很好用的高中数学知识点总结1

高中数学基础知识总结

第一章集合与简易逻辑

1、集合的概念

(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2、常用数集及其表示方法

(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合。记作N

(2)正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N,

(3)整数集：全体整数的集合。记作Z

(4)有理数集：全体有理数的集合。记作Q

(5)实数集：全体实数的集合。记作R

注意：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

(2)非负整数集内排除0的集。记作N*或N.。Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样

表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

3、元素对于集合的隶属关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作adA

(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作aeA

4、集合中元素的特性

(1)确定性：设"是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是4的元素，或者不是力

的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同

一集合中不应重复出现同一元素；

(3)无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关。

注意：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“G”的开口方向，不能把aGA颠倒过来写.

5、集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集

合的方法。

格式：{xWA：P(x)},含义：在集合A中满足条件P(x)的x的集合。

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

6、有限集与无限集

1、有限集：含有有限个元素的集合。

2、无限集：含有无限个元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。记作0,如：{%€/?|—+1=0}

7、集合的包含关系：

⑴集合4的任何一个元素都是集合6的元素，则称力是6的子集(或6包含1),记作4口6(或

Au3)；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若力78且月二月，则称1等于8记作/二员若

力q〃且力齐氏则称4是6的真子集，记作

⑵简单性质：1)41小

2)0口小

3)若仁E,则

4)若集合4是n个元素的集合，则集合4有2”个子集(其中2"—1个真子集);

所有非空真子集的个数是2"-2。

8、全集与补集：

(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

(2)若S是一个集合，A^S,贝ij,。5=｛幻］€5且/仁川称$中子集4的补集；

(3)简单性质：1)CS(CSA)=J；2)CsS=0,Cs0=So

9、交集与并集：

⑴交集：一般地，由属于集合力且属于集合占的元素所组成的集合，叫做集合力与6的交集。

交集AcB=｛x|xeASJCeB｝。

⑵并集：一般地，由所有属于集合/或属于集合6的元素所组成的集合，称为集合｛与6的并

集。并=｛x|xe8｝。

⑶补集：若A口/,则GA=｛布e/,且x史A｝称为/在/中的补集。

⑷差集：=A?｝o

⑸集合｛也<x<eR,。<8｝记作开区间(a,b),

集合｛也<x<b,xeR,a<b｝记作闭区间［a,b］,R记作(-。。,+8).

⑹用文氏图表示交集、并集、补集有关关系，如果A=U,BcU,利用文氏图表示下面关系:

G(AnB)=(GA)U(CuB)

AflUaans)CtutC«B(GA)U(CM

Cv(AUB)=(C,.A)C(CiB)

AUBCvCAUB)04CsB(QAintCtfi)

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键

是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题

设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

10、集合的简单性质：

(1)AcA=A,Ac①=<!>,AcB=8cA;

(2)=A,B=BA;

(3)(AnB)a(AuB);

(4)AB<^>A^\B=A;AB<^>A<JB=B；

(5)Cs(AOS')=(C5/f)U(C$8),CsTU8)=(CSA)P(CsB)。

定理1集合的性质：对任意集合4B,C,有：

(1)An(6Uc)=(AnB)u(Anc)；(2)AU(6nc)=(AU8)n(Auc)；

(3)Cf7AUCf；fi=C£/(AnB);(4)ClJA^Cl,B=Cu{A\^B).

定理2加法原理：做一件事有〃类办法，第一类办法中有g种不同的方法，第二类办法中有机2种

不同的方法，…，第〃类办法中有叫，种不同的方法，那么完成这件事一共有

N=㈣+加2H---1■加〃种不同的方法。

定理3乘法原理：做一件事分〃个步骤，第一步有犯种不同的方法，第二步有机2种不同的方

法，…，第〃步有机“种不同的方法，那么完成这件事一共有Nu/n,•”...加“种不同

的方法。

定理4容斥原理；用同表示集合1的元素个数，则|AUG=M+同一|an耳

|4118110=网+同+|0—|40目一k0。一忸0。+|4030。，需要灯此结论可以

推广到〃个集合的情况，即

=-n_|

XUA2L|A|XIA-nAjI+zIA,,nA.nAk|—+(-i)P|A.

