简单比较性的实验

PAGE简单比较性的实验简单比较性的实验Chap2.SimpleComparativeExperiments 過程過程(設備、方法、人與其他資源的組合)輸入x輸出y可控因子x不可控因子z考虑2种条件(亦称2种处理)的实验，此种实验常称之为『简单的比较性实验』(SimpleComparativeExperiments)。2-1简介(Introduction) Portland水泥泥浆的结合力为此产品的一重要特性，欲比较原配方与新配方的结合力，此为两种不同的配方为两种处理，或是因子(Factor)配方为两个水准(Level)。Portland水泥泥浆配方实验之结合力数据i新配方(kgf/cm2)原配方(kgf/cm2)116.8517.50216.4017.63317.2118.25416.3518.00516.5217.86617.0417.75716.9618.22817.1517.90916.5917.961016.5718.15平均值16.7617.92 上表数据可以点图(DotDiagram)检查。两种配方结合力之平均值，分别为新配方为16.76(kgf/cm2)、原配方为17.92(kgf/cm2)。此两样本平均值的差(1.16kgf/cm2)似乎不是微不足道，但此差值是否大到足以证明两配方『真的不同』。当然亦有可能此差值是抽样误差的结果，而事实上此两种配方是『真的一样』。 一种称之为假设检定(HypothesisTesting)(亦称显着性检定(SignificanceTesting))之统计推论技巧可比较此两种配方。故先回顾一些基本的统计概念。2-2基本统计概念(BasicStatisticalConcepts) 上述水泥泥浆实验中每一个观测值(Observation)都称为一个试验(Run)。其中个别试验的结果均不同，其结果中有波动或有噪声(FluctuationorNoise)，此称为实验误差或误差(Error)，亦是一种统计性误差(StatisticalError)，意即其不可控、无法避免的变动所引起。有误差或噪声的存在即意味着反应变量(结合力)，是个随机变数(RandomVariable)。随机变量又分离散型与连续型二类。变异性之图示法(GraphicalDescriptionofVariability)点图能视出观测值的一般位置(Location)或中央趋势(CentralTendency)及其离散(Spread)程度。15151617181920平均值(原)17.92平均值(新)16.67图2-1结合力点图直方图(Histogram)的建构为：将横轴分成区间(通常是等宽)，在第j个区间上为一个长方形，长方形的面积与nj(落在第j个区间的资料笔数)成正比。图2-2直径为10mm测得100个数据之直方图。盒图或盒须图(BoxPlotorBoxandWhiskerPlot)： 盒图中有极小值、极大值、Q1、Q2、Q3。图2-3泥浆结合力之盒须图机率分配(ProbabilityDistribution)一个随机变量y的机率结构是由其机率分配来描述。倘y是离散型，y的机率分配以p(y)表示，称为y的机率函数；若y是连续型，y的机率分配以f(y)表示，称为y的机率密度函数。下图为假设之离散型与连续型之机率(密度)分配图，离散型分配中，函数p(y)的高度代表是在该点之机率；连续型分配中，曲线f(y)在某区间的面积才代表着机率。图2-4(a)离散型机率分配图2-4(b)连续型机率分配机率分配之性质摘要如下y离散型：0p(yj)1 所有yj值P(x=yj)=p(yj) 所有yj值p(yj)=1 所有yj值y连续型：0f(y) P(axb)=平均值、变异数与期望值一个机率分配的平均值(Mean)是其集中趋势或位置的一量测。其定义为= y连续型 (2-1)=yp(y)(所有y值) y离散型亦可将平均值表示为随机变量y的期望值(ExpectedValue)。其定义为=E[y]= y连续型 (2-2)=E[y]=yp(y)(所有y值)y离散型其中E代表为期望值运算子(ExpectedValueOperator)。