高等数学第七章矢量代数与空间解析几何

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第七章矢量代数与空间解析几何

一、本章主要教学内容'重点和难点

主要教学内容：

1.空间直角坐标系，两点间的距离。矢量（向量）的概念及其几何表示。矢量的线性运

算（矢量加法、减法及数乘矢量），零矢量与单位矢量。矢量的代数表示（坐标式与分解式），

用坐标式作线性运算及计算矢量的模与方向余弦。两矢量的数量积与矢量积（点乘与叉乘），

矢量间的夹角公式，矢量的投影，矢量垂直与平行（共线）的条件。三矢量的混合积及其几何

意义，三矢量共面的条件。

2.曲面方程的概念，常用的曲面（球面、柱面、锥面及旋转面）的方程。空间曲线的

一般方程与参数方程，两曲面的交线在坐标平面上的投影的曲线方程。平面方程与直线方程

的几种常用形式，有关平面与直线的一些基本问题（相交、夹角、距离、投影等）。

3.从方程研究曲面形状的平面截割法和曲面对称性的确定法，二次曲面的标准方程及

其图形。

重点：

1.矢量的概念及其几何表示与代数表示。矢量的线性运算、数量积与矢量积的概念及

运算法则。两矢量垂直与平行（共线）的条件。混合积的概念、性质及其坐标表达式，三矢量

共面的条件。

2.曲面方程的概念，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面的方程。

空间两曲面的交线在坐标平面上投影曲线方程和求法。平面方程与直线方程的几种常用形式

及它们的求法。求解平面与直线的一些基本问题的公式和方法。

3.从方程研究曲面形状的平面截割法和曲面对称性的确定法。二次曲面的标准方程及

其图形及这些方程所表示的曲面并能画出它们的图形。

难点:

1.矢量的线性运算、数量积与矢量积，两矢量垂直与平行（共线）的条件，混合积，三矢量共

面的条件。

2.曲面方程的概念，空间两曲面的交线在坐标平面上投影曲线方程和求法。平面方程

与直线方程的几种常用形式及它们的求法。

3.二次曲面的标准方程及其图形及这些方程所表示的曲面并能画出它们的图形。

本章知识结构图

1.空间直角坐标系

2.矢量概念,矢量的线性运算

3.平面方程

矢量代数和空间解析几何

4.直线方程

5.空间曲线方程和曲面方程

6.常用的二次曲面方程

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三、概念、定理的理解和要点

3.1.空间直角坐标系

1•点的空间坐标：〃的坐标，记为〃（4,0,C）.

2.空间两点间的距离公式：|加|知2|=J（.一%）2+（为一%）2+（22—4）2.

3.12.向量、向量的线性运算和向量的坐标表示

2.1向量的概念

数量或标量：这种量只有大小而没有方向，例如质量、时间、温度、面积等；向量或矢

量：这种量既有大小又有方向，例如力、力矩、位移、速度、加速度等；

向量的模：向量的大小.向量AB、a的模可分别记为,⑷、同；

单位向量.模为1的向量；

零向量：模为零的向量记作。或0.零向量没有确定的方向，也可以认为它的方向是

任意的.

向量a与6方向相同，且同=例，则称a和6相等，记作a—b.

两向量a与6的夹角：设向量a与力用有向线段表示，将它们平移使始点重合，此两

有向线段之间的夹角。（规定《万）称为向量a与6的夹角.

两向量a与6平行：当6=0时，向量a与。方向相同；当6=72■时，向量a与力方向

相反.a与6方向相同或相反时称，两向量a与6平行，记为ab.

7T

两向量a与6垂直：当。=一时，称向量a与6垂直，记为。1分.

2

3.13向量的线性运算

1,向量的加减法

定义9.1设有两向量4和b,将〃平移使其始点与a的终点重合，则以a的始点为始

点，以A的终点为终点的向量c（见图9-6）,称为向量4与6的和向量，

记作a+b,BPc=a+b.

由向量加法定义不难证明向量的加法符合下列运算规律：

（1）交换律a+Z>=b+a；

（2）结合律（a+6）+c=a+（6+c）.

3.14向■的数乘运算

定义9.2实数4与向量a的乘积定义为一个向量，此向量称为4与a的数乘，记作

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几。.它的模等于风向；它的方向规定为：当4>0时与“同向，当几<0时与a反向•当

4=0或。=0时，Aa=0.