i=\i=\i丰jIWivjvk"i=l

定义8集合的划分：若AUAU---UA,=/，且A=0(i<zj<n,/^j),则这些子集

2AA7

的全集叫/的一个〃-划分。

定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。

定理6抽屉原理：将根〃+1个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于，77+1个元素，

也必有一个抽屉放有不多于加个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无

穷多个元素。

11、含有绝对值不等式的解法:

⑴国<a(a>0)的解集为一a<x<a；

(2)|A)>«(«>0)的解集为x>a或x<-a

⑶何+4<c(c>0)化为｛x|-c<ax+b<c｝来解：

>c(c>0)｛x|ax+b>c或ax+8<-c｝来解

⑷本节的重点是对|ax+bI<c(c>0)转化成-c<ax+b〈c与Iax+bI>c(c>0)转化成ax+b>c

或ax+b<-c的理解.若cGR,则对c要进行讨论.若用不等式两边平方方法化解含绝对值的符

号，则既要讨论实数c的取值情况，又要对取值范围进行检验.在应用集合的概念解这类不等

式的过程中，要注意不等式组的解集中，对不等式端点值的取舍情况.

⑸解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的

一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同.

⑹解含有绝对值符号的不等式的基本方法如下：

若数X„X2,……,x”分别使含有|x-x"、|x-xzI……,|x-x„I的代数式中相应的一

个绝对值为零，则称Xi,X2,……,Xn为相应绝对值的零点,零点X|,X2……，X”将数轴分成n+1

段，利用绝对值定义去绝对值符号，从而得到代数式的各段上的简化式，这种“零点分段法”

化去绝对值符号的方法，是解决有关问题的简捷而有效的方法.

解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：

(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根：

(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；

(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；

(4)取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.

12、逻辑联结词：“或”、“且”、“非”

不含逻辑“联”结词的命题，叫做简单命题。

由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题.

一般地，用逻辑联结词“且”把命题。和命题。联结起来，就得到一个新命题，记作

读作“P且g”.规定：当p、g都是真命题时，是真命题；当。、<?两个命题中有一个是假

命题时，「A"是假命题.全真为真，有假即假.

一般地，用逻辑联结词“或"把命题0和命题g联结起来，就得到一个新命题，记作：pvq,

读作：。或规定：当。、。两个命题中有一个是真命题时，pvq是真命题；当p、g都是假

命题时，pvq是假命题.全假为假，有真即真.

一般地，对一个命题o全盘否定，就得到一个新命题，记作：「0,读作“非P”或"P的

否定若。是真命题，则必是假命题；若P是假命题，则r，必是真命题.

复合命题形式表示含义与集合运算的联系

q或Pq与p中至少有一个发生AUB={x|xGA,或xWB}

p且qq与P同时发生AAB={xIx£A,且xEB}

非P否定PCvP={xIx任P,x£U}

“非”命题最常见的几个正面词语的否定:

正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个

否定至少有两个一个也没有某个某些至少有n+1个某两个

原命题：若P则q；逆命题：若q则P;

否命题：若「P则「q；逆否命题：若「q则「p.

四种命题的真假关系

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:

①原命题为真，它的逆命题不一定为真

②原命题为真，它的否命题不一定为真

③原命题为真，它的逆否命题一定为真

原命题假假真真

逆命题假真假真

否命题假真假真

逆否命题假假真真

反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误

的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命

题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法

反证法的步骤：

(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立

(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明

过程中，推出自相矛盾的结论

14、充分必要条件：

对于命题“若P则q"，即P是条件，q为结论.

(1)如果已知P=>q,我们就说P是q的充分条件，q是P的必要条件.

(2)如果既有p=>q,又有q=>p,就记作pOq.这时，p既是q的充分条件，又是q的必

要条件，我们就说P是q的充分必要条件，简称充要条件.

15、一元二次不等式解法

一元二次不等式ax2+"c+c>0（或a?+c<0）（a工0）的代数解法:

设一元二次不等式加+bx+c>Q（"0）相应的方程加+/zx+c=0（"0）的两根为

2

xPx2JE%1<x2,则ax+/?x+c>0otz(x-Xj)(x-x2)>0：

<0,x-X]>0,X<X|,x>x,

①若a>0,则得或《=>V或〈t

x-x2<0,x-x2>0.x<x2,x>x2.

