【中学数列的解题及教学探究8000字（论文）】

中学数列的解题及教学研究TOC\o"1-2"\h\u245911绪论 174701.1中学数列研究背景和意义 177691.2国内外研究动态 2244952中学数列的知识组成分析 3168613中学数列的解题研究 427403.1学生练习数列的相关例题来源 6318043.2学生对解题的看法 6135463.3教师对解题的看法 6201553.4笔者对解题的看法 7129694中学数列的教学设计 1115342湘教版必修四第九章第三节第一课时 11259561.知识与技能 11112342.过程与方法 1160693.情感、态度与价值观 1116008（1）教学重点 1221148（2）教学难点 1226213总结 1515855参考文献 151绪论1.1中学数列研究背景和意义1.1.1研究背景中学数列在高中数学中占据着重要的地位和作用，学习数列主要是为了培养学生的逻辑推理能力，运算能力和归纳概括能力和勇于探究的思想能力等等。同时，数列在高考中所占的比例高居不下，无论是理科还是文科试卷中都有出现单独考数列知识，或者是与其他知识相结合的综合应用。中学数列的学习其实也是在学生发展的促进方面起着重要的一方面，有趣的教学氛围，既贴切生活又有效果的问题情境导入，会激发学生学习数列的积极性[1]，以及有利于学生克服对于中等偏难的数列的心理，让学生充分理解和掌握数列解题的思路和套路。新课标的提出，教学教育要适应时代进步的步伐，提倡学生为主体，教师为主导的教学模式，要充分地调动学生对数学课的学习积极性以及激发学生学习的主观能动性，这要求教师要更加注重教学质量和课堂教学设计以及对解题思路的研究。但是在实际生活当中，以分数论为主的现实社会，很多学校的教学课堂还是主要以教师为主的教学模式，长期以来，我国的教学课堂是处于一个相对对其他国家来说是一种比较严肃的氛围下进行教学的。同时，在课堂管理中，很多教师都害怕过于放松导致课堂较为松散，不好控制，有失教师的尊严，而且学生也会产生对教师的畏惧心理，往往导致学生与教师之间有着一条没有界限的代沟，这样子的后果是很多学生会因为课堂氛围比较沉闷而容易分心，逐渐跟不上学习内容的进度，也逐渐丧失了对学科学习的兴趣[2]。1.1.2意义1.1.2.1有利于整个课堂教学氛围的活跃，提高整节课的教学质量“分数论”是现实生活的主宰，所以现实中有的数学教师对整体的教学课堂实质上是不够合理安排的，也有的教师只是重效率轻质量又或者是着重于讲究课堂的有序性而忽视课堂的学习氛围，又有的教师是直接忽视了课堂教育的三维目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观，导致整个课堂的教学质量有所下降。有趣、高效的数列教学设计与解题研究有利于提高数学教师在讲解数列知识点内容时具备有一定的规律性和可操作性，从而帮助数学教师提高课堂教学质量。教师课堂教学质量的提高，同时围绕着教学中的三维目标也会有利于学生对数列知识的学习，引发学生学习数列而产生的积极的主观能动性，这对促进学生主动参与到学习的海洋当中和发展学生的思维能力具有非常重要的意义。1.1.2.2有利于学生个人发展的需要素质教育提倡学生是整个学习环节的主体，而教师的作用是主导学生，引导学生在活动过程中学会学习。整个课堂教学环节是与学生息息相关，课堂的有效与学生个人发展相挂钩，有效地教学设计使学生与老师之间，学生与学生之间有更多的互动性，有利于促进学生智力因素与非智力因素的发展，激发学生的求知欲和探索欲，促进学生的健康发展。