孙训方材料力学(I)第五版课后习题答案

第二章轴向拉伸和压缩

2-1试求图示各杆1T和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

(a)解：号fi=+V；(b)解：=+2F；%=°；

2F

(c)解：&=+2/；-(d)解：为1=入%=一加。

［习题2-3］石砌桥墩的墩身高/=10〃？，其横截面面尺寸如图所示。荷载尸=1000kN,材料的密度

夕=2.35版/加3,试求墩身底部横截面上的压应力。

解：墩身底面的轴力为:

N=—(J+G)=—/一Alpg2-3图

-1000-(3X2+3.14XI2)X10X2.35x9.8=-3104.942(^)

墩身底面积：A=（3x2+3.14x"）=9.14（62）

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

N-3104.942AN

a=一=-339.7IkPa®-Q.34MPa

A9.14/zz2

2-4图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑

杆用角钢构成，其截面均为两个75mmX8mm的等边角钢。已知屋面承受集度为夕=20k的竖直

均布荷载。试求拉杆丝和比横截面上的应力。

解一“=/■=尹=/须*17加=]774kH

1)求内力

取IT分离体2M?=°

种（437：4.+：_空+4.5）+^x2.2=0

得=356kN（拉）

取节点后为分离体

£&=°,%&MO=356kN

AE=也37'+『=4.47m

4.37

coca=——

4.47

&3*3Wx4.47皿3

=-------=--------------=366kN

故uco«a4.37（拉）

2）求应力

75X8等边角钢的面积71=11.5cm2

P„356xMf

==155MPa

IT2x11.5x10^(拉)

%366x10s

=-1=159MPa

2jT2xll.5xlO（拉）

2-5图示拉杆承受轴向拉力F=10kN,杆的横截面面积4=100g,如以二表示斜截面与横

截面的夹角，试求当。=0=,30=,45\60=,90=时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表

示其方向。

解:

=qco«a

—sin2a

2

^-IQQMPt

A100x10-•«-C°

~-75MP1I

旨=l00c<M33(r=100x(亭i=75MPa

~-43JWa

j=—m2x3(r=4£2MPa

""2

%=IOOCOSMT=WOx(mi=50MPa(ru-JOMPt

«-4r

rM-JOMP«

«2x4r=»MPa

b2

%=100c46ir=W0x5=25MPa-25MPa

ff-OF

・■-433MPa

1001001

j«2x60s=—=4&3MP^

*222

0ir=0

100

=—sn2x9ir=0

f2

2-6一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其

弹性模量比10GPao如不计柱的自重，试求：

（1）作轴力图；

（2）各段柱横截面上的应力;

（3）各段柱的纵向线应变；

（4）柱的总变形。

100xlQ»

解：“200x200x10^(（压）

260X101

=6.5MPa

200X200X10-4（压）

-100*10、XL5

10x1(?x40000xW*

=—0.375mm

-260x10X5

-O.975un

-RA-tOxlO'x4OOOOxlO4

&=也超-&。=-0.375-0.975=-1.35nm

味-25x104

0.25X10-1

~810x10,

%-6.5x104

s-O.ttxlO-8

~8~=10xl09

［习题2-7］图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为:

川)=餐，4=f/dx々匹

EA(x)」)EA(x)E」)A(x)

r-r_xr.-r,d0—&d,

xr=———L•x+r.=-......Lx+—

，2-八7/1212

,.d—d,d,d-,—d,

d(-2----Lx+」)=d”=------Ldx

21221

21

21dxd?-d\21

dx=du--=——T1-duf=--------------

d2—d[A(x)7t-u7i(dx-d2)

因此,A/

2FI2FI1

破(4-4)旎(d|-32)x+劣

20

2FI_________1________1_

祖尔一/)d?-d]i、d[d]

2122

2-10受轴向拉力户作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为区：，试求。与〃

两点间的距离改变量.b。

解：'AS+尿9一百

5UF

£=-M-2.--------------

,E%痣

横截面上的线应变相同

CD=1.003a

AC。=1.00蛆

As=afft=—aVC

avFvP

&CD==

因此4aSS~48S

［习题2-11］图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1,2,3材料相同，其弹性模量E=2WGPa，已知/=1m,

A=4=iOQmm2，A3=150mm2,F=20kN。试求C点的水平位移和铅垂位移。

2-11图

解：(1)求各杆的轴力

以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。

因为AB平衡，所以

ZX=O,N3cos45"=0,&=0

由对称性可知，Acw=0,N,=N2=0.5F=0.5x20=W(kN)

