阿基米德三角形的性质

阿基米德三角形的性质切线方程：过抛物线上一点的切线方程为：过抛物线上一点的切线方程为：过抛物线上一点的切线方程为：过抛物线上一点的切线方程为：【概念】一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一即为阿基米德三角形）.重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.图（一）图（二）阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论.【证明】：如图（三）是中边上的中线，则平行于轴（下面的性质1证明会证到），过作抛物线的切线，分别交、于，则、也是阿基米德三角形，可知是中边上的中线，且平行于轴，可得点是的中点，同理是的中点，故是的中点，则是的，由此可知：是的，是的，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的，累加至无穷尽处，便证得重要结论.【性质1】阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.【证明】：设，，为弦的中点，则过的切线方程为，过的切线方程为，联立方程，，，解得两切线交点【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点，则另一顶点的轨迹为一条直线；【证明】：设，，为抛物线内的定点，弦的过定点，则过的切线方程为，过的切线方程为，则设另一顶点，满足且，故弦所在的直线方程为，又由于弦过抛物线内的定点，故，即点的轨迹方程为直线.【性质3】抛物线以点为中点的弦平行于点的轨迹；【证明】：由【性质2】的证明可知：点的轨迹方程为直线.因为点为弦的中点，故的轨迹方程为，斜率；而弦所在的直线方程为，由【性质1】的证明可知：，，故弦所在的直线方程为，斜率，又因为直线与的轨迹方程不重合，故可知两者平行.【性质4】若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线方程为：，则定点的坐标为；【证明】：任取直线：上的一点，则有，即┅=1\*GB3①，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则又由【性质2】的证明可知：弦所在的直线方程为，把=1\*GB3①式代入可得：，即，令且，可得：弦所在的直线过定点.【性质5】底边为的阿基米德三角形的面积最大值为；【证明】：，设到的距离为，由性质1知：（直角边与斜边），设直线的方程为，则，所以.【性质6】若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为；【证明】：由性质2，若底边过焦点，则，点的轨迹方程是，即为准线；易验证，即，故阿基米德三角形为直角三角形，且为直角顶点。所以，而.【性质7】在阿基米德三角形中，；【证明】：作准线，准线，连接，则，显然，所以，又因为，由三角形全等可得，所以同理可得所以【性质8】抛物线上任取一点（不与重合），过作抛物线切线交，于，则的垂心在准线上；【证明】：设、、，可求得过的切线交点，过向作垂线，垂线方程为：，它和抛物线准线的交点的纵坐标为，同理可知：，过向作垂线，垂线方程为：，它和抛物线准线的交点的纵坐标为：，即交点坐标相同，即可得的垂心在准线上.【性质9】；【证明】：而.【性质10】的中点在抛物线上，且处的切线与平行；【证明】：由性质1知，可得点坐标为，此点显然在抛物线上；过点的切线斜率为，结论得证.【性质11】抛物线上任取一点（不与重合），过作抛物线切线交，于，连接，则的面积是面积的2倍.【证明】：如图所示：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二可知：的面积是弦与抛物线围成的面积减去弦和弦与抛物线围成的面积，即（），而的面积则是（），故的面积是面积的2倍.二、特殊的阿基米德三角形：过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于两点，线段的中点为，分别过两点做抛物线的切线相交于点，得到阿基米德三角形，过做准线的垂线，分别交准线于点，该图形满足以下特性：点必在抛物线的准线上（性质6）；平行于轴（性质1）且是线段的中点；为直角三角形，且角为直角；【证明】：如图：由（中位线），可得：为直角.4、为直角三角形，且角为直角；【证明1】：如图：，，且，可知，即：为直角.【证明2】：如图：，（性质7的证明），且，可得：且，故有：，即：为直角.5、.【证明】：如图：由（由上式得），可得：，即：.6、若弦的倾斜角为，则.【证明】：（这个结论证法很多）.【高考案例】1、（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线,且与抛物线分别相切于两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.OABPF解：（1）设切点AOABPF∴切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则∴同理有∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB2、(2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，EQ\b\lc\{(\a\al(－x\S\do(1)＝λx\S\do(2)①,1－y\S\do(1)＝λ(y\S\do(2)－1)②))将①式两边平方并把y1＝EQ\f(1,4)x12，y2＝EQ\f(1,4)x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝EQ\f(1,λ)，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝EQ\f(1,4)x2，求导得y′＝EQ\f(1,2)x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝EQ\f(1,2)x1(x－x1)＋y1，y＝EQ\f(1,2)x2(x－x2)＋y2，即y＝EQ\f(1,2)x1x－EQ\f(1,4)x12，y＝EQ\f(1,2)x2x－EQ\f(1,4)x22．解出两条切线的交点M的坐标为(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，EQ\f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－1)．……4分所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝EQ\f(1,2)(x22－x12)－2(EQ\f(1,4)x22－EQ\f(1,4)x12)＝0所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))为定值，其值为0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|．|FM|＝EQ\r(,(\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2))\S(2)＋(－2)\S(2))＝EQ\r(,\f(1,4)x\S\do(1)\S(2)＋\f(1,4)x\S\do(2)\S(2)＋\f(1,2)x\S\do(1)x\S\do(2)＋4)＝EQ\r(,y\S\do(1)＋y\S\do(2)＋\f(1,2)×(－4)＋4)＝EQ\r(,λ＋\f(1,λ)＋2)＝EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋EQ\f(1,λ)＋2＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))2．于是S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))3，由EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．3、（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。4、（2008山东卷，理22题）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．yxBAOMyxBAOM由得，得，所以，．因此直线的方程为，直线的方程为．所以，①．②由①、②得，因此，即．所以三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：，，所以是方程的两根，因此，，又，所以．由弦长公式得．又，所以或，因此所求抛物线方程为或．（Ⅲ）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得．若在抛物线上，则，因此或．即或．（1）当时，则，此时，点适合题意．（2）当，对于，此时，，又，，所以，即，矛盾．对于，因为，此时直线平行于轴，又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，