大学高等数学下考试题库

一、选择题（3分x10）

1、点M(2,3』)到点孙(2,7,4)的距离|陷％|=()、

A、3B、4C、5D、6

2、向量值=-f+2、+E,l=27+7,则有()、

A、a//bB、aLhC、=?D、(a,b^=

3、函数y=，2-x2_y2+_^-----的定义域就是()、

J/+y2_]

A、{(x,y)|l<x2+y2<2}B、(x,y|l<x2+y2<2)}

C、<x2+y2<2}D((x,y)|l<x2+y2<2]

4、两个向量方与很垂直的充要条件就是()、

A、ab=0B、axb=QC、a-b=0D、a+b=6

5、函数Z=x3+y3-3xy的极小值就是（）、

A、2B、-2C、1D、-1

6、设2=15皿）>,则一,,=（）、

V2

C、V2D、-A/2

A、~TB、

0\

7、若p级数£—收敛，则（）、

A、p<1B、p<1C、p>1D、p>1

8、幕级数的收敛域为()、

,.=i〃

A.[-1,1]B(-l,l)C,[-1,1)D、(-1,1]

9、基级数£土在收敛域内的与函数就是（卜

〃=o

1221

A、----B、-----C>----D、-----

I—x2—x1—x2—x

10、微分方程孙'—yIny=0的通解为（）、

ex

A、y=ceB^y=C、y=cxeD、y=

二、填空题（4分x5）

1、一平面过点A（0,0,3）且垂直于直线AB，其中点3（2,-1,1）,则此平面方程为

2、函数z=sin（xy）的全微分就是、

P27

3、设Z=一3孙3一胡+1，则上_=______________________________、

dxdy

4、」一的麦克劳林级数就是、

2+x

5、微分方程y"+4y'+4y=0的通解为、

三、计算题（5分x6）

3z8z

1、设z=e”sin叭而〃=孙，口=x+y,求一,一.

dxdy

2、已知隐函数z=z（x,y）由方程--2y2+z2—4x+2z—5=0确定，求上，上.

dxdy

3、计算jjsinJ—+y2db，其中£）:/<x1+y2<4乃？、

D

4、如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）、

5、求微分方程V—3y=e2*在=o条件下的特解、

四、应用题（10分x2）

1、要用铁板做一个体积为2机3的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

2、、曲线y=/（x）上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点求

此曲线方程

试卷1参考答案

一、选择题CBCADACCBD

二、填空题

1、2%~y~2z+6=0、

2、coxdy）、

3、6x2y-9y2—1、

4、之4"、

n=0乙

2x

5^y—（Cj+C2x）e~>

三、计算题

1、—=e叫ysin（元+y）+cos（x+y）］=exy\xsin（x+y）+cos（x+y）］、

dxdy

dz_2-xSz_2y

2、

dxz+1dyz+1

.2尸rln2

3、Id(p\sinp-pdp=>

鼻3、

4、

3

5、y^e3x-e2'、

四、应用题

i、长、宽、高均为知£〃时，用料最省、

12

2^y=­x.

3

《高数》试卷2（下）

一、选择题（3分x10）

1、点M（4,3,1）,%（7,12）的距离M%|=（）、

A、V12B、Vl3C、V14D、V15

2、设两平面方程分别为x-2），+2z+l=0与一x+y+5=0,则两平面的夹角为（）、

3、函数z=arcsin(x2+/)的定义域为()、

A、(x,y'OKj?+,24“B、</+/<]}

C、,(尤,“04/+y2'D、+y2<]>

4、点P（-1,一2,1）到平面x+2y—2z—5=0的距离为（）、

A、3B、4C,5D、6

5、函数z=2xy—3——2：/的极大值为（）、

,1

A、0B、1C、-1D、-

2

6、设Z=X?+3个+丁2,则舁［⑵=（）、

A、6B、7C、8D、9

7、若几何级数就是收敛的，则（）、

〃=0

A.r<lB、r>lC>|r|<1D,|r|<l

8、塞级数£(〃+1,”的收敛域为()、

〃=0

A.[-1,1]B,[-1,1)C,(-1,1]D、(-1,1)

.sinYiaj.