(2)求C点的水平位移与铅垂位移。

NI10000Nxl000〃?〃？

A点的铅垂位移：%=要=0.476mm

12

EAt210000N/mmx100mm~

lOOOONxJOOQ^

B点的铅垂位移:=0.476m机

2

-EA22XQ0Q0N/mm

1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为

刚性杆，可以得到

C点的水平位移：XH=卜处-,tan450=0.476(mm)

C点的铅垂位移：=A/j=0.476（〃〃〃）

［习题2-12］图示实心圆杆AB和AC在A点以钱相连接，在A点作用有铅垂向下的力F=35kN。已知杆AB

和AC的直径分别为d=\2mm=15mm,钢的弹性模量E=2WGPa。试求A点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB、AC杆的轴力

以节点A为研究对象，其受力图如图所示。

由平衡条件得出：

，X=0：sin30°-N.sin450=0

NdAC/1«H>

NAC=^NAB.....................................(a)

工丫=0：NACCOS300+NABCOS450-35=0

6N.c+5AB=70...........(b)

(a)(b)联立解得：

N,、B=N、=18.117kN；NAC=N2=25.62WN

（2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移

N；l\N工

2.

2EAt2EA2

式中,Zj=1000/sin450=1414(/wn)；l2=800/sin300=1600(〃?〃。

22

4=0.25x3.14x122=113机m2；A2=0.25x3.14xl5=177mm

1J81172X1414256212X16OO

故:△A----------(-------------------------1-------------------------)=1.366(〃〃〃)

35000210000x113210000x177

［习题2-13］图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d=\mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。

已知钢丝产生的线应变为£=0.0035,其材料的弹性模量E=2WGPa,

钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；

（2）钢丝在C点下降的距离A；

（3）荷载F的值。

解：（1）求钢丝横截面上的应力

<j=Es=210000x0.0035=735(MPa)

(2)求钢丝在C点下降的距离△

Nl—=735x2000=其中，AC和BC各3.5机机。

A/=---=cr-7(mm),

EAE210000

1000

cosa=-=---0-.--9-96512207

1003.5

a=arccos(1000)=4.7867339"

1003.5

A=1000tan4.7867339p=83.7(机机)

(3)求荷载F的值

习题2-14图

以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得:

〃=。：2Nsina-P=0

P=2Nsina=2a4sina

=2x735x0.25x3.14xl2xsin4.787°=96.239(?Z)

［习题2-15］水平刚性杆AB山三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横

截面积分别为Al=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa,求：

(1)端点A的水平和铅垂位移。

(2)应用功能原理求端点A的铅垂位移。

解：(1)

|fdx=F,^kli=F

，3

k=3F/l3

2i3

“(』)=^3Fx/ldx=F(xi/l)

450=0

FN3COS

・一时+月一尸N3Sin45°+尸=0

-Fx0.45+F,vlx0.15=0

F]=-60KN,工=—401KN,耳=0KN,

由胡克定理，

Fl_-60X1Q7X0.15

A/,Ni3.87

210X109X12X10-6

Fl40X107XQ.15

以N24.76

9-6

EA2210X10X12X10

从而得，A4X=A/?=4.76,

AAV=AZ2x2+AZ.x3=20.23(i)

(2)

V；=FxMy-F1xA/,+F!xA/2=0

=20.33(J)

［习题2-17］简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度/保持不变，斜杆AB的长度可随夹角夕的变化而

改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力,

且结构的总重量为最小时，试求：

(1)两杆的夹角：

（2）两杆横截面面积的比值。

解：（1）求轴力

取节点B为研究对象，山其平衡条件得:

=0

NABsin^-F=0

SB=-^—

ABsin。

Zx=0

NABcos6—NBC=0

F

NBC^~NABCOS^=---cos^=Fcot^2-17

sin夕

(2)求工作应力

N、BF

(J=——=---------------

AB建小in。

NMFcot0

=---

ABC48c

（3）求杆系的总重量

W=y^V=y（AABlAB+ABClBC）o7是重力密度（简称重度，单位：kNIm'）。

=Y^AB+区品。

cos，

=y./（AAS+八品）

cos，

（4）代入题设条件求两杆的夹角

条件①：T

61，^AB

AA/isin0[cr]sin^

Fcot3Fcot。

^BC=㈤，

ABC

条件⑵：W的总重量为最小。

w：/‘04居高+勺。）=/./（4,高+AQ

F1Fcot。、Fly.1cos9、

-------------------1----------)=-----(--------------1-------)