特殊地，当义=±1时，有la=a,(-l)a=-a.

可以证明向量与数的乘积符合以下运算规律：

(1)结合律=//(/Izz)=(/!//)«；

(2)分配律(4+“)a，

2(a+))=Aa+劝.

3.15、向量的坐标表示

将嵬+W+zA:记为{x,y,z},即OP={x,y,z},(9.1)

并称{苍y,z}为向量0P的坐标，称(9.1)式为向量0P的坐标表示.

设4>1，乂,马)，8(工2，%，22)是空间中两点，则。4={百,如21},OB={x2,y2,z2],

即AB={x2-x},y2-yvz2-zi],

利用向量的坐标表示，很容易进行向量的线性运算.设

。={%，%4}，方={么也，也},

a+b={ax+bx,ay+by,a:+b:},a-b={ax-bx,ay-by,az-bz),

4a={；l4，；lav,/l4}(2为实数).|4=&+y2+z2.

XX

cosa=-：=,=,

\ra\y]x2+y2+z2

cyy

〈cos夕=「=,——,

lalylx2+y2+z2

zz

cos/==I

0|«|M+:+z?

cos2a+cos2p+cos2/=1,a0=^-ra={cosa,cos/3,cos/}・

3.向量的数量积与向量积

3.1向量的数量积

定义9.3两向量a和8的模与它们夹角的余弦之乘积：同网COS。，称为a和b的数

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量积(又称点积或内积)，记作即。巧=同网cos6>.

uabn读作%点乘

由数量积的定义可以证明数量积满足以下运算律：

⑴交换律ab=ba；

(2)分配律a・S+c)=a/+a・c；

(3)结合律(而yh=A(aH)=,

还可得到：设a={x[9yvzi],b={x2,y2,z2]f则

zz

ab=x[x2+y[已+\2，

cose==-♦+*)[+稣；

同网J%：+城+Z：•收+W+Z；

ab—+y]y2+z]z2=0.

3.2、向量的向量积

定义9.4设向量4与8的夹角为e,称满足下列条件的向量为。与力的向量积(又

称叉积或外积)，记作ax》：

(1)它的模：|"4=同6恒118,

⑵它的方向既垂直于a,又垂直于"使a、氏axb依次构成右手系

由向量积的定义可以证明向量积满足以下运算律：

⑴反交换律axb=-bx,即ax》与方xa模相等但方向相反；

(2)分配律a*(〃+c)=ax〃+axc；

(3)结合律(痴)x)=2(第b=玄a.

由定义还可得到：

(1)axa=0；

(2)对于两个非零向量a与b,a，的充要条件是@x6=0,即aaxb=0.

ijk

axb=X[y=(ylz2-zly2)i+(zix2-x,z2)j+(xiy2-ylx2)k,

x2y2z2

由abaxb=0进而可推得，a五=2■=2.

&y2Z2

数值(axb)-c称为三向量a、b、c的混合积，可以证明它具有以下性质：

(1)(。><))-。的绝对值就是以。、b、c为棱的平行六面体的体积.

⑵混合积具有轮换性，即

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(axb)・c=(bxc)・a=(cxa>b.

由性质⑴可得，a、b、c共面的充要条件是(ax5>c=0.

4.平面方程和空间直线方程

4.1.平面的点法式方程：A(x-/)+3(y-%)+C(z-Zo)=O.

4.2.平面的一般方程Ax+By+Cz+D=O.

4.3.截距式方程，—+—+—=1.6、c分别称为平面在x、y,z轴上的截距

abc

4.4.两平面的平行与垂直

设有平面%:Ax+gy+Gz+p=o4={A，4，G}

7T2：^x+B2y+C2z+D2=0,n,={A,JB}

两平面相互平行的条件为劣="=邑

A,B2C2

两平面相互垂直的条件为A4+4为+GG=o.

+Gz+A=0;

4.5.空间直线的一般式方程:

A^x-i-B2y^-C2z^-D2=0.

4.6.空间直线的点向式方程二11=2二嵬=£Z&；

Imn

x=%o+It,

4.7.直线的参数方程.<>=%+加，

z=z0+nt.

5.曲面与空间曲线

5.1、曲面方程：若曲面S与三元方程R(x,y,分

5.2、空间曲线的一般方程［2""zX：

工(羽y,z)=0

x=x(t)

5.3、参数方程<y=y(f)

z=z«)

x=Reoscot;

5.4.圆柱螺线.<y=Rsin而；(0<r<+oo)

z-vt

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5.5v柱面方程

方程尸(x,y)=()所表示的图形，是母线平行于z轴的柱面，其准线是直内平面上的曲线:

产(x,y)=0.