9、级数Z—「就是r（）、

〃=i〃

A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、不能确定

二、填空题（4分X5）

x=3+，

1、直线/过点A（2,2,-l）且与直线•y=r平行,则直线I的方程为

z二1一2，

2、函数z=e盯的全微分为、

3、曲面z=2x2-4y2在点（2,1,4）处的切平面方程为

4、一二的麦克劳林级数就是_______________________

1+x2

三、计算题（5分x6）

1、设2=，+2/—总5=2/+3房,求不乂及

设z="2口一〃口2,而〃=xcosy,v=xsiny,求宝，包.

2、

dxdy

3、已知隐函数z=z（尤,y）由T'+3A7Z=2确定，求一,」.

dxdy

22

4、如图,求球面炉+y+z=4/与圆柱面/+y2=2ax（a>0）所围的几何体的体积、

四、应用题（10分x2）

1、试用二重积分计算由y=&y=26与x=4所围图形的面积、

试卷2参考答案

一、选择题CBABACCDBA,

二、填空题

x—2y-2z+1

1、-----=-----=-----、

112

2、exy{ydx+xdy）、

3^8x-Sy-z=4、

4、：

n=0

5、y=x\

三、计算题

1、87-3]+2晨

2

­=3x2sinjcosj(cosj-sinj),—=-2x3sinjcosj(sinj+cosx3(sin3y+cos3y)、

dxdy

dz_—yzdz_-xz

dxxy+z2"dyxy+z2

>3)

四、应用题

16

1、--、

3

《高等数学》试卷3（下）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1、二阶行列式2-3的值为（）

45

A、10B、20C、24D、22

2、设2=1+2卜1＜六=2」+3工则a与b的向量积为（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、点P（-l、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）

A、2B、3C、4D、5

TT

4^函数z=xsiny在点（1,—）处的两个偏导数分别为（）

4

A也也B也一变c.与一显D一变变

、2’2'、2’22222

5、设x2+y2+z2=2Rx,则丁，丁分别为（)

oxdy

x-Ryx-Ryx-Ryx-Ry

、-----，一上、-------，一二

ABC、9D、

zzzzzzzz

6、设圆心在原点，半径为R,面密度为4=/+y2的薄板的质量为（）（面积人=成2）

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、-R2A

2

8XH

7、级数£（-l）〃L的收敛半径为（）

〃=1n

1

A、2B、一C、1D、3

2

8、cosx的麦克劳林级数为（）

oo2M82n82/Joo2n-l

A、Z（T）"7^B、Z（T）"7^C、Z（T）"3D、ZE

„=o（2/J）!„=i（2〃）！„=o（2/z）!„=o（2〃-1）!

9、微分方程（y''）4+（y'）5+y'+2=0的阶数就是（）

A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶

10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根为（）

A、-2,-1B、2,1C、-2,1D、1,-2

二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）

1、直线L：x=y=z与直线L?:三^=>；=z的夹角为。

直线L3:=:与平面3x+2y-6z=0之间的夹角为。

3、二重积分jjda,D:x2+y2<1的值为.

D

4、哥级数£标的收敛半径为__________S上的收敛半径为__________。

”=0w=o"！

三、计算题（本题共6小题,每小题5分，共30分）

1、用行列式解方程组,-3x+2y-8z=17

y2x-5y+3z=3

-x+7y-5z=2

2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1,1,1）处的切线及法平面方程、

3、il®JJxyda,其中。由直线y=l,x=2及y=x围成、

D

4、问级数Z8（-D"Si1d收敛吗？若收敛，则是条件收敛还是绝对攵敛？

„=1n

5、将函数f（x）=e3x展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）

1、求表面积为a?而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰

变。由原子物理学知道,铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t=0

时，铀的含量为Mo,求在衰变过程中铀含量M⑴随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空题

2.8

1、arcos—；=,arcsin—2、0、96,0、17365

V1821

3、JI4、0,+oo

X

5、y=ce2,cx=1

y

三、计算题

1、卜32-8

解:△=23二(-3)X

17

172-8

△x=3-53=17X-53-2X33+(-8)X：-5=138

27-57-52-527

同理:

17

△y=233=276△z=414

12-5

所以,方程组的解为％='=1,>="=-2"="=一3

AAA

2^解：因为x=t,y=t2,z=t3,

2

所以xt=l,yt=2t,Zt=3t,

所以x1t=i=l,yt|t=i=2,zt|t=i=3

故切线方程为：3=3=0

23

法平面方程为：(x-l)+2(y-l)+3(z-l)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因为D由直线y=l,x=2,y=x围成,

所以

D:pWyW2

Y

故：xydcr=jjJxydxjdy=J(2y-—)dy=1-

15

D128

4、解:这就是交错级数，因为

%=si/〉O,所以，%+1〈%,且limsinL。，所以该级数为莱布尼罐级数，故收敛，

nn

1业扬.CCM如：发散，从而fsinL发散。

又£sin-当x趋于0时,sinx~x,所以,hm—#=1,又级数占〃5

Mn"f8蓄

n

所以，原级数条件收敛

^l+x+-x2+^x3+---+-xn

+•••

解:因为3!

xe(-oo,+oo)

用2x代x，得:

e"=1+(2X)+：(2X)2+《(2X)3D—+^(2JC)"H—

,c22232"„

=l+2x+——x2+—%3+•••+——x"+…

2!3!〃！

xe(-oo,+oo)

6、解:特征方程为J+4r+4=0

所以,(r+2/=0

2x2x

得重根n=r2=-2,其对应的两个线性无关解为yi=e,y2=xe-

所以，方程的一般解为y=©+C2X)e-2x

四、应用题

1、解:设长方体的三棱长分别为x,y,z

则2(xy+yz+zx)=a2

构造辅助函数

F(x,y,z)=xyz+/l(2xy+2yz+2zx—a2)

求其对x,y,z的偏导，并使之为0,得:

"yz+24(y+z)=0

yxz+22(x+z)=0

<xy+22(x+y)=0

与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z二也^

%3

所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为V=xyZ=2^L

36

2、解:据题意

dM

----=-AM

dt

其中外0为常数

初始条件用|,=0=似0

对于也=々加式

dt

dM,,

——=-Adt

M

两端积分得InM=-加+lnC

所以，M=ce"

又因为M|y)=Mo

所以，=C

所以，M=M°e”

由此可知，铀的衰变规律为••铀的含量随时间的增1)而按指数规律衰减

《高数》试卷4(下)

—.选择题：3410=30'

1.下列平面中过点(1,1,1)的平面就是.

(A)x+y+z=0(B)x+y+z=l(C)x=1(D)*=3

2.在空间直角坐标系中，方程x2+俨=2表示,

(A)圆(B)圆域(C)球面(D)圆柱面

3.二元函数z=(1-x)2+(1-y)2的驻点就是.

(A)(0,0)(B)(0,l)(C)(l,0)(D)(l,1)

4.二重积分的积分区域。就是1<N+俨工4，则^dxdy=.

D

（A）乃（B”乃（C）34（D）15乃

5.交换积分次序后1/xQ/ayWy=.

（A）‘附（B）胸/J，"（cj：d4）"（x，y）dx（D）J>j"（x，yg

6.〃阶行列式中所有元素都就是1，其值就是.

（A）n（B）0（C）n!（D）1

8.下列级数收敛的就是.

2,n?3"自（-1）”T瓷1

（A）S（-i）/,-,—r（B）Z万（C）Z——-（D）ZT=

,1=1〃+l〃=i2M=J〃

9.正项级数£〃“与满足关系式斯<U〃，则.