一个机率分配的变异数(Variance)是其离散趋势。其定义为2= y连续型 (2-3)2=(y-)2p(x)(所有x值) y离散型亦可将变异数以期望值表示。其定义为2=E[(y-)2] (2-4) 另变异数的使用亦可定义为变异数运算子(VarianceOperator)V表示 V[y]E[(y-)2]=2 (2-5)有关随机变数y之平均值与变异数2与常数c，则E[c]=c ；(2)E[y]= ；(3)E[cy]=cE[y]=c(4)V[c]=0 ；(5)V[y]=2 ；(6)V[cy]=c22(7)E[y1+y2]=E[y1]+E[y2]=1+2(8)V[y1+y2]=V[y1]+V[y2]+2Cov[y1,y2]其中Cov[y1,y2]=E[(y1-1)(y2-2)] (2-6)为随机变数y1与y2之共变异数(Covariance)。如y1与y2是独立的，则Cov[y1,y2]=0。(9)V[y1-y2]=V[y1]+V[y2]-2Cov[y1,y2]倘y1与y2是独立的，则(10)V[y1y2]=V[y1]+V[y2]=12+22(11)E[y1y2]]=E[y1]E[y2]=12一般而言，不论y1与y2是否独立 (12)E[y1/y2]E[y1]/E[y2]2-3抽样与抽样分配(SamplingandSamplingDistributions)随机样本、样本平均与样本变异数 统计推论的目的是利用样本中之信息对母体作结论。一般研究都假设样本为随机样本，即母体有N个元素而从中选出n个样本，则所有的C(N,n)(=N!/(N-n)!n!)个可能样本中，每一个被选中的机率均等，则使用之方法称为随机抽样，可用随机数表辅助之。统计推论常用样本观测值来计算数值。定义一个统计量为不包含未知参数的任何样本观测值的函数，如，y1,y2,.,yn为n个观测值之样本，则样本平均值(SampleMean)=(yi)/n (2-7)与样本变异数(SampleVariance) S2=(yi-)2/(n–1) (2-8)二者均为统计量。S=(S2)1/2称之样本标准差(SampleStandardDeviation)。样本平均与变异数的性质样本平均值是母体平均值的点估计，样本变异数S2是母体变异数2的点估计。一个未知参数的估计式(Estimator)即是对应参数的一个统计量。从样本数据所算出的估计量的数值则称之估计值(Estimate)。一个『好』的估计式需具备最重要的二性质：点估计式应不偏的(Unbiased)，即其长期平均值或期望值应该就是要估计之参数值。一个不偏估计式应具有极小的变异数。下列证明与S2分别为与2的不偏估计式：E[]=E[(yi)/n ]=(1/n)E[yi]=(1/n)E[yi]=(1/n)=因为每个观测值yi的期望值是，故是的不偏估计式。E[S2]=E[(yi-)2/(n–1)]=1/(n-1)E[(yi-)2]=1/(n-1)E[SS]其中SS=(yi-)2是观测值yi，i=1,2,…,n的(校正)平方和(CorrectedSumofSquares)。则E[SS]=E[(yi-)2]=E[] (2-9)=(2+2)–n(2+2/n)=(n-1)2 (2-10)所以， E[S2]=1/(n-1)E[SS]=2故S2是2的不偏估计式。自由度(DOF,DegreeofFreedom) (2-10)式中的(n-1)被称之为平方和SS的自由度。倘y是一变异数为2的随机变数，且SS=(yi-)2有个自由度，则 E[SS/]=2 (2-11)一个平方和的自由度就是该平方和中独立元素的个数。如，(2-9)中的SS=(yi-)2为n个元素y1-,y2-,..,yn-的平方和，但这些元素不是独立的，因为(yi-)=0；故只有(n-1)个是独立的，此意味SS有(n-1)个自由度。常态及其它抽样分配(TheNormalandOtherSamplingDistribution) 倘知样本来自某母体机率分配，则一个特定统计量的机率分配可被决定。