人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形及其应用（第1课时）》示范教学课件

解直角三角形及其应用

（第1课时）人教版九年级数学下册sinA＝____________＝____．如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°．

我们把锐角A的_________________叫做∠A的正弦，记作sinA，即ACBacb对边与斜边的比

把∠A的________________叫做∠A

的余弦，记作cosA，即cosA＝____________＝____；邻边与斜边的比ACBacb

把∠A的_________________叫做∠A

的正切，记作tanA，即tanA＝__________＝____．对边与邻边的比我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题．

1972

年的情形：设塔顶中心点为

B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点

B

向垂直中心线引垂线，垂足为点

C（如图）．在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，BC＝5.2

m，AB＝54.5

m，求∠A

的度数．∵

BC＝5.2

m，AB＝54.5

m，∴

，利用计算器可得∠A≈5°28′．意大利从

1990

年起对斜塔维修纠偏，2001

年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了

43.8

cm．类似地，可以求出

2001

年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你能求出来吗？∵

43.8

cm＝0.438

m，∴B′C＝BC－0.438＝5.2－0.438＝4.762（m）．∴

，利用计算器可得∠A≈5°0′46″．C′B′A′1．将上述问题推广为一般的数学问题如何求解？已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数．可利用锐角的正弦（或余弦）的概念直接求解．2．在上述

Rt△ABC

中，你还能求其他未知的边和角吗？根据直角三角形两锐角互余可求得∠B

的值，根据

可求得

AC

的长．一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？如图，在

Rt△ABC

中，∠C

为直角，∠A，∠B，∠C

所对的边分别为

a，b，c，那么除直角∠C

外的五个元素之间有如下关系：（1）三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°；（3）边角之间的关系

上述（3）中的

A

都可以换成

B，同时把

a，b

互换．知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？在直角三角形中，知道除直角以外的五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求其余三个未知元素．已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件时，三角形的大小不能确定，即有无数多个三角形符合条件：已知一角、一边时，角必须是锐角，若已知的角是直角，则不可解．

例1

如图，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AC＝

，BC＝

，解这个直角三角形．解直角三角形的目标是什么？解直角三角形的目标是由已知元素求所有未知元素．在

Rt△ABC

中，有哪些未知元素？如何求这些未知元素？求解的依据是什么？

例1

如图，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AC＝

，BC＝

，解这个直角三角形．解：∵

∴∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，AB＝2AC＝2

．

例2

如图，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．

解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°．∵∴∵∴

解直角三角形的类型及方法图示已知类型已知条件方法与步骤两边斜边，一条直角边（如

c，a）（1）

；（2）由

，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A两条直角边

a，b（1）

；（2）由

，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A图示已知类型已知条件方法与步骤一边、一角（除直角外）斜边，一个锐角（如

c，∠A）（1）∠B＝90°－∠A；（2）由

，得

a＝c·sinA；（3）由

，得

b＝c·cosA一条直角边，一个锐角（如

a，∠A）（1）∠B＝90°－∠A；（2）由