0=1"=1

（A）若£"“收敛，则£%,收敛（B）若乞v„收敛，则X""收敛

n=l〃=1n=ln=l

（。）若£%发散，则火即发散必若上“〃收敛,则£力发散

n=]n=\n=ln=l

10.已知:一!一=I+X+N+…，则」的基级数展开式为___________.

1-X1+X2

（A）l+x2+x4+---（B）-l+x2-x4+---（C）-1-x2-x4---（D）1-x2+x4---

二.填空题：4'x5=20'

1.数z=JN+"-1+|n（2-N-川）的定义域为

2.若于（x,y）=xy，则/（-,1）=.

x

3.已知（如先）就是f（x,y）的驻点，若£式沏,,加）=3,6/加,光）=12靖（如％）=a则

当时,（即,知）一定就是极小点.

5.级数£〃〃收敛的必要条件就是.

/?=!

三.计算题（一）：6x5=30'

1.已知:z=以求:竺，包.

dxoy

2

2.计算二重积分JJ淇中£>=｛（%,y）10<y<V4-x,0<x<2）.

D

4.求暴级数的收敛区间.

n=\〃

5.求f（x）=e-的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）.

四.计算题U）：10,x2=20,

1.求平面X—2y+z=2与2x+y—z=4的交线的标准方程.

参考答案

一.1.C;2.D;3.D;4.D;5.A;6.B;7.B;8.C;9.B;1O.D.

Z2.1.{(x,y)11<x2+y2<2}2.)3.-6<«<64.275.limw„=0

X"TO

四.L解:包=冲尸1@=x>lny

dxdy

2.解:jj/4-x?do=^4-x2dy=^(4-x2)dx=4x-—'=—

DL3J。3

rl-27、

102]

3.解:3-1=01-2=2-415j

k001」

4.解:R=1,当|x|〈1时，级数收敛，当x=l时，得火H收敛，

«=i"

当尤=T时，得£；且空=£」发散，所以收敛区间为(T』、

«=1〃n=\〃

5.解:、因为"=2二X£(-00,+8),所以6T="=£("X"XG(-€0,4-00)>

〃=0〃！z»=0"n=0川

jk

四.1.解:、求直线的方向向量:8=1-21=；+3]+5八求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0、0),所以

21-1

交线的标准方程为:、V=i=f

111](1121^|(\\21)(1121、

2.解:N=1411—1411-02-11—A,0->0A,—I1—A0

J-“卜1

11J[01-21一万1—X,0(1—A)(2+A)1—4,

⑴当2=—2时,/XA)=2,而=3,无解；

〜1

(2)当％hH-2时，r(A)=(A)=3,有唯一解:x=y=z=——；

2+A.

X=1-C|-c2

⑶当>1=1时，"A)=(N)=1,有无穷多组解：,y=tj(ng为任意常数)

Z=。2

《高数》试卷5(下)

一、选择题(3分/题)

1已知〃=%+/,B,则QXg=()

A0Bi-jCi+jD-i+j

2、空间直角坐标系中/+y2=1表示（）

A圆B圆面C圆柱面D球面

3、二元函数2=丝且在（0,0）点处的极限就是（）

X

A1B0CooD不存在

4、交换积分次序后Jf（x,y）dy=（）

o

A\dy^f（x'y^xB^dy^f（x,y）dx

0x

DJ办［；/（国丁心

o-v0

5、二重积分的积分区域D就是N+|y|wl,则"公办，=（

)

D

A2B1C0D4

6、n阶行列式中所有元素都就是1,其值为（）

A0B1CnDn!

7、若有矩阵A3X2,82,3，C3X3，下列可运算的式子就是（）

AACBCBCABCDAB-AC

9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（）

A必等于零B必不等于零

C可以等于零，也可以不等于零D不会都不等于零

0000

10、正项级数%与X乙满足关系式乙4匕,,则（）

"=1