专题03 方程（组）与不等式（组）（3大考点）（解析版）

专题03方程（组）与不等式（组）（解析版）考点一：方程及方程组1．（2020·福建·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（

）A．3(x-1)=6210x B．6210x-1=3 C．【答案】A【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．【详解】解：由题意得：3(x-1)=6210故选A.【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．2．（2019·福建·统考中考真题）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是(

).A．x+2x+4x=34685 B．x+2x+3x=34685C．x+2x+2x=34685 D．x+12x+14【答案】A【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．【详解】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x＋2x＋4x＝34685，故选A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．3．（2023·福建·统考中考真题）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）A．43903.891+x=53109.85 BC．43903.89x2=53109.85【答案】B【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程43903.89(1+x)故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．4．（2021·福建·统考中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（

）A．0.631+x=0.68 BC．0.631+2x=0.68 D【答案】B【分析】设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘1+x2【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得：0.631+x故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可．5．（2022·福建·统考中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x，令x=m，等式两边都乘以x，得x2=mx等式两边都减m2，得x2等式两边分别分解因式，得x+mx-m=m等式两边都除以x-m，得x+m=m．④等式两边都减m，得x＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．【答案】④【分析】根据等式的性质2即可得到结论．【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，∴第④步等式两边都除以x-m，得x+m=m，前提必须为x-m≠0，因此错误；故答案为：④．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．6．（2019·福建·统考中考真题）解方程组x-y=52x+y=4【答案】{【详解】试题分析：方程组利用加减消元法求出解即可．试题解析：解：{x-y=52x+y=4①+②得：3x=9，即x=3，把x=3代入①得：y=﹣2，则方程组的解为{考点：解二元一次方程组考点二：不等式及不等式组7．（2022·福建·统考中考真题）不等式组x-1>0x-3≤0的解集是（

A．x>1 B．1<x<3 C．1<x≤3 D．x≤3【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集．【详解】解：由x-1＞0，得：由x-3≤0，得：x≤3，则不等式组的解集为1＜故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．8．（2023·福建·统考中考真题）解不等式组：2x+1<3,①【答案】-3≤x<1【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：2x+1<3,解不等式①，得x<1．解不等式②，得x≥-3．所以原不等式组的解集为-3≤x<1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．9．（2021·福建·统考中考真题）解不等式组：{【答案】1≤x<3【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再取公共部分即可．【详解】解：解不等式x≥3-2x，3x≥3，解得:x≥1．解不等式x-123x-3-x+3<6，解得：x<3．所以原不等式组的解集是：1≤x<3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是：准确解出各个不等式的解集，再取公共部分即可．10．（2020·福建·统考中考真题）解不等式组：2x≤6-x①【答案】-3<x≤2．【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解．【详解】解：由①得2x+x≤6，3x≤6，x≤2．由②得3x+1>2x-2，3x-2x>-2-1，x>-3．∴原不等式组的解集是-3<x≤2．【点睛】本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，解题的关键是熟知不等式的性质．考点三：方程（组）、不等式（组）的实际应用11．（2022年福建中考数学真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．【答案】(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆(2)369元【分析】（1）设购买绿萝x盆，购买吊兰y盆，根据题意建立方程组x+y=469x+6y=390（2）设购买绿萝x盆，购买吊兰y盆，总费用为z，得到关于z的一次函数z=-3y+414，再建立关于y的不等式组，解出y的取值范围，从而求得z的最小值．【详解】（1）设购买绿萝x盆，购买吊兰y盆∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆∴x+y=46∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元∴9x+6y=390得方程组x+y=46解方程组得x=38∵38>2×8，符合题意∴购买绿萝38盆，吊兰8盆；（2）设购买绿萝x盆，购买吊兰吊y盆，总费用为z∴x+y=46，z=9x+6y∴z=414-3y∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍∴414-3y<390将x=46-y代入不等式组得414-3y<390∴8<y≤∴y的最大值为15∵z=-3y+414为一次函数，随y值增大而减小∴y=15时，z最小∴x=46-y=31∴z=9x+6y=369元故购买两种绿植最少花费为369元．【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数、不等式组的性质，解题的关键是数量掌握二元一次方程组、一次函数、不等式组的相关知识．12．（2021·福建·统考中考真题）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？【答案】（1）该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱；（2）该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元【分析】（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱，利用卖出100箱这种农产品共获利润4600元列方程组，然后解方程组即可；（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元，利用利润的意义得到w=70m+40(1000-m)=30m+40000，再根据该公司零售的数量不能多于总数量的30%可确定m的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．【详解】解：（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱．依题意，得70x+40y=4600,解得x=20,所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱．（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元．则批发农产品的数量为(1000-m)箱，∵该公司零售的数量不能多于总数量的30%∴m≤300依题意，得w=70m+40(1000-m)=30m+40000,m≤300．因为30>0，所以w随着m的增大而增大，所以m=300时，取得最大值49000元，此时1000-m=700．所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组．13．（2020·福建·统考中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产x吨，则销售乙特产100-x吨，根据题意列方程解答；（2）设一个月销售甲特产m吨，则销售乙特产100-m吨，且0≤m≤20，根据题意列函数关系式w=(10.5-10)m+(1.2-1)(100-m)=0.3m+20，再根据函数的性质解答.【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产x吨，则销售乙特产100-x吨，依题意，得10x+100-x解得x=15，则100-x=85，经检验x=15符合题意，所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；（2）设一个月销售甲特产m吨，则销售乙特产100-m吨，且0≤m≤20，公司获得的总利润w=(10.5-10)m+(1.2-1)(100-m)=0.3m+20，因为0.3>0，所以w随着m的增大而增大，又因为0≤m≤20，所以当m=20时，公司获得的总利润的最大值为26万元，故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.14．（2019·福建·统考中考真题）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.(1)求该车间的日废水处理量m；(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.【答案】(1)m＝20；(2)15≤x≤25【分析】（1）根据处理废水35吨花费370可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用＋第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：(1)∵处理废水35吨花费370，且370-3035＝687>8，∴∴30+8m+12(35－m)＝370，解得：m＝20；(2)设一天生产废水x吨,则当0<x≤20时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20，当x>20时，12(x－20)+160+30≤10x，解得：20<x≤25，综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围是15≤x≤25【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．一、单选题1．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考三模）温州市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多0.2万棵，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，根据题意可列方程（

