第2章 对称图形-圆 能力提升卷（B卷）（解析版）-2024学年九年级数学上册（苏科版）

第第页2023-2024学年九年级上册第二单元对称图形-圆B卷•能力提升卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．（2023•大同模拟）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：连接CO，∵四边形ACBO为菱形，∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，∴△OBC与△OAC是等边三角形，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，故选：C．2．（2023•美兰区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠C＝70°，则∠BAD的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【解答】解：∵∠C＝70°，∠C＝∠ABD，∴∠ABD＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣70°＝20°，故选：B．3．（2023•仁寿县模拟）如图，点A、B、C在圆O上，∠D＝30°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（）A． B．π﹣ C．3π﹣ D．3π【答案】A【解答】解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，则BC＝2BH，∵∠D＝30°，AD∥BC，∴∠CBO＝∠D＝30°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴OH＝OB＝，BH＝OH＝，∴BC＝2BH＝3，∴扇形OBC的面积为：＝3π，∵S△OBC＝BC•OH＝×3×＝，∴阴影部分的面积为：3π﹣．故选：A．4．（2023•建昌县二模）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO＝BO，∴四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AC＝6，∴OC＝3，AD＝AC＝3，∴AB＝2AD＝6，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣6×6＝12π﹣18．故选：A．5．（2023•许昌二模）如图，在正六边形OABCDE中，以点O为原点建立直角坐标系，边OA落在x轴上，对角线BD与OC交于点F．若点A的坐标为（2，0），则点F的坐标为（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【答案】A【解答】解：正六边OABCDE中，每个内角的度数为，如图，过点B作BP⊥x轴于P，连接AC，点A的坐标为（2，0），∴∠BAP＝60°，OA＝AB＝2，在Rt△ABP中，∠ABP＝30°，∴AP＝1，BP＝，∴AP＝OA+AP＝2+1＝3，∴B（3，），在△ABC中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∠CAO＝90°，∵OC是正六边形的对称轴，∴∠DCO＝∠OCB＝，∴∠ACO＝∠OCB﹣∠ACB＝60°﹣30°＝30°，∵△OAC是直角三角形，且∠OCA＝30°，OA＝2，∴OC＝2OA＝2×2＝4，AB＝＝＝2，∴C（2，2），∵DC∥OA，∴D（0，2），设过点O（0，0），点C（2，2）的直线的解析式为y1＝k1x（k1≠0），∴，∴，∴OC所在的直线解析式为x，同理，设过点B（3，），点D（0，2）的直线的解析式为y2＝k2x+b（k2≠0），∴，∴k2＝﹣，∴BD所在的直线解析式为y2＝﹣，∵点F是OC、BD的交点，∴，∴，∴点F的坐标为（），故选：A．6．（2023•龙湾区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O．对角线AC，BD交于点F，则∠AFD的度数为（）A．106° B．108° C．110° D．120°【答案】B【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴AB＝CD＝圆周长，∴，∴∠BFC＝180°﹣2×36°＝108°，∴∠AFD＝∠BFC＝108°，故选：B．7．（2022秋•广汉市期末）小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm，弧长是8πcm，那么这个圆锥的高是（）A．8cm B．6cm C．3cm D．4cm【答案】C【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝8π，解得r＝4，所以这个的圆锥的高＝＝3（cm）．故选：C．18．（2022•龙马潭区模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接OD、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，设BE＝a，∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，∴AD＝AF＝6﹣a，CF＝CE＝7﹣a，∵AF+CF＝AC＝5，∴6﹣a+7﹣a＝5，解得：a＝4，∴BE＝BD＝4．∴AF＝AD＝2，CF＝CE＝3，设⊙O的半径为r，由海伦公式得：S＝，其中p＝，由三角形内切圆可知：S△ABC＝C△ABC•r，∴S△ABC＝p•r，∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，∴p＝（6+5+7）＝9，∴S△ABC＝＝6，∴r＝＝＝，∴OE＝，∴OB＝＝＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE×＝×4，∴HE＝，∴DE＝2EH＝．故选：D．9．（2022•兰山区模拟）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．10．（2022•平泉市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上（不与B，C重合），点O为△ADC的内心，则∠AOC不可能是（）A．150° B．120° C．110° D．100°【答案】D【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵O为△ADC的内心，∴∠OAC＝∠DAC，∠OCA＝∠ACB＝15°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝165°﹣∠DAC，∵点D在线段BC上（不与B、C重合），∴0°＜∠DAC＜120°，∴0°＜∠DAC＜60°，∴105°＜∠AOC＜165°，∴∠AOC不可能是100°．故选：D．填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。21．（2023•东城区开学）如图，PA，PB是半径为1的⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则弧AB的长为．【答案】．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝50°，∴∠AOB＝130°，∵OA＝1，∴的长为＝．