统计量的机率分配称之为抽样分配(SamplingDistribution)。常态分配是一最重要抽样分配，如，y是一常态随机变量，则y之机率分配为， -y (2-12)其中-是分配之平均值，20是变异数。图2-5常态分配 因实验误差造成试验结果不尽相同的现象可由常态分配描述得非常好，所以常态分配在分析实验数据时扮演一主要角色。一般以y~N(,2)表示。常态分配的一重要特例是标准常态分配(StandardNormalDistribution)，即=0，2=1。则 z=(y-)/ (2-13)将符合标准常态分配，一般以z~N(0,1)表示。(2-13)式常称之为标准化(Standardizing)常态随机变量y。定理2-1中央极限定理(TheCentralLimitTheorem)如，y1,y2,…,yn是一组独立且相同分配的随机变量，E[yi]=及V[yi]=2，且x=y1+y2+…+yn，则 zn=(x-n)/(n2)1/2=(-)/(/n1/2) 具有一个近似N(0,1)的机率分配，即如，Fn(z)是zn的累积分配函数和(z)是N(0,1)的累积分配函数，则lim(n)=[Fn(z)/(z)]=1。 其结果本质上是n个独立且相同分配的随机变量之和是近似常态分配。某些情况，即使n<10此近似亦很『好』，但有些时候需要较大的n值，如n>100。一般常将实验误差想象为数个独立误差来源的加总，故常态分配成为实验误差的一个合理、可信的模型。 可用常态随机变量来定义卡方分配(Chi-square,2)。如，z1,z2,…,zn是k个独立且相同分配的常态随机变量、期望值为0、且变异数为1，简记为NID(0,1)(NormallyandIndependentlyDistribution)，则随机变数x=z12+z22+…+zk2将依循一个自由度为k之卡方分配。卡方分配的密度函数：，x0 (2-14)图2-6是卡方分配图，其分配为不对称或偏斜的(Skewed)，其平均值与变异数分别为=k； 2=2k图2-6卡方分配(k=1,5,15) 假设y1,y2,…,yn是来自N(,2)分配的随机样本，则SS/2=(yi-)2/2~2n-1 (2-15) 即SS/2的分配为自由度n-1的方卡，即常态随机变量的平方和除2会依循卡方分配。 由(2-8)式，S2=(yi-)2/(n–1) (2-8) 则样本变异数可为，S2=SS/(n–1) (2-16)如样本的观测值为NID(,2)，则S2的分配为[2/(n-1)]2n-1。 所以样本的变异数的抽样分配为一常数乘以卡方分配，如母体分配是常态。 如z与2k分别为独立的标准常态与卡方随机变量，则随机变量，随机变数 (2-17)依循k个自由度的t分配，通常以tk表示。t机率密度函数，-y (2-18)其期望值与变异数为：=0； 2=k/(k-2) whenk2。 图2-7t分配(k=1,10,100) 当k=，t分配将成为标准常态。假设y1,y2,…,yn是来自N(,2)分配的随机样本，则t=(-)/(S/) (2-19)的分配为自由度n-1的t分配。 倘2u与2分别为二个独立卡方分配，则随机变量 Fu,=(2u/u)/(2/) (2-20) 依循分子u个自由度、分母个自由度的F分配，通常以Fu,表示。F机率密度函数，0x(2-21)其期望值与变异数为：=； 2=。 图2-8F分配(u=4,=10,30;u=10,=10,30)假设分别来自二个独立的常态母体(变异数均等)的随机样本，各取样本n1,n2(y11,y12,…,y1n与y21,y22,…,y2n)，其各别样本变异为S12与S22则 (DOF=n1-1,n2-1) (2-22)2-4平均值差的推论，随机化设计(InferencesabouttheDifferencesinMeans,RandomizedDesigns) 回顾水泥浆结合力的问题，其比较两种配方之结合力是否有异。本节将讨论假设检定(HypothesisTesting)和信赖区间(ConfidenceInterval)之方法分析此简单的比较性实验。