新课标(人教版a)高中数学必修5教案第一章解三角形

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

从容说课

本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密

切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系.教科书

在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形

中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表

示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果己知三角形的两条边及其所夹的角,

根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化

的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一

边和两个角的问题这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去

的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结

构.

教学重点1.正弦定理的概念；

2.正弦定理的证明及其基本应用.

教学难点1.正弦定理的探索和证明；

2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.

教具准备直角三角板一个

三维目标

一、知识与技能

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.

二、过程与方法

1.让学生从己有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；

2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；

3.进行定理基本应用的实践操作.

三、情感态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间

的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.

教学过程

导入新课

师如右图，固定△/8C的边及使边4c绕着顶点C转动.

师思考：ZC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

生显然，边的长度随着其对角NC的大小的增大而增大.

师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等

式关系.如右图，在Rt448C中，设=C，根据锐角三角函数中正弦函数

的定义，有@=$1114,-=sinB,又sinC=l=£,则一—----=---=c.从而在直角

cccsinAsinBsimC

三角形N8C中，

a_b_c

sinJsin5simC

推进新课

［合作探究］

师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）

生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如右图，当△ZBC是锐角三角形时，设边48上的高是CA,根据任意角三角函数的定义,

有CD=AsinB=BsinA,贝U—-—=—-—,同理，可得一--=—--.从而

sin/sin5sinCsin5

a_b_c

sinJsin5sinC

（当△NBC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a_b_c

sinJsin5sinC

师是否可以用其他方法证明这一等式？

生可以作△NBC的外接圆，在△/8C中，令8C=Z〃C=J48=C,根据直径所对的圆周角是直

角以及同弧所对的圆周角相等，来证明，一=—也=一乙这一关系.

sinJsin5sinC

师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证

法.

在△ZBC中，已知BC=A^C=B^B=C,^/\ABC的外接圆,。为圆心，连结80并延长交圆于B',

设8"=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到

NA48三90。，/C=/B',

.c

sinC=sinB—sinC—sinB'——.

2R

：.=2R.

sinC

同理,可得，L.=27?,-A_=2R.

sinAsinB

sinZsin5sinC

这就是说,对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式

a_b_c

sinJsin5sinC

点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角

三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受,并且消除了学

生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下

一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.

［知识拓展］

师接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理

反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一知识点体现边角关系呢？

生向量的数量积的定义式/力=141网Cos。,其中0为两向量的夹角.

师回答得很好，但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化

呢？

生可以通过三角函数的诱导公式sin0=Cos(90O-9)进行转化.

师这一转化产生了新角90。-0,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算，辅

助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-0这一形式，这是

作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.

师在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并山向量的加法原则可得

~AC+CB=H

而添加垂直于ZC的单位向量j是关键，为了产生j与力8、AC、CB的数量积,

而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，也就在情理之中了.

师下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中

所用到的向量知识点.

点评：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以

及两向量垂直的充要条件的运用.

(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.

向量法证明过程：

⑴AMC为锐角三角形，过点/作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90。-4j

与CB的夹角为90°-C.

由向量的加法原则可得

AC+CB=AB,

为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积

运算，得到

J•函+函=./•刀

由分配律可得

AC+j*CB=j»AB.

；山"CCos90°+[j|CBCos(90°-C)=[j|4BCos(900-A).

,\AsinC=CsinA.

・Q_0

sinAsinC

另外，过点c作与CB垂直的单位向量j,则j与/C的夹角为90°+c,j与AB的夹角为

cb

90。+氏可得-----=-----.

sinCsinB

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与ZC的夹角为9()O-C,j

与AB的夹角为90°-5)

.abc

•(——,

sinAsinBsinC

(2)4/18C为钝角三角形，不妨设4>90。,过点/作与AC垂直的单位向量j,则j与AB

的夹角为4-90。/与CB的夹角为90。-。

由就+在=荔，得j•力C¥}CB=yAB,

即A-Cos(90°-C)=C-Cos(A-90°),

・•・4sinC=CsiM.

sinJsinC

另外，过点c作与CB垂直的单位向量j,则j与/C的夹角为90°+c,j与4B夹角为

900+B.

同理，可得

sin5sinC

-(形式1).

simAsinBsinC

综上所述，正弦定理对•于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.

师在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.

［教师精讲］

(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数,

即存在正数k使/=ksirU,8=ksin8,C=ksinC；

sinJsin5sinC

bc_ba

(形式2).

sin/sin5sinCsin8'sinZsinC

我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问

题.

