专题05 等腰三角形（五大类型）（解析版）-2024学年八年级数学上册（苏科版）

第第页专题05等腰三角形（五大类型）【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】【题型2根据等腰三角形的性质求角度】【题型3判断等腰三角形的个数】【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】【题型5等腰三角形的判定与性质】【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】1．（2023•花溪区模拟）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝3，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】D【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝3，∴CD＝3．故选：D．2．（2023•红塔区模拟）已知等腰三角形的周长为20，一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为（）A．4 B．8 C．12 D．4或12【答案】A【解答】解：分两种情况：当腰长为4时，等腰三角形的底边长＝20﹣4×2＝20﹣8＝12，∵4+4＜12，∴不能组成三角形，当底边长为4时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣4）＝8，综上所述：此等腰三角形的底边长为4，故选：A．3．（2023•开福区校级二模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝10，AD＝6，则BC的长为（）​A．10 B．16 C．18 D．20【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BC＝2BD，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝＝8，∴BC＝2BD＝16，故选：B．4．（2023•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝CB＝13，BD⊥AC于点D且BD＝12，AE⊥BC于点E，连接DE，则DE的长为（）A． B． C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵AB＝CB＝13，BD⊥AC于点D且BD＝12，∴AD＝CD＝＝＝5，∵AE⊥BC，∴DE＝AC＝CD＝5，故选：C．5．（2023春•莱芜区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AC上，DC＝3cm，将线段DC沿着CB方向平移5.5cm得到线段EF，点E，F分别落在AB，BC边上，则△EBF的周长为（）A．9.5cm B．10cm C．10.5cm D．11.5cm【答案】C【解答】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移5.5cm得到线段EF，∴EF＝DC＝3cm，FC＝5.5cm，∠C＝∠BFE，∵AB＝AC，BC＝10cm，∴∠B＝∠C，BF＝4.5cm，∴∠B＝∠BFE，∴BE＝EF＝3cm，∴△EBF的周长为：3+3+4.5＝10.5（cm），故选：C．6．（2022秋•大连期末）等腰三角形的周长为20cm，一边为8cm，则腰长为（）A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm【答案】D【解答】解：∵等腰三角形的周长为20cm，∴当8cm是腰长时，底边＝20﹣8﹣8＝4cm；∴当8cm是底边长时，腰长＝＝6cm，∴腰长为8cm或6cm，故选：D．7．（2022秋•五常市期末）若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，则这个三角形的周长是（）A．9 B．12 C．9或12 D．15或6【答案】B【解答】解：根据题意，，解得，（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，2+2＜5，不能组成三角形；（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，能组成三角形，周长为2+5+5＝12．故选：B．8．（2022秋•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝12，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝12，BD＝CE，∵BD＝4，∴CE＝BD＝4，∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．故选：C．9．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的中点，若∠BAD＝30°，BD＝2，则△ABC的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，D是边BC上的中点，∠BAD＝30°，BD＝2，∴∠BAC＝60°，BC＝4，∴△ABC为等边三角形，∴△ABC的周长为4×3＝12，故选：D．10．（2023•桐乡市校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E，若BC＝4，△BDC的周长为10，则AE的长为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【解答】解：∵BC＝4，且△BDC的周长为10，∴BD+CD＝10﹣4＝6，∵AD＝BD，∴AD+DC＝6，∴AC＝6，∵AB＝AC，∴AB＝6，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝AB＝3，故选：B．11．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝（）cm．A．4.8 B．6 C．5 D．6.4【答案】B【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，∵S△ABC＝AC•BF，∴AC•BF＝3AB，∵AC＝AB，∴BF＝3，∴BF＝6．故选：B．【题型2根据等腰三角形的性质求角度】12．（2023•余杭区校级模拟）如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝（）​A．50° B．40° C．20° D．25°【答案】D【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝80°，∴∠B＝50°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝∠ADB＝25°．故选：D．13．（2023•思明区校级二模）如图，AB∥CD，DE＝EC，∠B＝35°，则∠BED＝（）A．70° B．110° C．130° D．140°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°，∴∠C＝∠B＝35°，又∵DE＝CE，∴∠EDC＝∠C＝35°，∴∠BED＝2∠C＝70°．故选：A．14．（2023•城关区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝（）A．36° B．54° C．72° D．108°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．故选：C．15．