类似地，方程G(x,z)=0和H(y,z)=0的图形分别为母线平行于y轴和x轴的柱面.

5.6、旋转曲面

设)，Oz平面上的曲线C的方程为/(y,z)=O,将此曲线绕z轴旋转一周，即得到一个以

z轴为轴的旋转曲面以式/(士次行,z)=0即为旋转曲面的方程。

类似地，yOz平面上的曲线C：/(y,z)=O绕y轴旋转一周，得到旋转曲面方程为

/(y,±^x2+z2)=O.

222

5.7椭球面：由方程,+a+气=1(。>0/>0,c>0)所表示的曲面称为椭球面.

22

5.8.椭圆抛物面：由方程z==+[(«>0,/?>())所表示的曲面称为椭圆抛物面.

ab"

222

xvz

5.9单叶双曲面：-2+—2=1(。>0,〃>0,c>0),

222

5.10双叶双曲面:----=-1(c>0),

29

Xy

5.11双曲抛物面:zy(a>0,h>0),

四、解题方法、题例与典型错误分析

1.空间直角坐标系

例1在y轴上求一点八使之与点A(2,—1,3)和3(4,1,2)的距离相等.

解因为点P在y轴上，所以该点的坐标为尸(0,y,0),按题意有=|依

即y]22+(y+\)2+32=742+(y-l)2+22,

解得因7此所求点的为尸((),7,,()).

44

2.向量、向量的线性运算和向量的坐标表示

例2设4123),5(—1,3,5),求A5,卜耳，A3。和A3的三个方向角.

解AB=QB—04={—1,3,5}—{1,2,3}={-2,1,2},

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2j_2

网=J(-2)2+俨+22=3,——AB-

3

三个方向角：a=arccos——\,/3=arccos-,y=arccos—

例3向量〃和)轴、z轴的正向夹角分别为£=6()。、7=150。，且模网=6,求向

量b的另一个方向角a和坐标分解式.

解cosa=1-cos2[3-cos2/=1--=0,所以a=90。，

x=MJcosa=6x0=0,y=问cos(3=6x—=3,z=网cosy=6x

由是向量〃的坐标分解式为b=xi+yj+zk=3j—3%k.

3.向量的数量积与向量积

例4已知”={2,-1,3},)={3,1,4},求⑴a电，⑵"a—"%

解(1)a-Z>=2x3+(-l)xl+3x4=17.

(2)由于a2=22+(-l)2+32=14,必=32+12+42=26,

因止匕b2a-a2b=26{2,-1,3}-14{3,1,4}={10,^K),22}.

例5已知空间三点4(2,1,—2),3(1,1,—1),C(1,2,—2),求NACB.

解CA={2-1,42,——«=彳)一),

CB={1-1,1-2,-1-(-2)}={0,-1,1},

|CA|=V2,|CB|=>/2,

C4-CB={l,-l,O}-{O,-l,l}=lxO+(-l)x(-l)+()xl=l,

则cosZACB=尸产I因此4ACB=土.

|C4||CB|V2-A/223

例6设“={2,-1,3},〃={3,1,4},求"尻

解

ijk

-13232-1

ax〃=2-13=i-j+k=-7i+j+5k=

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例7已知三角形三个顶点的坐标分别为A(l,2,3),B(—2,1,2),C(2,0,4),

求三角形的面积.

解AB={-3,-1,-1),AC={1,-2,1},

-1-1-3-1-3

ABxAC-3-1-1k=-3i+2j+lk,

-21111

1-21

V62

三角形的面积SABC^^ABXAC\

2

例8设4=｛内,乂，4｝,占=｛孙％，22｝，。=｛毛,%;3｝，求(axb)c

V

/1z.y

解axby

>2z.%

)2二H：

yZ1王4y

(axb)-c=<・｛不，为0｝

ZZ2

必2“必

%Z3

XZ|X4%M

%+Z34

%Z2X2Z2々%

%Z2

由行列式性质(互换行列式任意两行元素的位置，行列式值变号)可得

七为Z3石X4

%,4%Z2

W%Z2■Vs%Z3

vZ|

所以有(axZ>)-c%Z2

%Z3

例9判别A(2,-1,-1),S(l,1,2),C(-1,3,4),0(3,0,2)四点是否在共面?

