既是线性又是非时变的,则称为线性时不变系统(Linear-TimeInvariant),简记为ＬＴＩ．连续线性时不变系统线性常系数微分方程离散线性时不变系统线性常系数差分方程3.因果系统与非因果系统因果系统——系统某时刻的输出响应只取决于某时刻激励的输入和过去的输入,而与未来的输入无关.非因果系统试判断下列系统的因果性：4.稳定系统与不稳定系统若输入有界，则输出有界（BIBO准则）的系统为稳定系统，否则为非稳定系统。记忆系统（动态系统）——系统的输出不仅决定于当前时刻的输入,还与过去的状态(历史)有关.含有记忆元件的系统都是记忆系统,如电容、电感、存储设备等。无记忆系统——每一时刻该系统的输出信号值仅仅取决于该时刻的输入信号,而与别的时刻值无关.5记忆系统与无记忆系统例：

为记忆系统为无记忆系统例1.5系统的模拟与相似系统1.5.1相似系统相似系统——能用相同的方程描述的的系统。1.5.2系统模拟1.基本运算器1）加法器

或2）标量乘法器

或3）连续时间积分器和离散时间延迟器

或注意：实际模拟一个系统的微分方程不用微分器而用积分器。由于积分器抗干扰性能比微分器好，运算精度高，对信号起“平滑”作用，甚至于对短时间内信号的剧烈变化也不敏感；而微分器将会大大增加信号的噪声。

2.连续系统的模拟图一阶系统的数学模型为：

可写成一阶微分方程可以用一个积分器、一个标量乘法器和一个加法器联成的结构来模拟。

二阶系统的数学模型为：

可写成构成系统的模拟图的步骤：①把微分方程输出函数的高阶导数项保留在等式左边，而把其它各项移到等式右边；

②将最高阶导数作为第一个积分器的输入，其输出作为第二个积分器的输入，以后每经过一个积分器，输出函数的导数阶数就降低一阶，直至获得输出函数为止；

③把各个阶数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器，一起送到第一个积分器与输入函数相加，加法器的输出就是最高阶导数。

n阶系统的微分方程3.离散时间系统的模拟

一阶离散时间系统的差分方程为（1.67）可写成（1.68）二阶离散时间系统的差分方程为：（1.69）可写成（1.70）由此可见，离散时间系统模拟图与连续时间系统模拟图具有类拟的结构，只需用延时器替代积分器。

信号分析连续信号离散信号时域：信号分解为冲激信号的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数信号的线性组合时域：信号分解为冲激序列的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数序列的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合系统分析连续系统离散系统时域：频域：复频域：时域：复频域：频域：系统的描述系统响应的求解系统的描述系统响应的求解输入－输出描述：Ｎ阶微分方程状态空间描述：Ｎ阶一阶微分方程输入－输出描述：Ｎ阶差分方程状态空间描述：Ｎ阶一阶差分方程1.6线性时不变系统分析方法概述线