1.2国内外研究动态1.2.1国内对中学数列设计与解题研究的看法国内教育技术专家何克抗教授认为教学设计是“运用系统方法，将教学理论与学习理论的原理，转换成对教学目标与教学内容的分析、教学策略与教学媒体的选择、教学活动的组织以及教学评价等环节进行具体计划的过程”[1]。学者高洪菊在《高中数列数学研究设计》主要是从教学对象、教学目标、教学策略和教学评价这四个主要因素进行教学设计。但是，对学生该如何学的这个问题涉及的还是比较少的，更多的是侧重在老师的教的角度上[1]。学者孟祖国在其硕士论文《高中数列的有效教学研究》中探索研究了高中数列概念、公式等部分内容，并给出有效的教学策略，比如说通过类比和合理设置情境等来帮助学生掌握数列知识，并列出了9条提高数列课堂有效建议[2]。1.2.2国外对中学数列设计与解题研究的看法对于数列教学设计的研究中，美国数学家和数学教育家波利亚认为“中学数学教学首要任务是加强解题训练”，他对于中学数列的解题研究是将解题过程分为四个阶段，第一阶段为理解数列相关题目意思，第二阶段为拟定解决数列问题的方法，第三阶段是执行已经拟定的方法，第四阶段是已经解决的题目中回顾所利用的方案，从中得出新的结论[5]。古希腊毕达哥斯拉学派对“形数”问题的研究为数列以后的发展和研究打下基础[5]。在莱因得草稿纸上有一张财产表提到房屋的数目，猫的数目，老鼠的数目，和麦穗的数目，以及房屋的容积，总数是多少？这同样是一种数列的教学设计问题[5]。索明斯基的著作《数学归纳法》中运用“数列求和”对定理与例题进行研究；波拉斯基的著作《中学数学数学法》对数列前项和的计算中，“数列和级数”的学习意义进行了讲述[5]。2中学数列的知识组成分析《数列》这一章是在湘教版的第九章中，这是在结合了之前学习过的函数，方程，算数等基础上综合应用，又为后边学习的不等式做铺垫，其中又彰显了数列的特别之处，因此可以看出来，在数列的知识结构上应该要结合课时安排，习题安排，涉及到的思想方法等方面进行设计的。《数列》全章主要分为四个部分，其中第一部分是数列的概念，分为2个课时，第1课时主要是理解数列的概念和分类，用观察法求数列的通项公式以及数列通项公式的简单应用；第2课时是判断数列的单调性，利用递推公式求出数列的项和求数列的最大值与最小值。第二部分是等差数列，分为4个课时，第1课时是理解和掌握等差数列的相关概念和通项公式，并且会运用三种判定等差数列的方法：定义法、通项公式为的一次函数方法、等差中项法和三个数成等差数列，则得到为其他两个数的等差中项，这一结论经常出现在已知等差数列的题目中；第2课时是探索等差数列的相关性质以及在实际中的综合应用；第3课时是掌握等差数列前项和的公式基本计算和结合等差数列的性质的综合应用；第4课时是在等差数列通项公式的基础上用数列的前项和的关系求，求等差数列前项和最值问题的三种解法：二次函数法，通项公式法，求等差数列前项的绝对值之和，关键是找到数列的正负项分界点。第三部分是等比数列，分为3个课时，第1课时是等比数列的概念与通项公式，判断和证明等比数列的3种方法：定义法、等比中项法、通项公式法，等比中项的应用，但是在高中课堂中常用的方法只有定义法，所以在教学课堂中只选用定义法；第2课时是等比数列性质的求解应用；第3课时是求解等比数列的前项和的方法：分组求和，错位相减法和裂项相消法。第四部分是分期付款的实际应用。《数列》是通过问题探索——兔子问题引出斐波纳奇数列，到通过超市里的罐头排列引出数列的相关概念，再通过家庭用电量引出数列是函数的一种特殊表现，从现实社会住宅小区绿化建设出发引出等差数列的定义，并且通过累加法探索等差数列的通项公式。通过对折草稿纸的次数引出等比数列的概念公式，利用古印度打赏小麦的有趣故事引出等比数列的前项和公式，并引出等差数列和等比数列在生活中的应用。