故答案为：．22．（2023•遵义模拟）为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为10cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接AB，作OE⊥AB于F，连接OA，则OA2＝OF2+AF2，∴OA2＝（OA﹣2）2+42，解之得OA＝5，∴直径＝5×2＝10cm．故答案为：10cm．23．（2022•樊城区模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m．某天下雨后，水管水面上升后的水面宽度为3.2m，则排水管水面上升了0.4或2.8m．【答案】0.4或2.8．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，如图所示：则AE＝BE＝AB＝1.2（m），OF⊥CD，∴CF＝DF＝CD，∵OA＝2m，∴OE＝＝1.6（m），∵CD＝2CF＝3.2m，∴CF＝1.6m，∵OC＝OA＝2m，∴OF＝（m），当水面没过圆心O时，EF＝OE﹣OF＝1.6﹣1.2＝0.4（m），当水面超过圆心O时，EF＝OE+OF＝1.6+1.2＝2.8（m）即水管水面上升了0.4m或2.8m，故答案为：0.4或2.8．24．（2022秋•邗江区期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O是BC边中点，⊙O的半径为1，点P是AC边上一动点，则由点P到⊙O的切线长PQ的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，连接OP，OQ，AO，∵PQ与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PQ，∵OQ＝1，∴当OP最短时，PQ最小，∴当PO⊥AC时，线段PQ最小，∵AB＝AC＝5，BC＝6，点O是BC边中点，∴AO⊥BC，OC＝BC＝3，∴AO＝＝＝4，∴S△AOC＝S△ABC＝×6×4＝6，∴5×OP＝6，∴OP＝，∴PQ＝＝，∴点P到⊙O的切线长PQ的最小值为．故答案为：．25．（2022秋•龙岩期中）如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为3．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC．当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大．∵∠MON＝45°，∴∠CO'A＝45°，∴∠CPA＝90°，∵PQ⊥AC，∴QA＝QC＝AC＝3，∴PQ＝AC＝3，PA＝QA＝3，O'P＝AP＝3，∴O'Q＝O'P+PQ＝3+3．故答案为3+3．26．（2021•盘州市模拟）如图，点A、B的坐标分别为A（0，4）、B（4，0），点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为2+1．【答案】2+1．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD＝OA＝4，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，∴BD＝4，∴CD＝4+2，∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1，故答案为：2+1．三、解答题（本题共5题，共52分）。17．（10分）（2023•兴庆区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，BC与⊙O的交点为点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若AB＝15，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠ODE＝∠DEC＝90°．又OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC＝15，∴BD＝CD，∵AB＝15，BD＝12，∴AD＝＝＝9，∵S△ADC＝×CD×AD，∴DE＝＝．18．（10分）（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OA，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA，∵AE⊥CD，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，∴四边形AOFE是矩形，∴OF＝AE＝4cm，又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，即⊙O的半径为5cm．19．（10分）（2023•和平区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：∠E＝∠B；（2）连接AD，若CE＝4，BC＝8，求AD的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）4．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCD+∠ECD＝∠E+∠ECD＝90°，∴∠OCD＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠B，∴∠E＝∠B；（2）解：如图，连接AD，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，∴DE＝＝＝8，∴BC＝DE＝8，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDE＝90°，∵∠B＝∠E，∴△ACB≌△CDE（ASA），∴AC＝CD＝4，∴AD＝＝4．20．（10分）（2023•锡山区模拟）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为A，B；（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是≤r＜5．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵|2|+|2|＝4，||+|﹣|＝4，|﹣1|+|5|＝6≠4，∴是“垂距点”的点为A，B．故答案为：A，B．（2）设函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标（a，2a+3），依题意得：|a|+|2a+3|＝4．①当a＞0时，a+（2a+3）＝4，解得：a＝，∴此时“垂距点”的坐标为（，）；②当﹣＜a＜0时，﹣a+（2a+3）＝4，解得：a＝1（不合题意，舍去）；③当a＜﹣时，﹣a﹣（2a+3）＝4，解得：a＝﹣，∴此时“垂距点”的坐标为（﹣，﹣）．∴综上所述，函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标是（，）或（﹣，﹣）．（3）设“垂距点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4（x•y≠0），当x＞0，y＞0时，x+y＝4，即y＝﹣x+4（0＜x＜4）；当x＜0，y＞0时，﹣x+y＝4，即y＝x+4（﹣4＜x＜0）；当x＜0，y＜0时，﹣