①已知三角形的任意两角及其中•边可以求其他边，如。=嬖4.这类问题由于两角已

知,故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易，课本P4的例1就属于此类问题.

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin〃=gsin8.此

类问题变化较多，我们在解题时要分清题目所给的条件.

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.

师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.

［例题剖析］

【例1】在△/8C中，已知4=32.0。,8=81.8。/=42.96,解三角形.

分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边8,若求边C,

再利用正弦定理即可.

解：根据三角形内角和定理，

C=18O°-(/4+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;

根据正弦定理，

asin542.9sin81.8°

b=------=--------------80.1(cm);

sinZsin32.0°

osinC42.9sin66.2°

c=-------=---------------=74.1(cm).

sinNsin32.0°

［方法引导］

（1）此类问题结果为唯•解,学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角

和180。求出第三角，再利用正弦定理.

（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.

【例2】在△/BC中,已知Z=20cm,B=28cm,4=40。,解三角形（角度精确到1°,边长

精确到1cm）.

分析:此例题属于BsinA<a<b的情形，故有两解，这样在求解之后呢，无需作进一步的检验,

使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.

解：根据正弦定理，

bsinN28sin40"

sin5-0.8999.

20

因为0°<8<180°,所以腔64°或腔116°.

(1)当8=64。时，

C=180°-(J+B)=180°-(40°+64°)=76°,

asinC20sin760

C=-------30(cm).

sin/sin400

(2)当腔116。时，

C=180°-(A+B)=180°-(40°+116°)=24°,

一asinC20sin24〃

C=------»13(cm).

sinZsin40"

［方法引导］通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,

可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.

当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断，对于这•点，我们通过

下面的例题来体会.

变式一：在△N8C中，已知4=60,8=504=38。,求例精确到1。）和C（保留两个有效数字）.

分析:此题属于A>B这一类情形,有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性

质来排除8为钝角的情形.

解：已知87,所以比〃,因此B也是锐角.

bsin/50sin38"

'/sinfi=-0.5131,

60

A5-31°.

C=18O°-(/4+B)=l80°-(38°+31°)=111°,

asinC60sinl110

：.C=-------=-------------91.

sinJsin38°

［方法引导］

同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同结果，应强调学生注意解题的灵活性，对于

本题，如果没有考虑角8所受限制而求出角8的两个解，进而求出边C的两个解，也可利用三

角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题

意的解.

变式二：在△Z8C中，已知4=28,3=20,/=120。,求8(精确到1。)和C(保留两个有效数字).

分析:此题属于/为钝角且的情形，有一解，可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内

角和为180。排除角B为钝角的情形.

...八6sin/20sin1200

解:.sintf=---------=-----------------0.6186,

8x38。或2x142。(舍去).

AC=180°-(4+B)=22°.

.casinC28sin22°

C=-------=-----------«12.

sinJsin120°

［方法引导］(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B为钝角的排除也可以结合

三角形小角对小边性质而得到.

(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角•边或两边与其中边

的对角解三角形.

(3)对于已知两边夹角解三角形这•类型，将通过下•节所学习的余弦定理来解.

师为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习：

1.在△N8C中(结果保留两个有效数字)，

⑴已知C=百〃=45。,3=60。，求8;

⑵已知8=12,力=30。,8=120。,求/.

解：⑴：C=180°-(Z+8)=180°-(450+60°)=750,

b_c

sin3sinC

.八csinBV3sin60°—

・・B=-------=------------1.6.

sinCsin75°

b

sinAsinB

bsmA12sin30°,八

.'.A=-----------=--------------=6.9.

sin5sin120°

点评:此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的

学生进行在黑板上解答，以增强其自信心.

2.根据下列条件解三角形(角度精确到1。,边长精确到1):

(1)8=山=20,8=30。;(2)4=28/=204=45。；

(3)。=54,8=39。=115。;(4)4=20,8=28/=120。.

b

解:(1)v

sinAsin5

..osinB20sin30°八八八八

..sinJ=----------=--------------=0.9091.

b11

・・・4产65。，42句15°.

当/产65。时,。］=180。・(8+小尸180。-(30。+65。)=85。，

,「6sinC,1lsin85°…

・・G=----------L=-------------=22.

sinsinBsin30°

当42Hli5。时,。2=180。・(8+42户180。・(30。+115。)=35。,

,「hsinC1lsin35°

..C=---------2-=--------------句3.