本节假设使用完全随机化实验设计(CompletelyRandomizedExperimentalDesign)，即数据视为来自常态分配之随机样本。2-4.1假设检定(HypothesisTesting) 回顾水泥浆结合力的问题，其比较两种配方之结合力是否有异，两种配方(原配方与新配方)即此因子(配方)有2水准(原与新)，假设分别各取样本n1,n2(y11,y12,…,y1n与y21,y22,…,y2n)，如图2-9所示。图2-9取样情形此数据模式(AModelforData) 一般常用一个模式来描述实验结果，此资料(简单的比较性实验)之统计模式为：※yij=i+ij, i=1,2； j=1,2,…,ni (2-23)式中： yij：因子第i水准之第j次观测。 i：因子第i水准之(反应)平均值。ij：第ij次观测下之常态随机变量；且为NID(0,i2)，或称之随机误差(RandomError)。另因1与2是常数，故yij为NID(0,i2)。统计假设(StatisticalHypothesis) 统计假设系一机率分配的参数的叙述。如水泥实验中，认为两种配方的平均结合力是相等的，可表示如下：H0：1=2H1：12其中，1为新配方的平均结合力，2为原配方的平均结合力。叙述H0：1=2称之『事先假设』(NullHypothesis)；而H1：12称之『对立假设』(AlternativeHypothesis)。此对立假设称之『双边对立假设』。 要检定一个假设，须设计一个过程，来获取一随机样本，并计算一适宜的检定统计量(TestingStatistics)(即用来检验统计假设度量的工具)，以决定是否拒绝或无法拒绝事先假设H0。此过程中包括会导致拒绝H0之检定统计量数值之集合，此集合称之拒绝区域(RejectionRegion)。********补充********* 一般而言，统计假设包括事先假设H0(NullHypothesis)与对立假设H1(AlternativeHypothesis)。检定统计量(TestingStatistics)就是用来检验统计假设的度量工具。在显着水准下(01)，检定统计量将母体分为两个区域：接受区域(AcceptanceRegion)与拒绝区域(RejectionRegion)。此两区域的分界点称为临界值(CriticalValue)，通常以C表示(若母体为常态分配则以Z表示)。(双边与单边)00/2/2Z/2-Z/200Z/2 检定统计系利用适合的检定统计量，在显着水准下，对统计假设进行统计程序之检验。此统计检验的过程又称为假设检定。************** 进行假定检定时，由于机率的关系，会产生二种(错)误差的决策：(一般设为=5%,1%) =P(第=1\*ROMANI型误差)=P(拒绝H0|H0真)冤枉 =P(第=2\*ROMANII型误差)=P(接受H0|伪H0)吃亏 定义检定力(Power)为：检定力=1-=P(拒绝H0|伪H0)公平假设检定的一般作法是事先指定一个第=1\*ROMANI型误差的机率值，通常称之『显着水准』(SignificanceLevel)，然后设计检定程序使得第=2\*ROMANII型误差的机率愈小愈好。两抽样之t检定(TheTwo-Samplet-Test) 倘假设两种泥浆配方的结合力的变异数相等，则比较两平均值之检定统计量为(两变异数未知，两平均值是否相等的t检定式) (2-24) 其中假设12=22=2，则共同(Common)变异数 (2-25)而S12，S22为个别样本变异数。要决定是否拒绝H0：1=2，须计算t0值，如|t0|>，则拒绝H0，即两种水泥浆配方所产生的结合力平均值是不一样。此程过程为两抽样之t检定。 此过程可证明如下，倘由独立的常态分配获取样本，则的分配为N[1-2，2(1/n1+1/n2)]，因此，如2已知，且如H0：1=2为真，则 (2-26)之分配将为N(0,1)。但如，(2-26)式之代之以Sp，则Z0的分配将从N(0,1)变成自由度n1+n2–2之t分配。