当王<“2时，得或X>%2；当玉=%2时，得且

X-X)<0,x-x]<0,X<X,,„x<x,,

②若。<0,则得<或〈n或，

x-x2>0,x-x2>0.x>x2,[x>x2.

当X]V尤2时，得王<光<%2；当王=人2时，得X£0.

列表法，解题步骤是：

①将不等式化为（X-X1）（X-X2）…（X-Xn）>o（<o）形式（各项X的符号化"+令（X-X1）（X-X2）…

（x-Xn）=0,求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分

界点把数轴分成n+1部分……；

②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的

因式开始依次自上而下排列）；

③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；

④看下面积的符号写出不等式的解集.

根轴法：可大致画出函数图形求解，称之为根轴法（零点分段法）

①将不等式化为《^）&^>・・&-右）>0（<0）形式，并将各因式x的系数化“+”；（为了统一方

便）

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，

则找“线”在x轴下方的区间.

注意：奇过偶不过

分式不等式的解法：解法是：移项，通分，右边化为0,左边化为垂。的形式.也可以直

g（x）

接用根轴法（零点分段法）求解

由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数,

不等号方向要变；分母中有未知数X,不等式两边同乘以一个含X的式子，它的正负不知，不

等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不

等式，切忌去分母.

第二章函数

1.映射：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则了,对于集合A中的任何一个元素,

在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对

应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A-B。

集合A到集合B的映射有两种形式：(1)一一对应；(2)多对一；“注意一对多则不是映射。”

给定一个集合A到B的映射，且aWA,bCB,如果元素a和元素b对应，那么，我们把

元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。

一一映射：一般地，设A、B是两个集合，/：AfB是集合A到集合B的映射，如果在这个映射

下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，

那么这个映射叫做A到B上的一一映射。

2、函数：如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：A-B就叫做A到B的函数。记作y=/(x)。

其中xGA,yGB。原象的集合A叫做函数丁=/(x)的定义域，象的集合C(CB)叫做

函数y=/(x)的值域。

函数的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法。

闭区间［a,b］,开区间(a,b),半开闭区间(a,b］、［a,b)的含义。

3.反函数

⑴定义：只有满足,函数y=_/(%)才有反函数.例如：y=f无反函数.函数

y=/(x)的反函数记为％=/T(y),习惯上记为y=/T(x).

⑵.求反函数的步骤:

①将y=/(x)看成关于X的方程，解出％=若有两解，要注意解的选择；

②将互换，^y=f-'(x)；

③写出反函数的定义域(即y=/(x)的值域)。

⑶.在同一坐标系，函数y=/(x)与它的反函数y=/7。)的图象关于)，=X对称.

⑷-一般地，如果函数y=/(x)有反函数，且/3)=匕，那么/'T(b)=a.这就是说点(a,。)

在函数＞=/(%)图象上，那么点(仇。)在函数y=/T(x)的图象上.

注：1、函数/Xx)的反函数尸(x)的性质与/Xx)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相

同的单调性等，把反函数/(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要

思想。

2、设函数f(x)定义域为A,值域为C,则①/［f(x)］=x,(xA)②式尸(旧］=禺(xC)

4、函数的单调性：如果函数y=/(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=/(x)在这

一区间具有单调性，这一区间叫做y=/(x)的单调区间。

增函数：如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值玉,当，当当</时，

都有fM</(々)，那么就说/(x)在这个区间上是增函数。

减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值玉,修，当为</时，都有

/(x()>/(x2),那么就说/(x)在这个区间上是减函数。

判断函数单调性的方法：

①定义法(作差比较和作商比较)；

②图象法；

③单调性的运算性质(实质上是不等式性质)；

④复合函数单调性判断法则；

⑤导数法(适用于多项式函数)

5、奇偶性：条件：定义域一定要关于原点对称。如果对于函数/(x)的定义域内任意一个x都有

/(-%)=/(x),那么函数/(x)就叫做偶函数。如果对于函数/(x)的定义域内任意一个X

都有/(—x)=—/(x),那么函数/(X)就叫做奇函数。

如果函数/(X)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数/(X)具有奇偶性。

奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

⑴偶函数：f(—x)=/(x).设(。力)为偶函数上一点，则(一。力)也是图象上一点.

⑵奇函数：/(—x)=—/(%).设(a,b)为奇函数上一点，则也是图象上一点.