3中学数列的解题研究高考是作为考验学生学习成果的重要考查标准之一，这不仅仅是因为紧贴着新课程标准，而且也将高中数学的必修课程和选修课程精修提炼，所以对于数列的研究也是全国数学专家和学者们一直关注并且研究的对象。本论文中选取了2018年到2020年全国高考卷Ⅲ的试题，记录下近三年高考中文科试题和理科试题所涉及数列问题的试题，所得结果如下表1：表1近三年高考理科和文科试题分析试卷出现的题型所占的分值（%）考查内容和难易程度2020年全国高考卷Ⅲ（理科）解答题一题0.08考查的是求数列的通项公式和数列的前项和，难度中等2019年全国高考卷Ⅲ（理科）选择题一题填空题一题0.07选择题根据等比数列前项和求值，难度不大；填空题考查的是等差数列的前项求和公式，难度不大2018年全国高考卷Ⅲ（理科）解答题一题0.08考查的是等比数列的通项公式和前项和，计算量中等，难度中等2020年全国高考卷Ⅲ（文科）解答题一题0.08主要考查等比数列的通项公式和已知数列前项和条件，求未知数的值，第一问难度不大，第二问难度中等2019年全国高考卷Ⅲ（文科）选择题一题填空题一题0.07选择题是已知等比数列的前项和值和等比数列的关系，求，值；填空题是考查知道等差数列项和和部分值，求前10项和，难度不大2018年全国高考卷Ⅲ（文科）解答题一题0.08考查等比数列的通项公式和利用等比数列项和求前项的值，难度中等通过分析可得知，试卷中涉及数列的类型主要包括了求解等差数列和等比数列的前项和公式和通项公式的求解这两大类型，这两大类型中也涉及到了性质定理等差中项和等比中项问题，而且近几年来的高考题中考查难度不高，均为中等偏下，所以笔者将中学数列分为求解通项公式、前项和、等差中项和等比中项、数列的判定与证明这四类题型基本问题[3]。由于容县中学高中部数学骨干教师较少，所以通过与容县中学高中部的三名骨干教师和十位已经学过了数列的高二年级学生的访谈，容县中学是一所特色性中学，学生的数学基础非常薄弱，所以根据与这几位教师和学生交流得出以下几个方面的解题研究。3.1学生练习数列的相关例题来源教师根据高考出现的试题以及学生接受知识的能力，选择的例题一般有三个来源：新课程学习与测评，书本后面的练习题、学而时习之题目和网络。因为高考所涉及的题型难度都不大，也是常用的套路，所以书本里面的练习大部分习题都是具有异曲同工之妙，就是因为这样才显得缺乏丰富的层次感，同时也会使得接受能力较强的学生产生习题疲劳，让基础较为薄弱的学生更加无所适从；网络上和新课程学习与测评上的习题类型较多，而且也有丰富的层次感，适合不同阶段的学生，不同层次的学生选择难度不一的习题，但是还是最主要抓最基础的习题来练习，所以教师一般都会根据高考的类型选择相应的题目或者是自己制定有针对性的练习，新课程学习与测评里的活页作业为学生提供了重要的来源。3.2学生对解题的看法对于数列的相关问题，被访谈的学生都认为数列在选择题和填空题中是比较容易能拿分的，解答题中失分会比较多。因为他们对数列的相关知识点、概念、性质等知识点掌握得不够到位，在计算中容易出现混淆而出现的错误。针对这一方面的问题，学生都希望教师能够侧重于讲解基础性的题目就够了，即只需要讲解等差数列和等比数列的通项公式、等差中项和等比中项，以及求数列的前项和。3.3教师对解题的看法针对高考题，这三位教师都一致认为万变不离其宗，无非就是考通项公式和求数列的前项和。教师一般会根据分析题目中的已知条件，有条理性地罗列出条件，逐渐引导学生从已经学习过了的等差数列和等比数列的概念和通项公式出发，一步步算出最终结果，同时也通过同类型题目的改变将条件形成新问题转化思想，加强学生的记忆也从中培养学生的算数能力和归纳能力。