2sin5sin30°

bsin420sin45°

(2)Vsin5=-0.5051,

28

・・・8产30。，82Hl500.

由于/+&=45。+150。>180。,故82=150。应舍去(或者由B<A知故8应为锐角).

.,.C=180o-(45°+30o)=105°.

.「asinC28sinl05°”

，C=----------=----------------=38.

sin%sin45°

bc

(3)V

sinBsinC

..入bsinC39sinll5°八/一/

..sinB=----------=----------------=0.6546.

54

・•・31%1。,&旬39。,

由于8<C,故8VG・・・治幻39。应舍去.

・・・当3=41。时,4=180。・(41。+115。)=24。,

csin/54sin24°

A=--------=------------=24.

sinCsin115°

Z?sin428sinl20°

(4)s\nB=---------=---------------=1.212>1.

a20

，本题无解.

点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解三角形的能力，既要考虑到己知

角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍.

课堂小结

通过本节学习，我们一起研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量的工具性作用，并

且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:己知两角、一边解三角形;己知两

边和其中•边的对角解三角形.

布置作业

(一)课本第10页习题1.1第1、2题.

(二)预习内容：课本P5〜P8余弦定理

［预习提纲］

(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.

(2)余弦定理如何与向量产生联系.

(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.

板书设计

正弦定理

1.正弦定理：2.证明方法：3.利用正弦定理，能够解决两类问题

a_b_c

(1)平面几何法⑴已知两角和一边

sinAsinBsinC

(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角

1.1.2余弦定理

从容说课

课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果L1知三角形的两条边及其所

夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍

然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角

形的另一边和两个角的问题这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生

对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在己有知识的坚实基础上，使学生能够形

成良好的知识结构.设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学.比如对于

余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简

洁，通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定

理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力.

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一

个思考问题”勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般

三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定

理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三

边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三

边的平方，那么第三边所对的角是锐角.山上可知，余弦定理是勾股定理的推广还要启

发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确

选用余弦定理达到求解、求证目的.

启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时,

注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.

教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.

教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；

2.余弦定理在解三角形时的应用思路；

3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.

教具准备投影仪、幻灯片两张

第一张:课题引入图片(记作1.1.2A)

如图(1),在RtZXNBC中，有/+炉=1

问题:在图(2)、(3)中,能否用6、c、/求解a?

第二张:余弦定理(记作1.1.25)

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的积的两倍.

形式一:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,

m小一b2+c2-a2c2+a2-b2八a2+b2-c2

形式一:cos4=-----------,COSD=----------,cosC=----------------

2bc2ca2ab

三维目标

一、知识与技能

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法；

2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；

3.能利用计算器进行运算.

二、过程与方法

1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论；

2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

三、情感态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系

与辩证统一.

教学过程

导入新课

师上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已

知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第

三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片L1.Z4,如图(1),在直角三角形中，根据两直角边及

直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边

呢?下面我们根据初中所学的平面儿何的有关知识来研究这响题.

-&./\ABC中，设8C=4MC=B,/8=C,试根据B、C、A来表示A.

师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形,

在直角三角形内通过边角关系作进步的转化工作，故作CD垂直于43于D,那么在Rt

△8OC中，边/可利用勾股定理用CD、DB表示，而C。可在中利用边角关系表

示QB可利用AB-AD转化为/D,进而在RtA/4£>C内求解.

解：过C作垂足为。，则在RtACDB中，根据勾股定理可得

A2=CD2+BD2.

丫在RtAJDC中,C£>2=82-/£)2,

又BD2=(C-AD)2=C2-2CAD+AD2,

.,.A^-AD^-ICAD+AD^+C^-ICAD.

又•.,在RtZXNDC^^4D=BCOsA,

a2=b2+c2-2abcosA.

类似地可以证明h2^c2+a2-2cacosB.

c2=a2+/>2-2abcosC.

另外，当N为钝角时也可证得上述结论，当/为直角时，d+b2=c2也符合上述结论，这也正是

我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片

1.1.28)

推进新课

1.余弦定理:三角形任何边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的枳的两倍.

在幻灯片1.1.28中我们可以看到它的两种表示形式：

形式一：

a2=b2+c2-2bccosA,

h2=c+a2-2cacosB,

c2=a2+b2-2abcosC.

形式二：

cosA=b2+c2~a2

2bc

_c2+a2-b2

cosB----------------

2ca

2ab

师在余弦定理中，令C=90。时，这时cosC=0,所以。2=/+/>2,山此可知余弦定理是勾股定理的

推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,

以进一步体会向量知识的工具性作用.