注：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析

式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如/(-x)±/(x)=O,勺?=±1(/(670)。

.M

6、对称性：

⑴两个函数的图象对称性

1、y=/(x)与y=_/(x)关于X轴对称。

换种说法：丁=/(刈与)=8(幻若满足了(为=-8(©，即它们关于y=0对称。

2,丁=/(")与^=/(一”)关于丫轴对称。

换种说法：丁=/(为与y=8(%)若满足/(%)=8(—幻，即它们关于x=0对称。

3、丁=/(幻与丁=/(2。一划关于直线1=。对称。

换种说法：^=/。)与^=8(处若满足/。)=8(2。—幻，即它们关于x=a对称。

4、y=/(x)与y=2a—/(x)关于直线y=a对称。

换种说法：丁=/(冷与丁=8(幻若满足/(幻+8(幻=2。，即它们关于y=a对称。

5、y=f(x)与y=2Z>-，(2a—x)关于点(a,Z?)对称。

换种说法：丁=/(%)与丁=8(%)若满足了(幻+8(2。一%)=2>，即它们关于点(。力)对

称。

6、y=/(a—幻与y=(x—。)关于直线x=09对称。

⑵单个函数的对称性

性质1：函数y=/(x)满足，(“+x)=/(6-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=3把对称。

2

性质2：函数y=f(x)满足/3+x)+fS—x)=c•时，函数y=/(x)的图象关于点(区也，-)

22

对称。

性质3：函数y=/(a+x)的图象与丫=/(。-幻的图象关于直线x=2二0对称。

2

7、周期性

1、一般地，对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都

有/(x+T)=/(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若/(x+a)=/(x+份，则是周期函数，—a是它的一个周期

2、若T是周期，则左T(左声O/eZ)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所

说的周期是指函数的最小正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数/(x)=C；

3、对于非零常数A,若函数y=/(x)满足/(x+A)=—/(x),则函数y=f(x)必有一个周期

为2A。

4、对于非零常数A,函数y=/(x)满足f(x+A)=—,则函数y=/(x)的一个周期为2A。

/(x)

5、对于非零常数A，函数y=/(x)满足/(x+A)=-——，则函数y=/(x)的一个周期为2A。

/(•V)

6、对于非零常数A,函数y=/(x)满足/(x+4)J':⑴或/(x+4)=♦/⑴则函数

21-/(%)2l+/(x)

y=.f(x)的一个周期为2A。

7、已知函数/(x)的定义域为N,且对任意正整数x都有/。)=/(1+。)+/(工一。)(。#。)则

函数的一个周期为6a

8、对称性和周期性之间的联系

性质1：函数y=/(x)满足,f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)(a^b),则函数y=/(x)是

周期函数。

性质2：函数》="¥)满足/>(〃+力+/(«-/=(和/(6+工)+/(6-％)=，34。)时,函数

y=/(x)是周期函数。(函数y=f(x)图象有两个对称中心(a,£)、(b,-)时，函数

22

y=/(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期)

性质3：函数y=/(x)有一个对称中心(a,c)和一个对称轴x=〃(a¥6)时，该函数也是周

期函数，且一个周期是4(。-公。

推论：若定义在R上的函数/(x)的图象关于直线x=a和点(d0)(。力加对称，则/(九)是周

期函数，4(6-a)是它的一个周期

性质4：若函数/(x)对定义域内的任意x满足：./1(x+a)=/(x—a),则2。为函数/(无)的周

期。(若/(x)满足/(x+a)=/(a—x)则/(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意

二者的区别)

性质5：已知函数y=/(x)对任意实数x,都有/(a+x)+/(x)=b,则y=/(x)是以2a为

周期的函数

9、指数与指数函数：

指数运算法则：

⑴同底数塞乘法法则：同底数的累相乘，底数不变，指数相加，即优

⑵幕的乘方法则：塞的乘方，底数不变，指数相乘，即(""1=优'"

⑶积的乘方法则：.积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的寨相乘，即(a8)"="Z"。

⑷同底数幕的除法法则：同底数基相除，底数不变，指数相减，即=a"i'(a°=l)。

⑸商的乘方法则：.商的乘方等于除数与被除数分别乘方，再把所得的基相除，

\bJb

指数函数：一般的，函数y=a"(〃〉()，且awl)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的

定义域为域.