（2023春•舞钢市期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BD＝CD，则∠BAC的度数是（）A．90° B．80° C．70° D．60°【答案】A【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AD＝BD＝CD，∴，，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+45°＝90°，故A正确．故选：A．16．（2023春•紫金县期中）若等腰三角形的底角为48°，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．66° B．84° C．48° D．68°【答案】B【解答】解：∵等腰三角形的底角为48°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣48°﹣48°＝84°．故选：B．17．（2023春•于洪区月考）若等腰三角形的一个角为40°，则该等腰三角形的顶角为（）A．40° B．70° C．100° D．40°或100°【答案】D【解答】解：若40°的角是顶角，则底角为：，∴此时另外两个角的度数是70°，70°；若40°的角是底角，则另一底角为40°，∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，∴此时另外两个角的度数是100°，40°．∴该等腰三角形的顶角为40°或100°．故选：D．18．（2023春•碑林区校级月考）如图，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（）A．120° B．30° C．60° D．80°【答案】D【解答】解：根据题意，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝40°，又AB的垂直平分线交BC于点D，∴DA＝DB∴∠BAD＝∠B＝40°，在△BAD中，∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，∴∠ADC＝80°．故选：D．19．（2022秋•庐阳区校级期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】C【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：C．20．（2022秋•嵊州市期末）如图，在等腰三角形ABC中，顶角∠A＝36°，点D是腰AB上一点，作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则∠BED的度数为（）A．16° B．18° C．20° D．24°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠BED＝90°﹣∠B＝18°，故选：B．21．（2023春•蕉城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ADB＝（）A．100° B．105° C．110° D．115°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，由题意得：BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝75°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝105°，故选：B．22．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，BD＝AD＝AC，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（）A．75° B．80° C．85° D．84°【答案】D【解答】解：∵BD＝AD＝AC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠4＝∠1+∠2，∴∠3＝∠4＝2∠1＝2∠2，∵∠BAC＝108°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠BAC＝180°﹣108°＝72°，∴∠2+2∠2＝72°，∴∠2＝24°，∴∠1＝24°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣24°＝84°，故选：D．【题型3判断等腰三角形的个数】23．（2023春•茂名期中）如图，BM是△ABC的角平分线，AB＝AC，∠A＝36°，则图中有（）等腰三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．无法确定【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴，∵BM是△ABC的角平分线，∴∠ABM＝∠CBM＝36°，∴∠A＝∠ABM，∴△ABM是等腰三角形，∵∠CBM＝36°，∠C＝72°，∴∠BMC＝72°，∴△BMC是等腰三角形，∴等腰三角形有△ABC、△ABM、△BMC，共3个等腰三角形．故答案为：C．24．（2022秋•张北县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则图中等腰三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵AD是边BC上的高线，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBE＝∠ABC＝30°，∴∠ABF＝∠BAD，∴△ABF是等腰三角形，则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，故△ABE为等腰三角形，故选：C．25．（2022秋•千山区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝36°，∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°∴△CAD为等腰三角形，∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，∴△BAD为等腰三角形，∴则图中等腰三角形的个数是3个．故选：C．26．（2022秋•灌南县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，∴∠BAC＝108°，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个，故选：C．27．（2021秋•惠阳区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在AC的垂直平分线DF上，AE平分∠BAD，则图中等腰三角形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，∵点D在AC的垂直平分线DF上，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰三角形；∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝36°，∴∠BAE＝∠B，∴AE＝BE，∴△AEB是等腰三角形；∵∠AED＝∠BAE+∠B＝72°，∠ADE＝∠DAC+∠C＝72°，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，∴△ADE是等腰三角形；∵∠BAD＝∠ADE＝72°，∴BA＝BD，∴△ABD是等腰三角形；∵∠CAE＝∠AED＝72°，∴CA＝CE，∴△CAE是等腰三角形，综上所述，等腰三角形有△ABC，△ADC，△AEB，△ADE，△ABD，△CAE共6个，故选：D．28．