Ib]sin。cos。[a][a]sincossin。

1+cos201+cos20

sin。cos。卜翎sin26

从W的表达式可知，卬是。角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得最小值。

dW_2F//(-2cos^sin9-sin2^-(1+cos2e)cos26・2、

dO[a][sin220)

3+cos20

-sin223-•cos20♦2二0

2

-sin22^-3cos2^-cos220=0

3cos20=—1,cos2。=—0.3333

26=arccos(-0.3333)=109.47",3=54.74〃=54044

(5)求两杆横截面面积的比值

FFcote

48c

6]sin6[b]

AAB_[cr]sin^_1_1

ABC尸cot。sin。cot。cos。

㈤

.lol

因为：3cos26=-1,2cos~0-1=——,cos-3=-

33

cos0-—尸,-----=

y/3cos。

Al

所以：口=6

Ape

[习题2-18]一桁架如图所示。各杆都由两个等边角

钢组成。已知材料的许用应力

[a]=\70MPa,试选择AC和CD的角钢型号。

解：(1)求支座反力

由对称性可知，

&=%=22(UN(T)

(2)求AC杆和CD杆的轴力

以A节点为研究对象，由其平

衡条件得：

»=02-18

RA-NACcosa=0

NM==笆=366667(kN)

sincr3/5

以C节点为研究对象，由其平衡条件得:

Zx=o

NCD-NACcosa=0

220

NCD=NACcosa=^x4/5=293.333^7V)

(3)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号

AC杆：

366667N

A=2156.86wm2=21.569c/

AC㈤170^/mm2

选用21-80x7(面积2x10.86=21.72c"J)。

CD杆：

'”篙=1^^=65488〃/=17.255加

选用21-75x6(面积2x8.797=17.594c/)。

［习题2-19］一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力

匕］=170Mpa,材料的弹性模量E=210GPa,杆AC及

EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、

A处的铅垂位移A。、X、

-9^

解：(1)求各杆的轴力

32lOOkN/m

N.B=—X300=2W?V)赳

4gpH♦♦Til

08300kN|L2叫。1.8电二哥

NCD=：x300=60(kN)

C一

讣「二03.2m

NCHx3-300xl.5-60xl.2=02-19

NCH=1(450+72)=174(kN)

/Vcr+174-60-300=0

心=186(AN)

(2)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号

AB杆：

240000N2

A.=1411.765〃?"/=14.12cm

[o-]110N/mm2

选用2I_90x56x5(面积2x7.212=14.424cm2)。

CD杆：

▲、60000N-coccc2

A>——N--D=----------=352.942=3.529cm-

rn[a]llON/mm2

选用21-40x25x3(面积2x1.89=3.78。/)。

EF杆:

,NFF186000A/i11o2i

A>----=----------=1094.1ISmnr=10.412cm-

FF[a]1707V/mm2

选用21-70x45x5(面积2x5.609=11.218cm2)»

GH杆:

“、NGH174000N92

A>——--=----------=1023.529〃?〃？=10.353cm

rH[cr]170N/〃加

选用21_70x45x5(面积2x5.609=11.218cm2)»

（3）求点D、C、A处的铅垂位移A。、AcxAA

240000x34。。=2.694。2.7(〃〃〃)

△IAB

EAAB210000X1442.4

NC/DCDD60000x1200、

"CD-=-----------=0.907(〃?〃?)

EACI)210000x378

酒;186。吆2。。。=]

△IEF

EAEF210000X1121.8

NGHlGH174000X2000,、

GHGH=--------------------------=i.477(m/n)

「

EAUnH210000X1121.8

EG杆的变形协调图如图所示。

△D_L8

『IGH一行

AD-1.4771.8

1.580-1.477

AD=1.54("〃〃)

Ac=AD+ZCD=1.54+0.907=2.45(加用)

△八=1AB=2.7(〃?〃?)