）A．30x-30C．30x-30【答案】A【分析】根据“原计划所用时间-实际所用时间=5天”可列方程．【详解】解：设原计划每天植树x万棵，根据题意可列方程30x故选：A．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．2．（2023春·江苏·八年级期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（

）A．100x=150x+5 B．100x-5=150x C．100【答案】D【分析】设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为(x-5)人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为(x-5)人，依题意得：100x-5故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3．（2023春·河北邯郸·九年级统考阶段练习）已知点P（2﹣m，m﹣5）在第三象限，则整数m的值是（）A．4 B．3，4 C．4，5 D．2，3，4【答案】B【分析】根据第三象限点的坐标特点列不等式组求出解集，再结合整数的定义解答即可．【详解】解：∵P（2﹣m，m﹣5）在第三象限∴2-m＜0m-5＜∵m是整数∴m的值为３，４．故选B．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特点、解不等式组等知识点，掌握第三象限内的点横、纵坐标均小于零成为解答本题的关键．4．（2023春·八年级单元测试）不等式组-2x≤03-x>0的整数解有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先解出不等式组的解集，再取整数解即可．【详解】解：由题意可得：-2x≤0，解得x≥0，3-x>0，解得x<3，∴不等式组的解集为：0≤x<3，其整数解有：0、1、2共3个，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题，计算过错中细心即可．5．（2023·河北秦皇岛·统考三模）我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲23的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（

A．设乙持钱为y，依题意x+12y=50C．乙的钱数为25 D．甲、乙钱数的和为62.5【答案】B【分析】根据题意列出二元一次方程组或一元一次方程进行求解，逐一判断即可．【详解】解：设乙持钱为y，由题意得x+1解得：x=37.5y=25由此可判断选项A、C、D正确，∵100-2x+∴选项B错误．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组或一元一次方程的应用，根据等量关系式列出方程（组）进行正确求解是解题的关键．6．（2023·辽宁抚顺·统考二模）“六一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A,B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元.若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是(

)A．x+y=12036x+24y=3360 B．C．36x+24y=120x+y=3360 D．【答案】B【详解】解：根据题意可列出方程组{x+y=120故选：B.考点：二元一次方程组的应用.7．（2023春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中）某工程甲工程队单独做x天完成；乙工程队单独做20天完成．现在甲工程队先做3天，剩余的工程甲、乙两工程队合做10天后完成，则下面所列方程中错误的是（

）A．1x+1C．1-1x×3=【答案】A【分析】设甲工程队单独做x天完成，根据“乙工程队单独做20天完成．现在甲工程队先做3天，剩余的工程甲、乙两工程队合做10天后完成”列出方程，即可求解．【详解】解：设甲工程队单独做x天完成，根据题意得：3+10x+1020=1所以B，C，D选项正确，不符合题意．故选：A【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．8．（2023·广西贵港·统考一模）某运动品牌的一双运动鞋，春节过后进行两次特价处理，使每双的价格由280元降至220元，求两次平均降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（