如H0为真，则(2-24)的t0之分配将为，因此，将期望100(1-)%的t0值会介于-与之间。如从样本计算得t0值在间区外，则表示非常不寻常(H0为真假设下)，故有证据显示应拒绝H0。因此，自由度n1+n2–2之t分配是检定统计量t0的适宜的参考分配(ReferenceDistribution)。亦即描述『当H0为真时t0的行为』。于此为第=1\*ROMANI型误差的机率。 某些问题是单边对立假设(One-SidedAlternativeHypothesis)：H0：12；H1：12称之(左边检定)当t0<-，则拒绝H0H0：12；H1：12称之(右边检定)当t0>，则拒绝H0范例Portland水泥泥浆配方实验之结合力数据i新配方(kgf/cm2)原配方(kgf/cm2)平均值16.7617.92S2S12(0.100)S22(0.061)SS1(0.316)S2(0.247)nn1(10)n2(10)H0：1=2；H1：12 另n1+n2–2=18，如=0.05，当检定统计量值t0>=2.101或<-=-2.101时，则拒绝H0。如图2-10所示。00RejectRegionRejectRegion2.101-2.101-9.13图2-10自由度18之t分配依(2-25)式计算： Sp=0.284； t0=-9.13 t0=-9.13-=-2.101 RejectH0两种泥浆配方的平均结合力是不一样的。假设检定中P值之使用(TheUseofP-ValueinHypothesisTesting) 假设检定的结果报告是述说在一个指定的值或显着水准下对事先假设H0之拒绝与否，如此表达之结论通常不甚合宜，因为如此叙述没有提供『有关检定统计量的值是刚好在拒绝区域里抑是距离临界点多远的任何讯息』予决策者。再者，此方法可能无法令人满意，正如有些决策者会对=0.05所意味之风险感到不安。 为避免上述之困扰，实务上广泛使用的是P-值法(P-ValueApproach)。所谓P-值即『当H0为真时，检定统计量能提供一个更强烈证据的机率』。因此，『P-值显示出不利H0的证据的份量，和一个决策者可以在任何指定的显着水准上作结论』。P-值亦即『导致拒绝H0的最小显着水准』。计算机软件(Excel)之运算(ComputerSolution)Excel\工具\数据分析\t检定：两个母体平均数差的检定，假设变异相等新配方原配方t检定：两个母体平均数差的检定，假设变异数相等16.8517.516.417.6317.2118.25新配方原配方16.3518平均数16.76417.92216.5217.86变异数0.1001377780.06146222217.0417.75观察值个数101016.9618.22Pooled变异数0.080817.1517.9假设的均数差016.5917.96自由度1816.5718.15t统计-9.109360326P(T<=t)单尾1.83904E-08tdist(9.1,18,1)临界值：单尾1.734063062P(T<=t)双尾3.67808E-08tdist(9.1,18,2)临界值：双尾2.100923666t检定中假设之检验(CheckingAssumptionsinthet-Test) 在t检定的步骤里有三个假设，(1)两样本均来自独立的常态母体，(2)两母体的标准差或变异数是相等，(3)所有的观测值均为独立随机变量，其中，第(3)项最重要，和如果实验顺序是随机化的，则这假定将满足。另第(1)与(2)项可用常态机率图(NormalProbabilityPlot)检验之。 欲建构一个常态机率图，首先将样本中的观测值依序从小至大排列。然后将此顺序观测值y(j)与其所对应之累积次数(j-0.5)/n一起画在适当的机率纸上。倘所假设的分配能正确地描述数据，则所画上的点几乎会落在一条直线上；如所画上的点显着地偏离一条直线，则所假设的机率模型不适合。通常，”点”是否落在一条直线上是由主观判断决定。