［习题2-21］（1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为

4=25皿”和（=18〃〃”，钢的许用应力匕］=170M外,弹性模量E=210GPa。试校核钢杆的强度，并计

算钢杆的变形△//、&即及A、B两点的竖向位移AQAB。

解：(1)校核钢杆的强度

①求轴力

3

鼠=x100=66667(kN)

NBC=^|x100=33.333(^)

②计算工作应力

__NnAvC666677V

ACO"——------=--------------------------

4c—0.25x3.14X252〃〃“2

=135.882MPa

N333337V

BD2-21

22

ABD0.25x3.14xl8/mn

=131.057MPa

③因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa,即bAc4[b]；(TBD<[o-])所以AC及BD

杆的强度足够，不会发生破坏。

(2)计算&AC、&BD

NI66667x2500,^、

aACA"C=----------------------=1.61180(/加⑼

EAAC210000X490.625

33333x2500

△1BD

EABD210000X254.34

(3)计算A、B两点的竖向位移A.、AB

第三章扭转

3-1一传动轴作匀速转动，转速K=200rAn”，轴上装有五个轮子，主动轮H输入的功率为60kW,

从动轮，I,m,IV,V依次输出18kW,12kW,22kW和8kW。试作轴的扭矩图。

10

r=9.55x—=0.8595

解：1200kN

7：=0.8595x1^=0.5730

18kN

Z=0.8595x—=1.0505

*18kN

o

K=0.8595x—=0.3820

18kN

3-2实心圆轴的直径d=U»mm,长，=lm,其两端所受外力偶矩,材料的切变模

量。=800a。试求：

(1)最大切应力及两端截面间的相对扭转角；

(2)图示截面上4B,。三点处切应力的数值及方向;

(3)。点处的切应变。

°max已=%

1,1

式中，W=-7id=­X3.14159xl003=196349(WW3)O3-2

「n1616

14x10'N-min

故:%=71.302M&

%196349mm3

T]ii

(p=—,式中，I=—7id4=—x3.14159xl004=9817469(/wn4)o故:

p

GIp3232

14000N-mxIm

=0.0178254(raJ)=1.02°

(p80x1()9N//*9817469xlO^/n4

(2)求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向

rA=rB=rmax=71.302MP”，由横截面上切应力分布规律可知：

=T

rc~^B=0.5x71.302=35.66MPa,A、B、C三点的切应力方向如图所示。

(3)计算C点处的切应变

35.66MPa=4.4575x10-4=0.446x10-3

80x1O'MPa

【习题3-3］空心钢轴的外径。=100〃〃〃，内径1=50〃?〃？。已知间距为/=2.7m的两横截面的相对扭转角

(P=18',材料的切变模量G=80GPa。试求:

(1)轴内的最大切应力；

(2)当轴以〃=80/7min的速度旋转时，轴所传递的功率。

解；(D计算轴内的最大切应力

44444

Ip=-^^D(l-a)=-^x3.14159xl00x(l-0.5)=9203877(mm)0

%=也就3a_优)=《x3.14159X10()3X(1_0.54)=184078(即，)

式中，a=dID。

,(pGI1.8x3.14159/180x80000A^/mm2x9203877/n/n4

/2700/n/n

=8563014.45^-mm=8.563(kN•加)

T_8563014.45N〃n»

=46.518MPo

%ax弓-―184078mm3

(2)当轴以〃=80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率

T=",=9.5491=9.549x.=8.563(AN-m)

n80

Nk=8.563x80/9.549=71.74(ilIV)

［习题3-5］图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄匕沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN,已知轴材料的许用

切应力［n=40Mpa,试求：

(1)AB轴的直径：

(2)绞车所能吊起的最大重量。

解：(1)计算AB轴的直径

FT0

0

AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶S

矩相等：T

Me左=M,右=0.2X0.4=0.08(kN-m)

M,主动轮=2M,右=0.16(攵

扭矩图如图所示.3-5

由AB轴的强度条件得：

M,右16M4

Wp7K1

d>；116MM=3116义80000小加加

=21.7mm

_V小]—V3.14159x40^//nm2

(2)计算绞车所能吊起的最大重量

主动轮与从动轮之间的啮合力相等:

"e主动轮=从动轮用。从动轮=急乂0.16=0.28也%.利)

0.2-0.35

由卷扬机转筒的平衡条件得：

Px0.25=M,从动轮，Px0.25=0.28P=0.28/0.25=1.12(^)

［习题3-6］已知钻探机钻杆(参看题3-2图)的外径D=60mm,内径d=50mm，功率P=7.355人卬，转速

n=180"min,钻杆入土深度/=40m,钻杆材料的G=80GMp。，许用切应力［r］=AOMPa。假设土壤对

钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：

(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度机；

(2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；

(3)两端截面的相对扭转角。

解：(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度机

N7355

M=9.549—=9.549x--=0.390(^•m)

1n180

设钻杆轴为x轴，则：£例、=0,血=〃，，

加=+==0.00975(kN/m)

(2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核

①作钻杆扭矩图

039

T(x)=-mx=--j—x=-0.00975x。xe[0,40]

T(0)=0；T(40)=Me=-0.390(kN-m)