）A．2801-x+2801-xC．2201+x2=280【答案】B【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：2801-x故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2023春·福建泉州·七年级杭州市惠兴中学校联考期中）关于x的不等式组6-3x<02x≤a恰好有3个整数解，则a满足（

A．a=10 B．10≤a<12 C．10<a≤12 D．10≤a≤12【答案】B【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．【详解】解：由6-3x＜0得：由2x≤a得：x≤a∵不等式组恰好有3个整数解，∴不等式组的整数解为3、4、5，∴5≤a2<6故选：B．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．10．（2023·浙江杭州·二模）小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则()A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元【答案】B【分析】设一支签字笔x元，一个笔记本y元，小江身上有a元钱，根据题意可得方程组，对方程组进行变形即可求解．【详解】设一支签字笔x元，一个笔记本y元，小江身上有a元钱，根据题意得：20x+15y=a+25①19x+13y=a-15②①-②得：x+2y=40∴2x+4y=80③①-③得：17x+9y=a-95∴若小江购买17支签字笔和9本笔记本，他身上的钱会剩下95元．

故选：B【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，整体思想是解答本题的关键．二、填空题11．（2023·四川绵阳·校考一模）将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；如果每人分7个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有______个儿童，分______个橘子．【答案】529【分析】如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子，可设有x个儿童，则橘子数有：4x+9；每人分7个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，即橘子总数小于7（x-1）+3，就可以列出不等式，得出x的取值范围．【详解】解：设共有x个儿童，则共有4x+9个橘子，1≤4x+9-7x-1解得133＜x≤5所以共有5个儿童，4x+9=29个橘子，故答案是：5，29．【点睛】考查了一元一次不等式组的应用．要注意不等式两边同时除以一个负数不等号的方向要改变．正确理解“最后一个儿童分得的橘子数少于3个”这句话包含的不等关系是解决本题的关键．12．（2023·四川自贡·校考一模）某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为_________________________．【答案】20x＝16（x+5）﹣8．【分析】设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+5）个，根据原计划在20天内完成的任务实际16天完成且还多生产8个，列方程即可．【详解】解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+5）个，由题意得，20x＝16（x+5）﹣8．故答案为：20x＝16（x+5）﹣8．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．13．（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）某地区加大教育投入，2021年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2023年，教育经费投入为2420万元，则该地区教育经费投入年平均增长率为______．【答案】10%【分析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2023年的经费为2000(1+x)2，2023年投入教育经费2420万元，建立方程2000(1+x)2=2420，求解即可．【详解】解：设年平均增长率为x，由题意可得：2000(1+x)2=2420，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）．所以2021年到2023年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用−−求平均变化率的方法，能够列出式子是解答本题的关键．14．（2023·湖南湘西·统考二模）不等式{x>22x+1≤7的正整数解为【答案】3【分析】直接解出各个不等式的解集，再取公共部分，再找正整数解即可．【详解】解：由2x+1≤7，解得：x≤3，由x>2，∴原不等式的解集是：2<x≤3．故不等式{x>22x+1≤7的正整数解为：故答案是：3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集和求不等式组的正整数解，解题的关键是：掌握解不等式组的基本运算法则，求出解集后，找出满足条件的正整数解即可．15．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．【答案】2【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，依题意得：（22-x）（14-x）=240，整理得：x2-36x+68=0，解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）我国古代数学著作《九章算术》有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其意思是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？”设好田买了x亩，坏田买了y亩，可列方程组为_______．【答案】x+y=100【分析】设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据合买好田、坏田100亩共需10000钱，即可得出关于x，【详解】设好田买了x亩，坏田买了y亩，依题意，得：x+y=100300x+50y=10000故答案为：x+y=100300x+50y=10000【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．三、解答题17．（2023秋·辽宁·八年级校考期末）（列二元一次方程组求解）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．【答案】6.5尺【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-12绳长【详解】解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得：x-y=4.5y-解得x=11y=6.5答：长木长6.5尺．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，古代问题中经常有二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．18．（2023·湖北武汉·统考二模）解不等式组x+3>2①请结合解题过程，完成本题的解答．