解只要判别三个向量A8、AC,AO是否共面即可.由

AB={-1,2,3},AC={-3,4,5},AD={1,1,3)得

-123

45-354

ABxAC]AD=-345=(-1)+30.

13131

113

因此A、B、C、。四点共面.

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4.平面方程和空间直线方程

例10求经过点尸(1,一2,3)且以"=｛2,0,—1｝为法向的平面方程.

解由平面的点法式方程(9.7),得所求的平面方程为

2(x-l)+0(y+2)+(—l)(z-3)=0,

即2x——z+1=.

例11求经过空间三点A(l,0,-1),8(2,1,2),。(一1,1,1)的平面方程.

解先求出平面的一个法向量.由于向量AB=｛1』,3｝,AC=｛—2,1,2｝是所求平面上

两个不平行的向量，因此，与这两个向量同时垂直的向量48xAC即是所求平面的法向

ijk

n=ABxAC=113=-i-Sj+3k

-212

再取点A(l,0,-1),由点法式方程(9.7)可得所求的平面方程为：

(-l)(x-l)+(-8)(y-O)+3(z+l)=O,

即x+8y—3z—4=0.

例I12求经过点P(l,-1,2)且平行于平面2x—3y+z+l=0的平面方程.

解向量｛2,—3,1｝是平面2》一3丁+2+1=0的一个法向.由于所求平面平行于平面

2x—3y+z+l=0,所以｛2,—3,1｝也是所求平面的一个法向.由点法式方程，得所求的平

面方程为2(x—l)+(—3)(y+l)+(z-2)=0,

即2x-3y+z-7=0.

例13设一平面与三坐标轴分别交于点P(3,0,0)、Q(0,2,0)、7?(0,0,4),求此平面

的方程.

解设此平面方程为Ax+3)，+Cz+O=0,由于点都在平面上，因此有

'3A+D=Q;

<28+。=0;

4。+£>=0,

即4=一今，B=—g,一日•将此代入井+By+Cz+D=0,并除。(由于

不同时为0,故。*0)得平面方程：-+^-+-=1.

324

-10-

例14求平面Ax+B），+Cz+O=0外一点P（Xo，%，Zo）到该平面的距离・

解如图9-1,过P作平面的垂线，设垂足为Q.在平面内任取一点A/（x,y,z）,则点P

到平面的距离为：

陷=PM-PQ'=|PM-n0|,

由于n°---民♦}

由丁“一Ff—/，，，'

川VA2+B2+C2

）{A,B,C}

于是ffz-z。卜脑前胃

|A(x-Xo)+B(y-yo)+C(z-zo)|\Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cza\

VA2+B2+C2VA2+B2+C2

痔:智丁”（因为…・

例15求经过点4（1,一2,1）和点5（—1,0,1）,且垂直于平面x-y+2z=2的平面方程.

解由已知分析可得，所求平面的法向既垂直于向量AB,又垂直于平面x-y+2z=2

的法向,故可取ABx%作为所求平面的法向〃.由A和8的坐标可得

ijk

AB={—2,2,。，故有〃=A8x〃o=-220=4i+4j,

1-12

取平面经过的点8（-1,0,1）,由点法式方程（9.7）,可得所求平面方程为

4（x+l）+4y=0,

即x+y+l=0.

例16求经过点P（l,-2,3）且垂直于平面2x—y+z=1的直线方程.

解由已知，可取平面2%一丁+2=1的法向{2,—1,1}为直线的方向向量.

由直线的点向式方程，所求直线方程为—Y—1=-v+^2=—7—3.

2-11

例17求过点M（X［，X，Z1）、〃2（和%，22）的直线方程•

解取直线的方向向量为5=加|〃2={*2一—X，Z2—J,

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由直线的点向式方程，可得所求直线方程为二HL=上二21=三L,

工2-XV2fZ「Z\

此方程称为直线的两点式方程.

例118将直线一般方程［2"-)+z=2；化为对称式方程及参数方程.

x-2y-3z=1

解此直线可以看作平面2x—y+z=2与平面x—2y—3z=l的交线，它同时垂直这两

个平面的法向量n,={2,—1,1}和〃2={1,-2,-3),因此可取n,xn2作为直线的方向向量s：

s=ntxn2=2-11=5i+7j-3k.

