新人教版高中数学必修第二册课时跟踪检测（五） 向量的数量积

课时跟踪检测(五)向量的数量积

A级——学考合格性考试达标练

1.［多选］下列说法正确的是()

A.向量b在向量a上的投影是向量

B.若ab<0,则a与b的夹角6的范围是d，花

C.(ab)c=a(bc)

D.ab=O,则a_Lb

解析:选AB对于选项A,根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B,・.・a・b=|a||b|cos

0<0,则cos。<0,又：0<6<兀，：.e^,兀，故B正确；对于选项C,；(a-b)-c与c是

共线向量，a-(bc)与a是共线向量，it(a-b)-c^a*(b-c),故C错误；对于选项D,ab=0

今a~Lb或a=0或b=0,故D错误.故选A、B.

2.已知间=小,|b|=2小,a与b的夹角是120。，则a・b等于()

A.3B.—3

C.-3^3D.3小

解析：选B由数量积的定义，得2心=冏|1)|8$120。=书><2小乂(一，=一3.故选8.

3.(2018•全国卷II)已知向量a,b满足|a|=l,ab=-l,则a-(2a—b)=()

A.4B.3

C.2D.0

解析：选Ba(2a—b)=2a2—ab=2|a|?—ab.

V|a|=l,ab=-l,原式=2义『+1=3故选B.

4.设ei和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e?,则a-b等于()

A.—2B.—1

C.1D.2

解析：选B因为@|=恰2|=1,ele2=0,所以a-b=(3ei+2e2>(—3ei+4e2)=—9届广

22

+8|e2|+6eie2=-9xi+sxr+6xo=-i.故选B.

5.已知|a|=3,|b|=2,且a,b的夹角为60。，如果(3a+5b)_L(ma-b),那么m的值

为()

3223

AA-23B1a-42

八29>42

042口23

解析：选C由题意知(3a+5b)•(5a—b)=0,即3机22+(5%—3)a-b—5b2=0,3mX3?+

(5m—3)X3X2cos60°—5X22=0,解得相=患.故选C.

6.已知|a|=3,|b|=5,且a-b=12,则向量a在向量b方向上的投影向量为

解析：Vab=|a||b|cos6»=12,又|b|=5,

|a|cos七=9，即a在b方向上的投影向量为悬).

12

答案：

7.(2019•全国卷III)已知a,b为单位向量，且ab=0,若c=2a-小b,则cos<a,c>

解析：由题意，得cos<a,c>=

：\a片\\2a-y£j5b2\

2a*2―\l5ab_______2_____2

\a\-yj\2a-yf5b\11><^4+5予

答案：f2

8.已知向量a,b,其中冏=小，|b|=2,且(a—b)J_a,则向量a和b的夹角是,

a-(a+b)=.

解析：由题意，设向量a,b的夹角为夕因为闾=小，|b|=2,且(a—b)~La,所以(a—

b),a=|a|2-ab=|a|2-|a||b|cos6»=3-2V3-cos6»=0,解得cos<9=坐.又因为0WJ〈7t,所以

6=聿.则a-(a+b)=|a|2+|a||b|-cos0=3+2小x多=6.

答案：I6

9.已知向量a,b的夹角为30。，且|a|=4§,|b|=l,求向量p=a+b与q=a—b的夹

角。的余弦值.

解：pq=(a+b)(a—b)=a2—b2=|a|2—|b|2=3—1=2.

"."|p|=|a+b|=-\la2+2a-b+b2,=73+2小cos30°+1=市,

|q|=|a—b|=yja2~2a-b+b2=、3—2小cos30。+1=1,

•0p,q22s

・"=叫|=不，=7­

10.已知|a|=2,|b|=l,a与b的夹角为争若向量2a+也与a+b垂直，求实数A的

值.

兀1

解：a-b=|a||b|cos3=2x1X]=i.

因为2a+Ato与a+b垂直,

所以（2a+Ab>（a+b）=0.

所以2a2+2a-b+ka-b+Zb2=0.

所以2X22+2+%+%=。.所以k=-5.

B级——面向全国卷高考高分练

1.如图，e”e?为互相垂直的两个单位向量，则|a+b|=()

A.20B.^io

C.2小D，VB

1731

解析：选C由题意，知a=-1e［一于2,b=—2©1—262,所以a+b=—2e］一4§2,所

以|a+b|=q（-2e—4e2）2=d4⑶|2+16勺,。2+16忸2『=也5=2小.故选C.

2.已知向量a,b满足|a|=l,a±b,则向量a-2b在向量a方向上的投影向量为()

A.aB.1

C.11D.—a

解析：选A设。为向量a—2b与向量a的夹角，则向量a—2b在向量a方向上的投

影向量为|a—2bleos。俞

(a—2b)-aa~-2ab1,a,1a....

又cos0=|0—2训0|=|。一2加。|=|〃一2臼'故la―2b|cos0.=|a_2bl卜—2训0=a.t故选

A.

3.定义：Iaxb|=|a||b|sin0,其中。为向量a与b的夹角，若|a|=2,|b|=5,ab=-6,

则|axb|等于（）

A.8B.-8

C.8或一8D.6

n.h—6344

解析：选Acose=j^i=^^=-W，V6>G[0,TT],...sine=5.；.|aXb|=2X5X§=

8.故选A.

4.如图，在平行四边形ABC。中，A8=l,AD=2,点E,F,G,

”分别是4B,BC,CD,AD边上的中点，则EF-FG+GH-HE=

)

A.13

B.

2

解析：选A易知四边形EFG”为平行四边形，连接"F（图略），取“厂的中点为0,

因i^C~EF~FG+~GH-liE=|.故选A.

5.（2017•全国卷I）已知向量a,b的夹角为60。，|a|=2,|b|=l,则|a+2bl=,

解析：法一：易知|a+2bl=而下了讦丽=q4+4X2Xlx/+4=2S.

法二：（数形结合法）由|a|=|2b|=2,知以a与2b为邻边可作出边>

____>0<]600C

长为2的菱形QAC8,如图，则|a+2bl=|OC|.又NAO8=60。，所以除

B

|a+2b|=2^3.

答案：2小

6.若|a|=l,|b|=2,c=a+t^c_La,则向量a与b的夹角为.

解析：由c，a得，ac=O,所以a-c=a-(a+b)=O,即a2+a-b=0.设向量a与b的夹

角为6,则cos一；，所以向量a与b的夹角。=120。.

答案：120。

7.已知a,b是非零向量，/为实数，设u=a+fb.

(1)当|u|取最小值时，求实数/的值；

(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？

解：(l)|u『=|a+/b|2=(a+/b)(a+tb)

=|b|¥+2(a-b)z+|a|2

=也於+韵?+la『一膂.

：b是非零向量，.•.|b|#0,

.,.当f=一需时,|u|=|a+rb|的值最小.

⑵：b.(a+rb)=a.b+r|b『=a.b+(一^-]b|2

=ab—ab=0,

.,.b±（a+/b）,即b-Lu.

c级——拓展探索性题目应用练

如图，扇形AOB的弧的中点为M,动点C,。分别在OA,OB

上，且OC=8O,04=1,