其次，教师一定要根据学生的学情注重对知识的巩固，在解题过程中要讲明整道题目的思路，注重对知识点的重复回顾复习和通性通法。同时，教师认为本校的学生基础比较薄弱，一定要重复地针对数列的通项公式和前项和基本概念进行讲解，要侧重于对基本类型通性通法的巩固。3.4笔者对解题的看法根据高考试题的分析可以发现高考的类型大概有三种类型：第一，已经知道的条件或者局部值，求公比或者是求整体值；第二，已经知道前项和或者是的通项公式，求局部值或者是求其通项公式；第三，已经知道是等差数列或者是等比数列的基本关系，求等量关系或者是求公差。3.4.1已知的条件或者局部值，求公比或者是求整体值例一：是公比不为1的等比数列，为的等差中项，求解的公比。像这例题的突破口主要有两个：等比数列的通项公式和等比中项。首先让学生感受并且想办法帮助学生如何从题目中寻找到突破口，提示学生等比数列的通项公式为和根据等差中项得出，从这两个条件出发假设公比为，则，式（1）得，式（2）即（舍去），式（3）得到等比数列的公比，式（4）例二：在等比数列中，，则求的值。这种题型主要是从等比中项出发，引导学生从等比中项的公式出发，同时也让学生观察下标数字的变化，从而从局部推向求知。在观察中可以发现式（5）所以得到式（6）3.4.2已知的通项公式或者是前项和，求局部值或者是求其通项公式例三：假设是等比数列，且通项公式为，求前4项和。要求数列的前项和，先引导学生回顾等比数列的公比的计算公式为式（7）和前项和公式式（8）其次再让学生根据已知条件的通项公式和公比计算公式求式（9）和公比式（10）进而计算前4项和为式（11）例四：假设的前项和，则求的通项公式。已经知道了前项和公式，求通项公式的类型时提示学生要分析和这两种情况。利用和的关系求出通项公式。即，当时，式（12）所以得式（13）当时，让学生根据已知公式进行计算，得到式（14）求得式（15）即式（16） 所以有是以1为首项，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得出其的通项公式为式（17）3.4.3已知等差数列或者等比数列之间的关系，求等量关系或者是求公差例五：设是等比数列，已知，求的值。这种类型是已经知道了该数列为等比数列，考查的主要是等比数列的通项公式，需要学生有相应的逻辑推理能力和运算能力。先让学生观察与和之间的关系，其实已经构成了等比数列的公比，而等比数列的通项公式为，可以利用和计算出该等比数列的公比：式（18）进而利用等量关系式（19）求出的值式（20）知道首项的值和公比就可以求出式（21）例六：设是等差数列，且，求公差的值。这种题型是已经知道两个式子都是4项相加的等差数列，仔细观察等差数列的下标，前一个式子的每一项对应后一个式子的每一项都相差了，即式（22）所以有式（23）即式（24）故有式（25）3.4.4总结总之，让学生体会这三中类型的外在表现形式和内在结构特点[4]，已知数列的某一项，多数都可以转化为等差数列或者是等比数列的通项公式或者是前项和公式，利用消元法或者待定系数法来解决问题；求等差数列或者是等比数列的前项和，可以根据题目中的相关条件，如果是等差或者等比数列的前项和，则利用基本的公式法进行求解，如果是特殊的数列前项和，则想办法转化为等差或者是等比数列进行求和。4中学数列的教学设计（以等比数列第1课时为例）等比数列第1课时教学设计【课题】湘教版必修四第九章第三节第一课时【课型】新授课【地位与作用】本节课内容是讲解等比数列的概念、通项公式和等比中项，是在学习了等差数列的概念和通项公式以及等差中项的基础上进行的，同时也是为下一节课等比数列的前项和的求法做好铺垫，起到承上启下的作用。