1-2-3

21一）'=2,解得彳=1,'=0,

再在直线上求一点.在直线一般方程中，令z=0,得《

x-2y=\,

即(1,0,0)是直线上的一点.直线的对称式方程为—

57-3

x=1+57,

而参数方程为y=7t,

z=—3f.

5.曲面与空间曲线

例19建立以。(毛,为，?。)为球心，R为半径的球面方程.

解设M(x,y,z)是球面上一点，则点M到C的距离1Mq为R,由此得到方摩%18

2

^(x-x0)~+(y-^0)"+(z-z0)=R,

即(x-/)2+(y-y0)2+(z-z0)2=&.

由于球面上任意点的坐标都满足上述方程，而不在球面上的点到点C的距离不为R故而它

的坐标不满足上述方程，因此，上述方程即为以C(x0,%,Z。)为球心、R为半径的球面方程.

特别地，以原点0(0,0,0)为球心，R为半径的球面方程为V+y2+z2=R2.

例20方程X2+丁+22-2%+4卜一1=0表示什么曲面？

解原方程通过配方后即为(x—l)2+(y+2)2+z2=6,

由此可知，此方程表示以(1,-2,0)为圆心，逐为半径的球面.

例21求到空间两点A(2,-1,3)和3(4,1,2)距离相等的点的轨迹.

-12-

解设点M(x,y,z)是所求轨迹上的一点，贝即

7(x-2)2+(y+l)2+(z-3)2=7(x-4)2+(y-l)2+(z-2)2,

化简得4x+4y-2z—7=().

这是一个平面方程，可知所求的轨迹是一个平面.称此平面为线段A3的垂直平分面.

例I22求yOz平面上的抛物线z=V绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.

解所求曲面方程为z=(±7x2+y2J",

即z=x2+y2.这个曲面称为旋转抛物面.(见图9-2)

z=y-t

x=0

图9-2图9-3

例23求xOy平面上的曲线三+==1绕y轴旋转而成的曲面方程.

解所求曲面方程为

这个曲面称为旋转椭球面.(见图9-3)

例24求yOz平面上的直线z=ay绕z轴旋转所成

的旋转曲面的方程.

解旋转曲面的方程为z=a

z=a

曲图9-4

-13-

面

称

为

圆

锥

面

其

中

a=cota

2

a

为

圆

锥

顶

角

见

图

9

4

)

例25考察球面x2+y2+z2^2与旋转抛物面z=x2+y2交线所表示的曲线.

解交线方程为

x2+y2+z2=2;

z-x2+y2,

由此方程组可解得z=l,即曲线应在平面Z=1上.由z=l,曲线方程可等价地表示

为

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x2+j2+z2=2;

z=l,

或

x2+y2=1;

z=1,

即曲线也是球面为2+y2+z2=2与平面z=l的交线，

或看作柱面尤2+y2=l与平面z=l的交线.因此它是

平面Z=1上的一个单位圆，如图9-5所示.

fY~=2，

例25中，将曲线方程《"，一’中的Z消去，得柱面方程X2+y2=l,我们称

[z=x-by

(Y2+V2+Z2=2*fY2+y2=].

此柱面为曲线｛L；'在xOy平面上的投影柱面.而称曲线《)一’为曲线

[z=x-+y[z=0,

x+NJZ=2;在xOy平面上的投影曲线.

z=x+y

F.(x,y,z)=0

一般地，将空间曲线1"中的Z消去，得到的柱面方程G(x,y)=0便是

F2(x,y,z)=0

曲线r投影到xOy平面上的投影柱面方程，而|G(%，)')=°；则是曲线「在xOy平面上的投

z=0

影曲线方程.类似地可求出曲线「投影到zOx和)Cz平面上的投影柱面方程和投影曲线方

程.

五、本章练习题及复习题

5.1练习题

第一节二阶、三阶行列式及线性方程组

1.按第一行展开法计算下列行列式：

221111131

(1)505(2)abc2.解方程x41=0.

523a2h2c2x20-2

3x+5y=19,

3.用克拉默法则解线性方程组\

2x+3y=12.

第二节矢量概念及矢量的线性运算

1.若已知矢量〃和6,画出下列矢量：

-15-

(1)Q+人，(2)〃+Q,(3)a-h,(4)h-a.