（1）解不等式①，得_______________；（2）解不等式②，得_______________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为______________．【答案】（1）x>-1；（2）x≤2；（3）见解析；（4）-1<x≤2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：（1）解不等式①，得x>-1；（2）解不等式②，得x≤2；（3）数轴上表示如下：（4）原不等式组的解集为-1<x⩽2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（2023·江苏盐城·统考一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20％，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．(1)求3月初该商品下跌后的价格；(2)若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．【答案】(1)3月初该商品价格下跌后变为每件24元．(2)该商品价格的平均涨价率为10％．【分析】根据题意可知等量关系：下跌后能购买的件数－下跌前能购买的件数等于25，根据等量关系列出方程求解即可；根据题意可知：初始价格×（1+涨价率）×（1+涨价率）=29.04，根据题意列出方程即可．【详解】（1）解：3月初该商品价格原价为每件x元．根据题意，得：3000(1-20％)x经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意，则（1－20％）x=24（元）．答：3月初该商品价格下跌后变为每件24元．（2）解：设该商品价格的平均涨价率为y．根据题意，得：24(1+y)解得y1=0.1=10％，答：该商品价格的平均涨价率为10％．【点睛】本题考查用分式方程解决商品销售问题，一元二次方程解决增长率问题，能够根据题意累出等量关系是解决本题的关键．20．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）某商店用2500元采购A型商品的件数是用750元采购B种商品件数数量的2倍，已知一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若商店购进A，B型商品共150件，已知A型商品的售价为30元/件，B型商品的售价为25元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求这批商品的利润W（元）与m之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若A型商品的件数不少于B型商品的4倍，请你设计获利最大的进货方案，并求最大利润．【答案】（1）一件A型商品的进价为25元，一件B型商品的进价为15元；（2）W=-5m+1500；（3）获利最大进货方案为A型商品采购120件，B型商品采购30件，最大利润为900元．【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可求得一件A、B型商品的进价分别为多少元，注意分式方程要检验；（2）根据“利润=（售价-进价）×件数”即可得出W与m的函数关系式；（3）先求出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出最大利润．【详解】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+10)元由题意得2500解得x=15经检验，x=15是原分式方程的解此时，x+10=15+10=25答：一件A型商品的进价为25元，一件B型商品的进价为15元；（2）由题意和（1）的结论得：W=(30-25)m+(25-15)(150-m)=-5m+1500答：这批商品的利润W（元）与m之间的函数关系式是W=-5m+1500；（3）∵A型商品的件数不少于B型商品的4倍∴m≥4(150-m)解得m≥120又∵150-m≥0解得m≤150∴120≤m≤150∵W=-5m+1500，k=-5<0∴W随m的增大而减小∴当m=120时，W取得最大值，最大值为W=-5×120+1500=900（元）此时，150-m=150-120=30（元）答：获利最大进货方案为A型商品采购120件，B型商品采购30件，最大利润为900元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质、不等式的性质和分式方程的知识解答．21．（2023·江苏苏州·模拟预测）解不等式组5+3x<3x+2【答案】-5<x<-【分析】解每个不等式，再求每个解集的公共部分即可．【详解】5+3x<3①解不等式①得x<-解不等式②得x>-5∴不等式组的解集为-5<x<-【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求得每个不等式的解集是解题的关键．22．（2023·广东广州·统考中考真题）解方程组y=x-4【答案】x=5【分析】利用代入消元法求解方程即可．【详解】解：y=x-4把①代入②得x+(x-4)=6，解得x=5把x=5代入①得y=1所以方程组的解为：x=5y=1【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，仔细观察二元一次方程组的特点，灵活选用代入法或加减法是解题关键．23．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）解不等式组-1-x≤0x+1【答案】原不等式组的解集为－1≤x＜3，正整数解有：1，2．【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出解集内的整数解即可．【详解】解：-1-x≤0①解不等式①，得x≥－1，解不等式②，得x＜3．∴原不等式组的解集为－1≤x＜3，正整数解有：1，2．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．24．（2023·山东济南·统考三模）为了深入贯彻习总书记关于“双减”工作的重要指示，增强学生的体质，济南市某中学决定购买一些篮球和足球来促进学生的体育锻炼，已知每个篮球的售价比每个足球的售价单价多20元，并且花费6000元购买篮球的数量是花费3200元购买足球数量的1.25倍．(1)求篮球和足球的单价分别是多少元？(2)根据学校的实际需求，需要一次性购买篮球和足球共200个，并且要求购买篮球和足球的总费用不超过9600元，那么学校最少购入多少个足球？【答案】(1)每个足球售价为40元，则每个篮球售价为60元(2)120个【分析】（1）设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为x+20元，然后根据花费6000元购买篮球的数量是花费3200元购买足球数量的1.25倍列出方程求解即可；（2）设购入m个足球，则购入200-m个篮球，然后根据购买篮球和足球的总费用不超过9600元列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为x+20元，由题意得6000x+20解得x=40，经检验x=40是所列方程解且符合题意，∴x+20=60，答：每个足球售价为40元，则每个篮球售价为60元；（2）解：设购入m个足球，则购入200-m个篮球．由题意得40m+60200-m解得m≥120，答：学校最少购入120个足球．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出式子求解是关键．25．（2023·广西贵港·统考二模）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价