（2021秋•邢台月考）如图，已知∠A＝36°，∠C＝72°，BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．无法确定【答案】C【解答】解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°∠A﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠ABC＝72°，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABE＝36°，∴EA＝EB，∴△ABE是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等腰三角形，又∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝36°，∴∠DBE＝∠DEB＝36°，∴DB＝DE，∴△DBE是等腰三角形，又∵∠EBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠BEC＝72°，∴BE＝BC，∴△BEC是等腰三角形，故选：C．【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】29．（2023春•碑林区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点M、点N是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数是（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【解答】解：当MN是等腰△MNP的底边时，符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个；当MN是等腰△MNP的腰时，符合条件的点有P5、P6、P7、P8，共4个，∴点P的个数是8个．故选：C．30．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点C的个数为3个，故选：C．31．（2022秋•顺义区期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个，故选：C．32．（2022•兴宁区校级开学）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【解答】解：如图：在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有8个，故选：C．33．（2022秋•安次区期末）在如图所示的3×3方格中，以AB为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有4个．【答案】4．【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4，即为第三个顶点的位置；故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个．故答案为：4【题型5等腰三角形的判定】34．（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．（1）求∠ADB的度数；（2）求证：△ADE是等腰三角形．【答案】（1）108°；（2）见解析．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；（2）证明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°，∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．35．（2023春•大埔县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；∵∠DAB＝45°，∠B＝30°∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．36．（2022秋•洛川县期末）如图，已知∠ACE是ABC的一个外角，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵DC平分∠ACE，∴∠ECD＝∠ACD，∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠B，∠ACD＝∠A，∴∠A＝∠B，∴BC＝AC．故△ABC是等腰三角形．【题型6等腰三角形的判定与性质】37．（2023•莲都区一模）如图，△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE；（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度数．【答案】（1）见解析过程；（2）32°．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE＝CE．（2）∵DE∥BC，∠DEA＝64°，∴∠ACB＝∠AED＝64°，∵CD平分∠ACB，∴．答：∠DCB的度数是32°．38．（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，BE平分∠DEC．（1）求证：BC＝CE．（2）若CE＝AB，EA＝EB，求∠C的度数．【答案】（1）见解析；（2）36°．【解答】（1）证明：∵BE平分∠DEC，∴∠DEB＝∠BEC，∠EBC＝∠BEC，∴DE∥BC．∴∠DEB＝∠EBC，∴∠BEC＝∠EBC，∴BC＝CE；（2）解：∵BC＝CE，CE＝AB，∴BC＝AB，∴∠C＝∠A，设∠C＝∠A＝x，∵EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝x，∴∠EBC＝∠BEC＝∠A+∠ABE＝2x，∴2x+2x+x＝180°，∴∠C＝x＝36°．39．（2023春•菏泽月考）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．（1）求证：△DFC是等腰三角形；（2）求△AEF的周长．【答案】（1）见解析；（2）14cm．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠DCB，∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠DCB，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC，∴△DFC是等腰三角形；（2）∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，∵AC＝6cm，AB＝8cm，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+6＝14（cm）．40．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．【答案】（1）见解析；（2）50°．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°．41．（2022秋•鄞州区校级期末）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠PAC的数量关系式．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠FAP＝∠PAC，∴∠FAC＝2∠PAC，∵∠FAC+∠BAC＝180°，∴2∠PAC+∠BAC＝180°．42．（2022秋•苍溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长．【答案】（1）见解答；（2）AC＝