2.若已知矢量。和b,画出下列矢量：

(1)3〃，(2)—b,(3)3。H—b•

22

3.设平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为M

并设，AB=nt,AD=n＞试用矢量相，〃表示矢量

AC,BD,M4,MB,MC,MD.

4.设北〃是两个非零矢量，试求它们夹角的平分线上的单位矢量.

(提示：取以，根为邻边的平行四边形，调整其邻边使其成为菱形).

第三节空间直角坐标条与矢量的金标表达式

1.求空间直角坐标系中两点(1,3,2),M2(2,-l,3)间的距离.

2.已知两点(1,J5,4),M2(2,0,3),求矢量加1知2的模、方向余弦和方向角.

3.设a,尸,尸是一个矢量的方向角，证明sin2a+sin23+设n2y=2.

4.设有三个力+3f2^2i-2j+3k,力=3i—攵作用在同一物体上，求合

力大小和方向余弦.

5.已知两点A(3,-2,7)和5(5,0,5),试求方向与A3一致，模为4的矢量c的坐标表达式.

6.设有两点A(3,-1,2),3(4,2,-5),试求⑴线段A8的

中点M的坐标，(2)线段AB的三等分点耳，£的坐标.

第四节两矢量的数量积与矢量积

1.设矢量p=a+2b,q=2a—3b,其中同=1]4=2/?/的夹角为《，试求：

⑴pq,(2)P，q的模,(3)p与q夹角的余弦.

2.已知a,b,c两两成60°角,且同=4,|同=2,同=6,

求卜+6+c|.

3.己知矢量a=3i—/+4左，b-i+j—2k,c-3j+k,

试求：(l)a-b,(2)a-c,(3)(2a)•S-3c).

4.已知A(2,2,2),B(3,3,2),C(3,2,3),求矢量AB与AC的夹角。，以及AB在AC上的投

影.

5.己知同=1]4=2"川勺夹角为试求：卜

6.已知矢量。=j—J+2A,b=4i+2j+k,

试求：(l)axb,(2)(3a+2/?)*a.

7.试求与两矢量。=21+2/+左、Z?=-i+5J+3左都垂直的单位矢量.

-16-

8.设一三角形的三顶点为A(2,2,2),3(4,3』),C(3,5,2),求该三角形的面积.

第五节矢量的混合积与二重矢积

1.已知矢量a=31+攵，b——i+4j+2k,c=3j—2k,

试求：(l)a-(/?xc),(2)ax(》xc),(3)以a、b、c为棱边的平行六面体的体积.

2.求以A(l,l,l),8(3,6,8),C(5,10,3),D(l,-1,7)为顶点的四面体的体积.

3.证明A(1,1,O),3(4,4,5),C(11,9,8),£>(8,6,3)四点在同一平面上.

4.设a+/?+c=O,证明：axb=bxc=cxa.

第六节平面与直线方程

1.求满足下列条件的平面方程：

(1)过点〃(1,3,—2)且平行于平面2%+3了-2+5=0,

⑵过点M(l，2,3)和过点“2(2,4,2)且垂直于平面3x-y+4z+2=0,

(3)过三点A(0,l,2),8(-3,5,T)和C(—2,4,l).

2.求满足下列条件的直线方程：

(1)过点M(l,-2,0)且平行于直线工一=号一=-J,

(2)过点(2,1,T)且同时垂直于矢量a=6i+3/+左和b=2i+4/+5Z,

(3)过两点Al,(1,-1,2)，A/2(2,-l,7).

3.求通过直线点二二口=江2=出且平行于直线/,：2=[=三的平面方程.

'2342112

4.求过点M(1,O,-2)且与平面2x+y—l=0及x-4y+2z-3=0都平行的直线方程.

2x—y+3z—1=0,

5,将直线的一般方程《,化为对称式方程和参数式方程.

5x+4y-z-7=0

6.求直线妇=2/=：与平面x+2y+2z+6=()的交点.

7.求过直线14”一丁+32-6=0,且垂直于平面2%一3；+52—5=0的平面方程.

x+5y—z+10=0,

8.求点P(1,T,5)在直线1'一一’上的投影点的坐标.

x+2z=0

9.求点〃(一1,2,0)在平面上x+y+3z+5=0的投影点的坐标.

10.试求通过直线/+*+z=0,并与平面》一分一8z+]2=o构成工角的平面方程.

x-z+4=04

-17-

第七节曲面方程与,空间曲线方程

1.求下列球面方程

(1)一条直径的两个端点分别为(5,4,2)和(1,-2,2),

(2)球心在(6,—8,1)且与。z轴相切.