［合作探究］

2.向量法证明余弦定理

(1)证明思路分析

师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因/、8均未知，所以较难求边C.由于余弦定理中涉及到的角是

以余弦形式出现，从而可以考虑用向量来研究这个问题.由于涉及边长问题，那么可以与哪

些向量知识产生联系呢？

生向量数量积的定义式a仍=3历les。,其中。为4、8的夹角.

师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行

正、余弦形式的转换，也就少去添加辅助向量的麻烦.当然，在各边所在向量的联系上仍然通

过向量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含

有角c,则构造CB•CA这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注意两向量夹角

是以同起点为前提.

（2）向量法证明余弦定理过程：

如图，在△N8C中，设48、BC、C4的长分别是c、a、b.

由向量加法的三角形法则，可得就=标+就，

就•就=(方+旅)•(方+蔗)=恭+2万・团+赤=凝？+2荔］前卜os(180°—8)-

=c2-2accosB+a2,

BPB2=d+A2-2ACCOsB.

由向量减法的三角形法则，可得BC=4C-AB,

BC»BC^(AC-AB)»(AC-AB)^AC^-2AC^AB+AB^^Ac"-2AC»ABcosA+AB

=b~-2bccosA+c2

即a2=b2+c2-2bccosA.

由向量加法的三角形法则，可得AB=AC+CB=AC-BC,

万•方=（就一前）•（就一就）=/—2就•前+记=/一2就•前cosC+~BC

=b~-26QCOSC+Q2,

BPc2=a2+b2-2abcosC.

［方法引导］

（1）上述证明过程中应注意正确运用向量加法（减法）的三角形法则.

（2）在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，就与AB属于同起点向量，则

夹角为与5C是首尾相接，则夹角为角B的补角180°-5;JC与BC是同终点，则

夹角仍是角c

［合作探究］

师思考•：这个式子中有儿个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量,

能否由三边求出一角？

生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以卜推论：

62+02_。2b2+a2-c2

cos/=,cosB-,cosC=

2bc2ba

师思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了•般三

角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

生（学生思考片刻后会总结出）若△/2C中,C=9学,则cosC=0,这时c2=j+〃.由此可

知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

师从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边

的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边

所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从

上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广.现在，三角函数把几何中关于三角形的定

性结果都变成可定量计算的公式了.

师在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用（给出幻灯片1.1.28）

通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到，利用余弦定理,可以解决以下两类有

关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角.

这类问题由于三边确定，故三角也确定,解唯一，课本P8例4属这类情况.

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯」不会产生类似利用正弦定理解三角形

所产生的判断取舍等问题.

接下来，我们通过例题来进一步体会一下.

［例题剖析］

【例1】在△力中，已知B=60cm,C=34cm,A=4l°,解三角形（角度精确到1。，边长

精确到1cm）.

解：根据余弦定理，

a2=b2+c2-2dccosA=602+342-2-60-34cos410~3600+1156-4080><0.7547=1676.82，所以

cm.

।.十》的.「csin/34xsin41°34x0.656八〜“

由正弦定理得sinC=---------=----------------------------------0.5440,

a4141

因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得033。，

B=180°-J-C=l80°-41°-33°=106°.

【例2】在△4BC中,已知。=134.6cm,6=87.8cm,c=161.7cm,解三角形.

解：山余弦定理的推论，得

b-+c2-a287.82+161.72-134.62

M.5543^~56°20z;

2bc2x87.8x161.7

22

c+Q2-b134.62+161.72-87.82

COSD=--------------=0.8398,8=32°53';

2ca2x134.6x161.7

C=180°-(/+8)=180°-(56°20'+32°53')=90°47'.

［知识拓展］

补充例题：

【例1］在△/3C中，已知o=7力=10,c=6,求/、8和C.(精确到1°)

分析:此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的

形式二.

解：:cos〉J+C-1()2+62-72

=0.725,

2bc2x10x6

・・・Z94。.

222222

..「a+b-c7+10-6

•cosC=------------------~U.oU/1,

lab2x7x10140

：.C~36°.

：.B=18O°-(y4+Q=l80°-(44°+36°)=l00°.

［教师精讲］

(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为180。,可用余弦定理求出两

角,第三角用三角形内角和定理求出.

(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算.