y=ax(>1)y=a*(0vq<1)

象；当。<()时，将函数y=/(x)的图象向右平移|a|个单位，得到y=/(x+a)的图象。

图象1恃征函数性质

a>10<a<la>l0<a<l

向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R

图象关于原点和了轴不对称非奇非偶函数

函数图象都在龙轴上方函数的值域为R'

函数图象都过定点(0,1)a°=l

自左向右，自左向右，

增函数减函数

图象逐渐上升图象逐渐下降

在第一象限内的图在第一象限内的图

x>0,ax>lx>0,优VI

象纵坐标都大于1象纵坐标都小于1

在第二象限内的图在第二象限内的图

x<0,ax<lx<0,ax>l

象纵坐标都小于1象纵坐标都大于1

利用函数的单调性，结合图象还可以看出:

⑴在［a向上,/(x)=优(a>0且aW1)值域是［/(«),/(«)］;

(2)若xW0,贝如(x)。1"(x)取遍所有正数当且仅当xeR;

(3)对于指数函数/(x)=a'(a>0且aWl),总有/(0)=1,./•⑴=a;

(4)当a>l时，若王<工2,则/(%)</(9);

10、对数与对数函数：

对数的运算性质：如果a〉0,a1,J/>0,N>0,则

(1)\oga(MN)=log„M+log„N；

(2)log„果=log„M-log„N；

n

(3)log”M=7ilogf/M(〃£R)

①对数的换底公式log,,N=；②对数的倒数公式logf=—

log/,alog,,a

③对数恒等式：log.N"=log“N,log.N"='log“N,log“〃■胤,clog,a=1.

aain

对数的性质：

图象的特征函数的性质

（1）图象都在y轴的右边（1）定义域是（0,+8）

（2）函数图象都经过（1,0）点（2）1的对数是0

（3）从左往右看，当。>1时，图象逐（3）当。>1时，y=log：是增函数，

渐上升，当0<。<1时，图象逐渐下

降.当OVaVI时;y=log〃尤是减函数.

(4)当a>l时，%>1,则log“x>0；

（4）当a>l时，函数图象在（1,0）

点右边的纵坐标都大于0,在（1,0）

0<X<1,log“X<0

点左边的纵坐标都小于0.当0<a<1

时，图象正好相反，在（1,0）点右边

当时，X>1,则log“x<0；

的纵坐标都小于0,在（1,0）点左边

的纵坐标都大于0.

0<x<l,log„x<0

指数函数与对数函数对照表

指数函数对数函数

一般形式x且

y=a(a>09且aw1)y=logdx(a>0,aw1)

定义域(-O0,+oo)（。,+8）

值域（。,+8）(-00,+00)

函当4>1时，当T>1时,

数a'>1,x〉0,log“X>0,X>\,

值

<ax=1,x=0,«log„X=0,X=1,

变

v

化a<1,x<0.log,,x<0,x<1.

情当0<a<l时，当（）<a<l时，

况

ax<1,x>0,log“x<0,x>1,

x

«a=1,x=0,-log“x=0,x=l,

ax>1,x<0.log“x>0,x<1.

时，丁=就是增函数；a>l时，y=log“x是增函数；

单调性

0V〃<1时，y=ax是减函数()<a<l时，y=log“x是减函数

图象函数y=ax的图象与函数y=log„x的图象关于直线y=x对称.

11、凸函数与凹函数

在给定区间内，若函数/(X)的图象向上凸出，则函数/(X)在该区间上为凸函数，结合图象

易得到了(土产)2也■容任2；

在给定区间内，若函数/(x)的图象向下凹进，则函数/(x)在该区间上为凹函数，结合图象

易得至ijf(土土)</—)+/(々)

第三章数列：

1、等差数列：

(1)等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个

常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表

示。用递推公式表示为="(〃22)或。“+]-=d(〃21)。

(2)等差数列的通项公式：4=4+(“—l)d；

说明：等差数列(通常可称为AP数列)的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，

d<0为递减数列。

(3)等差中项的概念：

定义：如果a,A,匕成等差数列，那么A叫做。与b的等差中项。其中A=a,

2

A,匕成等差数列0A=±^。

2

(4)等差数列的前〃和的求和公式：.=叫

(5)等差数列的知识要点：

(1)等差数列定义&5一&="(常数)(〃eN),这是证明一个数列是等差数列的依据，

要防止仅由前若干项，如备一念=纯一©=d(常数)就说｛4｝是等差数列这样的错

误，判断一个数列是否是等差数列。还可由为+&+2=2a十1即a+2—4+1=4+1—&来

判断。

(2)等差数列的通项为国产aI+(/7—1)d.可整理成国产&+(51—</),当挣0时，&是

关于〃的一次式，它的图象是一条直线上，那么〃为自然数的点的集合。

(3)对于力是a、b的等差中项，可以表示成2A=a+b.

