新 §2-21实际问题中导数的意义

2.1实际问题中导数的意义1．在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为______，它的单位是_____．2．在气象学中，通常把单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作__________，它是反映一次降雨_____的一个重要指标．3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导数称为__________，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．瓦特功率降雨强度大小边际成本题型一、导数在物理中的意义

[小结]

在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．例如中学物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等．变式训练1、某物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t＋1，求函数s＝3t＋1在t＝2处的导数s′(2)，并解释它的实际意义．题型二、导数在生活中的应用[小结]

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．变式训练2、一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)给出．请问：(1)f′(t)的符号是什么？为什么？(2)f′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f(3)＝65℃，你能画出函数在点t＝3min时图像的大致形状吗？解：(1)f′(t)是负数．因为f′(t)表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f′(t)为负数．(2)f′(3)＝－4表明在3min附近时，温度约以4℃/min的速度下降，如图所示．题型三、导数在经济学中的应用解：(1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.(2)当日产量分别为200kg,250kg,300kg时的边际利润分别为L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．其经济意义是：当日产量为200kg时，再增加1kg，则总利润可增加1元；当日产量为250kg时，再增加1kg，则总利润无增加；当日产量为300kg时，再增加1kg，则总利润反而减少1元．由此可得到：当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．[小结]

导数在经济学中的应用是边际分析和弹性分析．边际和弹性是经济学中两个重要的概念，用导数来研究经济变量的边际和弹性的方法，称之为边际分析和弹性分析．边际函数：在经济学中，把函数f(x)的导函数f′(x)称为f(x)的边际函数．在点x＝x0处的值f′(x0)称之为f(x)在点x＝x0处的边际值(或变化率、变化速度等)．变式训练3、造船厂年最大造船量为20艘，造船x艘产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数c(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．求利润函数p(x)及边际利润函数Mp(x)(利润＝产值－成本)．答案：p(x)＝－10x3＋45x2＋3240x