［例2］在△NBC中，已知0=2.730,6=3.696,片82。28］解这个三角形(边长保留四个有效数字,

角度精确到1').

分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边，在

第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是

利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验，若用正弦定理需对

两种结果进行判断取舍，而在0°〜180。之间，余弦有唯一解,故用余弦定理较好.

解：由c2=aW-2^cosC=2.7302+3.6962-2x2.730x3.696xcos82028；

得84.297.

/+02—/3.6962+4.2972-2.7302

M.7767,

2hc2x3.696x4.297

・・・於39。2)

••・8=180。-(4+。=180。-(39。2'+82。28。=58。301

［教师精讲］

通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用，那么求边

用两个定理均可，求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.

【例3］在△/8C中，已知力=8,8=7,8=60。,求C及

分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角a再结合三角形内角和定理求出角c,再利用

正弦定理求出边C,而三角形面积由公式SA^BC^—acsinS可以求出.

2

若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b^+^-lcacosB建立关于C的方程,

亦能达到求C的目的.

下面给出两种解法.

Q7

解法一:由正弦定理得一2一=——,

sinAsin60°

・・・4=81.8。第2=98.2。,

・・・G=38.2℃2=2L8°.

由焉

-T-z，得Cl=3,2=5,

sine

S〜8c=gacxsinB=6y/3或57品二；ac?sinB=1OA/3.

解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB,

.•.72=C+82-2X8XC^S60°,

整理得/&+15=0,

解之，得CI=3«2=5.，sinB=6\/3^或SA4BL万。。2sin8=10^3.

［教师精讲］

在解法-的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏;而解法二更有耐人寻味

之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程,从而运用方程

的观点去解决，故解法二应引起学生的注意.

综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;己知三边求角或己

知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程

的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.

课堂练习

1.在△/8C中：

(1)已知c=8/=3,6=60。,求力；

(2)已知a=20,bB=29,c=21,求8;

(3)已知片33,。=2乃=150。,求B;

(4)已知<7=2,6=2,c=3+l,求4

解：(1)由a'^+c'-IbccosA,Wt72=82+32-2x8x3cos60°=49.

22j22()2+2>292

(2)由cos3='-'，得cosB==0.：.B=90°.

2ca2x20x21

(3)由b2=c2+a2-2cacosB,^&2=(33)2+22-2x33x2cos150°=49.Ab=l.

(4)由COS/=U^I(扬2+(道+])2—22也…。.

，得cosA=

2bc2V2(V3+1)2

评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题

效率.

2.根据下列条件解三角形(角度精确到1。).

(1)^7=31,b=42,c=27;

(2)o=9,6=10,c=15.

皿*,b2+c2-a2/曰，422+272-312

解：(1)由COSN=-----------，得COSA=----------------0.6755,..2=48。.

2bc2x42x27

die。*—百+1一人.312+272—422

rnLUS£>----------------------------八--U.U4-4-Z,••D^yj.

2ca2x31x27

・•・。=180。«+8尸180。・(480+93。户39。.

〃+°2_々2102+152-92

(2)山，得cos/=-0.8133,

2bc2x10x15

・・・人36。.

152+92-102

由8si+力"-0.7630,

2ca2x9x15

：.018O°-(y4+B)=180°-(36°+40°>=104°.

评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器进行

较复杂的运算.同时，增强解斜三角形的能力.

课堂小结

通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法，同时又进一步了解了向量的工具

性作用，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：

(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例;

(2)余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形.

布置作业

课本第8页练习第1(1)、2(1)题.

板书设计

余弦定理

1.余弦定理2.证明方法：3.余弦定理所能解决的两类问题：

(1)平面几何法；(1)已知三边求任意角；

(2)向量法(2)已知两边、一角解三角形

4.学生练习

1.1.3解三角形的进一步讨论

从容说课

木节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指

出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，

反之亦然.但解题的时候，应有最佳选择.教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理

和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下：

解斜三角形时可用的定理和适用类型备注

公式

余弦定理(1)已知三边类型(1)(2)有解时只有一

a'^+c1-IbccosA(2)已知两边及其夹角解

b2=a2+c2-2accosB

c1=b1+a2-2bacosC

正弦定理(3)已知两角和一边类型(3)在有解时只有一解，

(4)已知两边及其中一边的类型(4)可有两解、一解或

，一="-=-=2R

sin4sin5sinC对角无解

三角形面积公式(5)已知两边及其夹角

S=—Z>csinA-

2

1.n

—acsinB=

2

1，.「

—absmC

2

同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化

的主要途径有两条：(1)化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决

问题；(2)化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决.一般地，当已知三角形三边

或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理

或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便.总之，关键在于灵活

运用定理及公式.