(4)等差数列的前n项和公式S产幺土力•〃一加+四二D4可以整理成

22

S产-4+(a,--)»o当d#0时是n的一个常数项为0的二次式。

22

(6)等差数列的判定方法：

①定义法：对于数列｛4｝,若。用一4=。(常数)，则数列｛4｝是等差数列；

②等差中项：对于数列｛。“｝,若2a,用=a“+a»2,则数列｛%｝是等差数列。

(7)等差数列的性质：

(1)在等差数列｛q｝中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项：

(2)在等差数列｛a,,｝中，相隔等距离的项组成的数列是AP,如：％,%,6,%,

Cl^，^^8，3'8，；

(3)在等差数列｛%｝中，对任意机，neN+，an=am+(n-tn)d,d=~~~—(mn)；

⑷在等差数列｛%｝中，若m,n,p,qeN+且m+it=p+q,则4〃+。〃=〃“十4；

说明：设数列｛4｝是等差数列，且公差为d,

(I)若项数为偶数，设共有2〃项，则①S奇一5偶=〃4；②3t=2；

S偶a”+i

(II)若项数为奇数，设共有2〃—1项，则①5偶—S奇=%=咻；②&

S隅"-1

(8)(1)a]>0,“<0时，5.有最大值；a]<0,">0时，5.有最小值；

(2)5,最值的求法：①若已知S”，可用二次函数最值的求法(〃€乂)；②若已知为,

>0(a,.<0

则，最值时〃的值(/eN+)可如下确定1"或《"o

4+14°l4+i»0

2、等比数列:

1.等比数列定义：一般地，如果一个数列从第三项起，每一项与它的前一项的比等于同一个箪

数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示

(4。0),即：an+l：4=矶0r0)数列对于数列(1)(2)(3)都是等比数列，它们的公比

依次是2,5,(注意：''从第二项起“、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零)

n

2.等比数列通项公式为：an=ay-q-'(a｝-c/^0).

说明：(1)由等比数列的通项公式可以知道：当公比4=1时该数列既是等比数列也是等差数列;

(2)等比数列的通项公式知：若｛a,J为等比数列，则&=

an

3.等比中项：如果在a与匕中间插入一个数G,使a,G,。成等比数列，那么G叫做a与匕的等

比中项(两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项)。

4.等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列4,4,4，，见，的前n项和是S.=4+4+/++an,当

q71时，S“=.aW)或5„=a「a"q:当q=1时，工=(错位相减法)。

\-ql-q

说明：(1)4国,〃，5〃和4，4应，5〃各已知三个可求第四个；

(2)注意求和公式中是q”,通项公式中是dI不要混淆；

(3)应用求和公式时qwl,必要时应讨论4=1的情况。

5、等比数列的判定方法

①定义法：对于数列｛a,J,若况=q(g'O),则数列｛4｝是等比数列；

②等比中项：对于数列｛%｝,若a“a“+2=a；+i，则数列｛对｝是等比数列。

6.等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果a,是等比数列的第〃项，区,是等差数列的第帆项，且

nm

m<n,公比为q,则有an=amq~；

②对于等比数列｛〃〃｝，若n+m=w+v,则an-am=aH-av,也就是：

勺4

____________A____________

%-a„=a2-%T=的•册-2=……，如图所示：佝'-，的，…，，%-1,，%。

a2-an-\

③若数列｛册｝是等比数列，S〃是其前n项的和，keV,那么S?k-Sk，S3A-S2A成等

S火

，一-、

比数列。如图所示：+“2+%+…+以,+纱+1+：+。2勺+“2&+1+「.+%(

SkS?k-Sks3A-S2k

数列归纳：

k，一(〃[,(〃=1)

N通项与前n项和的关系：Sa

I