2.指出下列方程所表示的曲面名称，并画出其图形：

(1)./+z2=2y,(2).x+z=2,(3).f=4z.

22

3试求以原点为顶点，以平面z=2上的椭圆二+上=1为准线的锥面方程，并画出其图形.

259

4.试求平面上的曲线/+2x=0,分别绕Ox轴和Oy轴旋转一周所生成的旋转

曲面方程，并画出其图形.

5.试求通过两曲面V+y2+4z2=l和V=y2+z2的交线/,且母线平行于Oz轴的柱面

方程，及/在。町平面上的投影曲线方程.

6.求下列曲线在平面上的投影曲线方程：

x2+(y-2)2+(z-l)2=25,\x2+y2=z,

⑴〈，，,(2)J

x+y-+z-=16,[z=3.

3x+2y—4z—5—0,

7.试求直线L：＜在Oxy坐标平面上投影直线方程.

6x—y-2z+4=0

8.试求下列空间曲线的参数方程:

z=x2+y2,x2+y2+z2-a

(1)〈

z=4,x-y=

第八节二次曲面

1.指出下列方程所表示的曲面名称，并画出其图形.

2222

(1)+——I---=1,(2)36x~+9y~—4z=36,(3)x2+-.....=0.

4949

222

2.写出曲面方-或+彳=1分别被平面x=2,y=(),z=2的截割后所截得的曲线方程.

3.画出下列各组曲面所围成的立体图形.

(l).x+y+-|=l,x=0,y=0,z=0,⑵.z=x2+y2,x=0,y=0,z=0,x+y=l,

(3).x2+y2+(z-7?)2=T?2,%2+y2=z2(z>0),(4)x2+y2=2-z,z=0,

(5).f=1—z,%?+=],y-Z+2=0.

5.2复习题

一.单项选择题

1.下列陈述正确的是().

-18-

A.因为a,h是单位矢量，必有a=hB.3i>j

C.若a-b=a・c,则必有b=cD.若,一耳=,+.，则必有a_LZ?.

2.设a,4,7是一个矢量的方向角，则有（）.

A.a+J3+y=7rB.sin2a+sin2J34-sin2/=2

C.。+4+7=24D.。,尸,/可以是任意数.

3.己知M=1,W=5且a•/?=—3,则,xZ?|=（）.

A.4B.3C.5D.-4.

、rt士,hrX—1V—5Z+8X—y=6,.,,IAr.r-t

4.设直线£[：--=-----=-----与直线右r：，则4与，的夹角是（

1-21[2y+z=3,

A.-B.-C.万D.

64y2

二.填空题：

1.已知点P的坐标xvO,y>0,z>0,且到元轴，y轴，z轴的距离

分别是5,3石,2V13，则点P的坐标是，

2.已知向量。=3i—，+2人的终点与M(l,0,-1)重合，则a的起点坐标是

3.过点P(3,0,2)且与平面x—2y+5z+9=0平行的平面方程是

x—2y+z—2,

4.过点。(1,2,-1)且与直线1"平行的直线方程是____________

3x+y-z=1

三.计算题

1.设有如图所示的长方体。4BC-OEFG,

试求：

(1)0。在6G上的投影，(2)AACE的面积,

(3)四面体8EFG的体积.

2.设a=2i-j—2k,b=6i—3j+2k,试求:

-19-

(1)a-b,(2)〃x。，(3)(2a+0)・(a—。)

(4)(2a—〃)x(a+3b).

3.求点M(2,3,0)到直线—=^—=—

32-1

的距离.

4.求过点陷(2,—1,3)和点用2(3,L2)，且垂直于平面3x-.y+4z+2=0的平面方程.

一v+3z—1—0

5.将直线的一般方程\?'化为对称式方程和参数方程.

x+2y-3z-8=0

四.证明题

5x-3y+2z-5=0,

1.证明直线4)落在平面4%—3y+7z-7=上.

2x-y-z-l=0

*2.原点到平面£+上+.=1的距离为d,则有等式

abc

5.3参考答案

第一节二阶、三阶行列式及线性方程组

222

1.(1)10，(2)a(c—b)+b(a—c)+c(b—a).2.xx-2,x2=A.3.x=3,y=2

第二节矢量概念及矢量的线性运算

3.AC=