教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情

形；

2.三角形各种形状的判定方法；

3.三角形面积定理的应用.

教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；

2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求：

3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用.

教具准备投影仪、幻灯片

第一张:课题引入图片(记作1.1.3A)

正弦定理:‘一=-^=」一=2R；

sin/sin5sinC

人+人―c2

COSA="+/一/,cos8=02+4一",cosC=

2bclea2ab

第二张:例3、例4（记作1.1.38）

［例3］已知△4BC,BD为角B的平分线,求证:AB：BC=AD:DC.

［例4］在△Z8C中,求证:/sin28+62sin2/=2“/>sinC.

第三张:例5（记作1.1.3C）

［例5］在△/BC中,bc'os/l=acos8,试判断三角形的形状.

三维目标

一、知识与技能

1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情

形；

2.三角形各种形状的判定方法；

3.三角形面积定理的应用.

二、过程与方法

通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函

数公式及三角形有关性质求解三角形问题.

三、情感态度与价值观

通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，

反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间

的内在联系.

教学过程

导入新课

师前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触r利用正、余弦定理

解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容（给出幻灯片1.1.3Z）.从

幻灯片大体可以看出，正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可

以进行边与角之间的转换,这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功

能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.

推进新课

思考：在△4BC中，已知4=22cm,B=25cm〃=133。，解三角形.（由学生阅读课本第

9页解答过程）

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些

条件下会出现无解的情形.下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题.

【例1】在△/8C中，已知4,84,讨论三角形解的情况.

师分析：先由sin8=/皿可进…步求出8；则。=180。-(4+0,从而。=asinC

asinA

一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况.

1.当月为钝角或直角时，必须。>6才能有且只有--解；否则无解.

2.当/为锐角时，

如果a泌那么只有一解;

如果那么可以分下面三种情况来讨论：

(1)若a>bsirt4,则有两解：

(2)若a=bsiM,则只有一解；

(3)若a<bsiM,则无解.

(以上解答过程详见课本第9到第10页)

师注意在已知三角形的两边及其中•边的对角解三角形时，只有当力为锐角且加

V6时，有两解；其他情况时则只有一解或无解.

无解f

两解一解

【例2】在△N8C中，已知a=7,6=5,c=3,判断△Z8C的类型.

分析：由余弦定理可知

a2=b2+c2<=>A是直角OLABC是直角三角形，

a2>h2+c2C^A是钝角O△NBC是钝角三角形，

q2〈62+cO,是锐角伏是锐角三角形。

(注意：/是锐角/是锐角三角形)

解：Y72A52+32,即/>/>2+。2,

：./\ABC是钝角三角形.

［教师精讲］

1.利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题.

①已知两角和任一边，求其他两边和一角.

②已知两边和其中一边的时角，求另边的对角(从而进一步求出其他的边和角).

2.正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转

化.例如：在判断三角形形状时，经常把6、c分别用2RsiM、2RsinB、2RsinC来代替.

3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现

边角之间的转化.

(1)已知三边，求三个角.

(2)已知两边和夹角，求第三边和其他两角.

4.用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式J=/+c2-26ccg4中含有未知数时，这

便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求4或8或C

或cosA.

师下面，我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片1.1.3B)

［例题剖析］

［例3］分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而角B的平分线BD

将△48C分成了两个三角形:与△C8R故要证结论成立,可证明它的等价形式:

BC=AD：OC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值

BCDC

的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值

sinZBDCsinZDBC

相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.

AD„ABsinZADB

证明:在内，利用正弦定理得--------------------，即a——=-----------

sinZADBsinZABDADsinZABD

DC即BCsinNBDC

在△88内，利用正弦定理得———

sinNBDCsinZDBC''DC~sinZDBC

,:BD是角B的平分线,，NABD=NDBC

sinZABD=sinZDBC.

'：NADB+NBDC=18Q。,

/.sinNNZ)B=sin(180°-NB£)C)=sinZBDC.

.4B_sinNADBsin4BDC_BC

"7D~sinZABD-sinZDBC~BE

.ABAD

评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦

值相等这一特殊关系式的应用.

［例题剖析］

［例4］分析:此题所证结论包含关于a/BC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把

角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转

化为角的关系，一般是通过正弦定理.

另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin28=2s