图2-10水泥实验结合力的常态机率图 在画此条直线时，图形中间的点比图形两端的点要有更多的影响力。一个好的经验法则是将注意力置于第25%与75%的值(Percentile)之间画此条直线。************补充资料将观测值由小至大顺序数列按位数分为四等分，Q1,Q2,Q3为其位数等分点之观测值。第0个四分位即是最小值，第1个四分位(Q1)是第25%的值，第2个四分位(Q2)是第50%的值(即中位数)，第3个四分位(Q3)是第75%的值，第4个四分位(Q1)即是最大值。******************** 从常态机率图上可直接得到『平均值与标准差之估计值』。该机率图上之第50%的值即是平均值的估计值，而标准差的估计值则为第84%值与第50%值之差，此意谓比较上图之二直线的斜率即可查证水泥实验中变异数相等的假设。兹因此二直线的斜率非常相似，所以变异数相等假设合理。倘假设不成立，则后续之2-4.4节述之。 当上述之假设被严重违反时，t检定的表现会受影响，处理此问题的方法是转换(Transformation)，另于第3章详述之。2-4.2样本大小之选择(ChoiceofSampleSize) 样本大小选择与第=2\*ROMANII型误差之机率有关，兹检定之假设：[=P(第=2\*ROMANII型误差)=P(接受H0|伪H0)]H0：1=2；H1：12且=1-20，对一特定的样本大小，对的图形即称之为作业特征曲线(O.C.Curve,OperatingCharacteristicCurve)。一般而言，已知值，当样本大小增大时值会下降，即已知平均值差在较大样本时较易被视出。 课本图2-12系针对假设H0：1=2；H1：12当两母体变异数未知但相等12=22=2，且=0.05时之一组O.C.曲线。同时该曲线亦假设样本大小相同，即n1=n2=n。图中横轴之参数为 d=|1-2|/2=||/2如此实验者可以使用同一组曲线，而不必担心变异数的不同。再者，真正用来建构曲线的样本大小是n*=2n–1。 从检视这些曲线，注意到下列事情：平均值的差，1-2愈大，第=2\*ROMANII型的错误愈小，即对一个给定的样本大小及，大的差值较小的差值容易检出。当样本大小增大时，第=2\*ROMANII型的错误愈小，亦即为了察觉出一个指定的差值，可以增加样本以提升检定的检定力。OC有助于选择样本大小，假如考虑上例题，两种配方平均结合力之差为0.5kgf/cm2，欲有高的机率能察觉出，d=|1-2|/2=||/2=0.5/2=0.25/然为未知参数，而经验知不超过0.25kgf/cm2，则d=1，如欲95%时拒绝H0，当|1-2|=0.5时，则=0.05，由图2-11知(=0.05、d=1)，样本大小约为n*=16，则n=8.59，所以选用n1=n2=n=9。2-4.3信赖区间(ConfidenceInterval) 有时已知1和2是不同的，对1=2做假设检定之意义不大，故倘能将探讨问题之参数以『区间』方式叙述之，其较令人感兴趣。假设是一未知参数，要得到一的区间估计，可以机率表示： P(LU)=1- (2-27)其区间 LU (2-28) 其中1-为信赖水准(ConfidenceLevel)。为显着水准(SignificanceLevel)。(L,U)为信赖区间(ConfidenceInterval)，即对参数所做估计的1-信赖水准的信赖区间。L为信赖区间下限，U为信赖区间上限。『信赖区间之意义：未知对特定样本之陈述是否为真，但确知用信赖区间的方法有100(1-)%会得到正确的陈述』。 如欲得上述水泥浆1-2的100(1-)%信赖区间，其推导如下，因统计量的分配为。因此， P()=1-或 P()=1- (2-29)比较(2-29)式与(2-27)式， (2-30)此为1-2的100(1-)%信赖区间。上述水泥浆1-2的100(1-)%信赖区间为， -1.431-2-0.89因此，两种配方的结合力平均值的差的区计估计为-1.43kgf/cm2至-0.89kgf/cm2，亦即信赖区间为1-2=-1.160.27kgf/cm2，或平均结合力之差为-1.16kgf/cm2，与其值的准确度为0.27kgf/cm2。