【教学目标】知识与技能经历运算等比数列的运算和代数的抽象过程，掌握等比数列的通项公式和等比中项的定义的基本知识与等比数列的运算基本技能。参与到等比数列的运算实践活动中，积累利用等比数列知识，运算技能和方法解决有关于数列的简单的应用问题的数学活动经验中。过程与方法通过实践操作和丰富的数据分析运算，在观察并且归纳等比数列的概念与等比数列的通项公式的推导过程中认识到等比数列与等差数列同样也是一种数学模型。能够进一步渗透从函数的角度去看待并处理等差数列的相关问题，培养发现问题和提出问题的能力，分析问题和解决问题的能力，归纳推理和应用数列公式的能力。情感、态度与价值观通过对等比数列概念和通项公式的研究应用，体验获得等比数列中从特殊到一般，再从一般到特殊的事物发展规律的乐趣，培养仔细观察，认真归纳，大胆猜想并求证的思维习惯。激发学习数学的兴趣和爱好，培养敢于探索，勇于求真的求知精神和科学态度。【教学重难点】教学重点理解等比数列的定义，会用定义判断等比数列，掌握等比数列的通项公式和等比中项的概念，会用等比数列公式解决一些简单的问题，体会等比数列与一次函数之间的关系和联系。教学难点掌握等比数列的通项公式，以及掌握等比数列的公比一定是后一项与前一项之比，能从等差中项的角度推导出等比中项，并会运用到应用中去。【教学方法】讲授法，启发式教学法，合作交流，自主探索【教学工具】【教学手段】多媒体辅助教学【教学过程】表2等比数列第1课时教学过程过程问题教师活动学生活动设计意图问题情境，引入新课（1）动手操作，拿一张纸重复对折，可以对折对折几次？你知道为什么吗？组织学生拿出一张纸，引导学生重复对折纸张，并计算能对折的最多次数通过重复对折纸张，并记录下来能重复对折的次数，发现对折次数完成到9次就已经很困难了由学生自己动手操作，记录下纸张对折的次数，引起学生的兴趣，为本节课的学习内容做好铺垫（2）为什么纸张重复对折的次数这么少呢？观察书本50页的表格，你们从中又得出什么规律呢？引导学生由对折次数中所蕴含的等比数列关系发现纸张的厚度随着每一次的对折就增加一倍，而且纸张也随着对折的次数增加而相应地减少一半，从中发现等比数列的相应关系在纸张对折中发现等比之间的关系，从而引出等比数列的概念和通项公式，也激发学生学习等比数列的探索欲望（3）在上一节中我们学习了等差中项，那等比数列中会不会也有等比中项呢？带领学生回顾等差中项的同时，引出等比中项跟随教师的思路复习等差中项，从等差中项的规律中得出等比中项温顾上一节课的知识点，培养学生自主学习能力，促进学生对旧知识进一步的巩固，同时探索新知识例题讲解已知数列的前项和，求数列的通项公式，并判断是否为等比数列在等比数列中，，公比，则求等比数列的通项公式；若成等比数列，则求的值；教师根据等比数列的概念和通项公式引导学生学会判断等比数列的常用方法：定义法，同时加深学生对等比中项的理解认真听讲并做好笔记理论与实际相结合，加快学生对知识点的掌握，培养学生由特殊到一般的能力练习巩固已知等比数列中，，求数列的通项公式；已知是方程的两个根，求的等比中项组织学生5分钟内完成，学生写练习期间到学生中去检查，了解学生作业完成情况及时辅导学生在规定时间内完成练习，遇到问题可以寻求帮助进一步巩固所学知识，将知识内化成心中的知识。进而将本节课的知识进行升华和归纳。课堂总结（1）等比数列的判定方法为（2）等比数列的通项公式为（3）等比中项：

教师由问题的解答过程中不断地归纳总结，并提醒学生做好笔记认真听教师评讲并做好课堂笔记起归纳总结作用，使