专题03 确定圆的条件（2个考点六大类型）（解析版）-2024学年九年级数学上册（苏科版）

第第页专题03确定圆的条件（2个考点六大类型）【题型1确定圆的条件】【题型2根据点判断圆的个数】【题型3确定标圆心的位置】【题型4判断三角形的外接圆的圆心】【题型5根据三角形外接圆的性质求角度】【题型6根据三角形外接圆的性质求线段长度】【题型1确定圆的条件】1.（2022•石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径 B．直径 C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点【答案】D【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；B、已知直径能确定一个圆；C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；D、平面上的三个已知点不能确定一个圆．故选：D．2．（2022秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦【答案】D【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意；三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项B错误，不符合题意；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项C错误，不符合题意；垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项D正确，符合题意；故选：D．【题型2根据点判断圆的个数】3.（东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵点A、B、C在同一条直线上，∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，故选：C．4,（吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4【答案】C【解答】解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．故选：C．【题型3确定标圆心的位置】5．（2021秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块【答案】A【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．6．（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（2，1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．7．（2021秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1）．【答案】（2，1）．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．8．（2022秋•南开区期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣2）【答案】C【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD＝DB＝DA＝＝，∴点D是过A、B、C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故选：C．9．（2021秋•潜山市期末）在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为（2，0）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上∴经过点A，B，C可以确定一个圆∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上∴设圆心坐标为M（2，m）则点M在线段BC的垂直平分线上∴MB＝MC由勾股定理得：＝∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1∴m＝0∴圆心坐标为M（2，0）故答案为：（2，0）．10．（2022秋•历下区期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为（1，﹣2）．（2）求⊙M的面积（结果保留π）．【答案】（1）（1，﹣2）；（2）10π．【解答】解：（1）如图所示：连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，则点M就是过A，B，C三点的圆的圆心，由图形可知M的坐标为M（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）；（2）连接MB，由勾股定理得MB＝＝，故圆的面积为10π．【题型4判断三角形的外接圆的圆心】11．（2023•任丘市模拟）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（）A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点【答案】D【解答】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，∴△ABC的外心只能在其内部，由此排除A选项和B选项，由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA，∴排除C选项，故选：D．12．（2022秋•梁溪区校级期中）三角形的外心具有的性质是（）A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等【答案】D【解答】解：根据三角形外心的定义，可知三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，故选：D．13．（2022秋•海淀区校级月考）如图，△ABC，A（﹣1，3），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），则△ABC外心的坐标为（）A．（0，0） B．（1，1） C．（1，0） D．（1，﹣2）【答案】C【解答】解：如图，取格点E，F，G，H，则直线GH是线段BC的垂直平分线，四边形AFCE是正方形，∴直线EF是线段AC的垂直平分线，记GH，EF的交点为Q，则Q为△ABC的外心，∵A（﹣1，3），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），∴直线GH为x＝1，E（4，3），F（﹣1，﹣2），设直线EF为y＝kx+b，∴，∴，∴直线EF为y＝x﹣1，当x＝1时，y＝0，∴Q（1，0），即△ABC的外心坐标为：（1，0）．故选：C．14．（2022秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），B（3，3），点P是△OAB的外接圆的圆心，则点P的坐标为（2，1）．【答案】（2，1）．【解答】解：分别作出边OA，OB的垂直平分线，则它们的交点即为△OAB的外接圆的圆心P，如图，则P（2，1），故答案为：（2，1）．15．（2022秋•大丰区月考）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【答案】（1）点O即为所求；（2）10π．【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）连接OB，由勾股定理得：OB＝＝，∴外接圆⊙O的面积为：π×（）2＝10π．【题型5根据三角形外接圆的性质求角度】16．（2021秋•金平区校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．10° B．15° C．25° D．30°【答案】D【解答】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2cm，BC＝2cm，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝∠BOC＝30°，故选：D．17．（2023•华蓥市一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝40°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接BD，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°．故答案为：40．18．（2022秋•同心县期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝64°，则∠OBC＝26°．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝128°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝（180°﹣128°）÷2＝26°，故答案为：26．19．（2022秋•巴彦县期末）如图，O是△ABC的外心，∠ABC＝42°，∠ACB＝72°，则∠BOC＝132°．【答案】132°．【解答】解：∵∠ABC＝42°，∠ACB＝72°，∴∠BAC＝180°﹣42°﹣72°＝66°，∵O是△ABC的外心，∴以O为圆心，OB为半径的圆是△ABC的外接圆，∴∠BOC＝2∠BAC＝132°．故答案为132，20．（2021•襄州区二模）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为40°或140°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，∴∠A＝40°，∠A′＝180°﹣∠A＝140°，故∠BAC的度数为：40°或140°故答案为：40°或140°．【题型6根据三角形外接圆的性质求线段长度】21．（2022秋•海港区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（）A．3 B．8 C．2 D．10【答案】A【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠D＝45°，∵AB＝6，∴BD＝6，∴AD＝＝＝6，∴⊙O的半径AO＝＝3．故选：A．22．（2023•南陵县二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为2cm，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为（）A．2cm B．2cm C．cm D．2cm【答案】B【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，∵PB＝AB，∴∠POB＝60°，OB⊥AP，∵⊙O的半径为2cm，∴OP＝2cm，∴AH＝PH＝OP•sin∠POB＝2×＝（cm），∴AP＝2AH＝2（cm）．故选：B．23．（2022秋•沙洋县校级期末）如图，△ABC是⊙O内接三角形，若∠C＝30°，AB＝3，则⊙O的半径为（）A．3 B．3 C．3 D．6【答案】A【解答】解：作直径AD，连接BD，由圆周角定理得，∠ABD＝90°，∠D＝∠C＝30°，∴AD＝2AB＝6，∴⊙O的半径为3，故选：A．24．（2021秋•利川市期末）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，作直径AD，连接CD．∴∠ACD＝90°．∵∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°．∵⊙O的半径为6，∴AD＝12．在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