『注意，因1-2=0未含于此区间，所以数据在5%的显着水准下并不支持1=2的假设』2-4.4当1222的情况(TheCaseWhere1222) 在检定H0：1=2；H1：12而1222时，则二样本t检定须稍作修饰，其检定统计量为， (2-31) 此统计量的分配已非t分配，然而t0的分配可近似t分配，如其自由度为 (2-32)2-4.5当12与22已知的情况(TheCaseWhere12and22AreKnown) 如两母体的变异数已知，则假设H0：1=2；H1：12其检定统计量为，则 (2-33)如两母体均为常态，或如样本数大到可用中央极限定理时，当H0为真，则Z0的分配将是N(0,1)。故，拒绝域的决定将依据常态分配而非t分配。 而1-2的100(1-)%信赖区间，当变异数已知时，则 (2-34)诚如上述，『信赖区间是假设检定的一项互补利器』。2-4.6平均值与特定值之比较(ComparingaSingleMeantoaSpecifiedValue) 有些实验只牵涉到平均值的与特定值0的之比较，此时假设H0：=0；H1：0如两母体均为常态且变异数已知，或如母体非常态但样本数大到可用中央极限定理时，则可用常态分配来检定，其检定统计量为，则 (2-35)当H0为真，则Z0的分配将是N(0,1)。故决策规则为拒绝H0：=0、如|Z0|Z/2。而1-2的100(1-)%信赖区间，当变异数已知时，则 (2-36)********例2-1纺织厂收到供货商送来之一批纺纱原料，工厂欲知整批的平均折断力是否超过200psi，倘如此，厂方悉数接收，同时依过去的经验知其折断力变异数的合理值为100(psi)2，此时检定的假设为H0：200；H1：0随机描出4个样本，其观测之平均值为214psi，所以如=0.05，Z=Z0.05=-1.645AcceptH0纺纱的平均折断力是超过200psi，故厂方悉数接收。*******要在变异数未知情况下检定，得用样本变异数S2来估计2，其检定统计量为， (2-37)如|t0|>t/2,n-1，则拒绝H0：=0。在此100(1-)%信赖区间为 (2-38)2-5平均值差异的推论，成对比较设计(InferencesabouttheDifferencesinMeans,PairedComparisonDesigns)2-5.1成对比较问题(ThePairedComparisonDesigns) 在某些简单的比较性实验，可搭配成对的实验来比较，以大幅改善精确度。以硬度测试为例(1个样本分成2部份)硬度测试实验资料样本尖锐物1尖锐物21762333354435886327248999541045此实验结果(数据)之统计模式为：yij=i+j+ij, i=1,2； j=1,2,…,10 (2-40)式中： yij：尖锐物i在样本j的硬度读值。 i：尖锐物i之真正平均硬度。 j：样本j对硬度的效果。 ij：随机误差，且为NID(0,i2)。此时如欲计算第j个成对差异，则dj=y1j–y2j j=1,2,…,10 (2-40)则其期望值 d=E[dj]=E[y1j–y2j]=E[y1j]-E[y2j]=(1+j)-(2+j) =(1-2)此即成对差异的平均值d做推论就等于对两种尖锐物硬度读值平均值之差做推论1-2。此时假设H0：d=0；H1：d0其检定统计量为， (2-41)其中差异的样本平均值与标准差分别为： (2-42) (2-43)如|t0|t/2,n-1，则拒绝H0：d=0。 上述硬度测试实验资料，(如=0.05)=-0.10；Sd=1.20； |t0|t/2,n-1=2.262其检定统计量为t0=-0.26AcceptH0两种尖锐物会得到相同的硬度平均读值。计算机软件(Excel)之运算Excel\工具\数据分析\t检定：成对母体平均数差异检定尖锐物1尖锐物2t检定：成对母体平均数差异检定763335尖锐物1尖锐物243平均数4.84.988变异数5.7333333334.9