扭矩图如图所示。

②强度校核，/ax=g

匕

34343

式中，Wp=—O(1-a)=—X3.14159X60X[1-(—)]=21958(/n/n)

161660

M.390000•mm

=17.76IMPa

W,)21958/WM3

因为，=17.761MPa,[T]=40MRZ，即rmax<[r]，所以轴的强度足够，不会发生破坏。

（3）计算两端截面的相对扭转角

「。T(x)dx

式中，I=—O4(1-a4)=—x3.14159x604x[1-(―)4]=658752(mm4)

323260

3-7图示一等直圆杆，已知d=40mm,a=400mn,G=80GPa,斡》=「。试求:

（1）最大切应力；

（2）截面4相对于截面。的扭转角。

解：（1）由已知得扭矩图（a）

_MQia（r

©a==勇8”

弧_

77=WOta

1

r=生.4=卫生jcxeOxltfx40xlQ-*

.2360a3SOx4OOxlO-1""

=69.8x10*=69.8MPa

Z

(2)

3-10长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者材料相同，受力情况也一

4=0.8

样。实心轴直径为d；空心轴外径为〃内径为4,且D。试求当空心轴与实心轴的最大

切应力均达到材料的许用切应力,扭矩7相等时的重量比和刚度比。

MD：")

4

冢—一Q

第一种：解：重量比=4

/一皆明变0%

因为<"*=t-*

TT

«D5(l-0.81)

即1616-

D1IDI

故尸=说.彳=而？

乌=^-x0.36=—L1XO.36=0.51

故/d0.84

3一心.,

Of._究_

砥=~-=d1

刚度比=玉"

第二种：解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。

T

rmax=~

匕

式中，W=J-就）3（］—。4）,故：

p1二'

16T27.IT

[r]

%"空一就3（］_084）—施3

3-10

小］

（1）求实心圆轴的最大切应力

卬=-L血316T16Tf1

%ax―,式中,，故：「max,实

「16血3

3^需“69375,六口92

乃上］

（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比

W空_0.25万(。2-＞；)•/.)

(j)2(1-0.82)=0.36(j)2=0.36x1.1922=0.512

0.25㈤2.[.7

(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比

空=—^D4(l-0.84)=0.01845^£)4,I=—/zz/4=0.03125TZZ/4

硬320实32

粉==。59。吟』59。4—」92

£)*

0.59.=Q59x-0^59-=1.18

(0.84)*0.496

［习题3-11］全长为/,两端面直径分别为4,出的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩M,

,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体小，则其两端面之间的扭转角为:

期=9

GIP

式中，/〃=」-血4

"32

r-r}_x

r2Tl7

r一八

-2----L-x+r)

2

d=2r=—~~—x+dt

/=(上外X+4)4=〃4

,d-,-dI

au=}ax,ax=---------an

Id2一di

32M«lfdu

4

bGIpGIpG』)血471GJ>H(1)-d]JiGld?—dj

32Mlfdu_32MJ1/32Ml]

」)丁一e

jiGma7iG(d-d)3/°3^G(d-d)3

2t2yd?_d[L

------x+d1

0

32MJ11)32MJ

3-dJ@d\)3^G(d,-cl2)Id：d；,3E3d：d；

［习题3-12］已知实心圆轴的转速〃=300r/min,传递的功率p=33DkW,轴材料的许用切应力［旬=60MPa,

切变模量G=80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1°,试求该轴的直径。

解：甲=

GIpGIp180

N33010.504(kN-m)与=，成4。故:

式中，M9.549—^=9.549x—;

en300

〉180MJ

2H

32uG

32x18PM,./32x180x10.504xlO6^•mmx2000M%

d>i111.292mm

3.142x80000N/m/n2

取d=1113mmo

3-13习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力卜卜加皿，切变模量。=80*,许可

单位长度扭转角［01=0.250/111。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。

解：由3T题得：J=2006"m

J=2006x1。'炎ox"

-rf3xi(r*

16

心监驾兽骐=80.

VWxZQxlQ15

2.006x10sx32x1ST

=0.25aAn

SxlO^icdScxlO-43

JZ006X32X180X103

87.5mm

i8xl0Nxxax0.25

故选用d=87.5mm0

3-14阶梯形圆杆，4'段为空心，外径分140mm,内径由100mm；尾段为实心，直径片100mm。外

力偶矩iG=l8kWm,*.=32kMm,*c=14kN.m。已知：[r]=80MP.,,

G=80GPao试校核该轴的强度和刚度。

解：