温中实验学校七年级数学暑假提高讲义

第一讲创建的基石——视察、归纳与揣测

当代闻名科学家波普尔说过：我们的科学学问，是通过未经证明的和不

行证明的预言，通过揣测，通过对问题的尝试性解决，通过揣测而进步的.

从某种意义上说，一部数学史就是揣测与验证揣测的历史.20世纪数学

开展中宏大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多

年的“费尔马大揣测〃，而闻名的哥德巴赫揣测，已经验经了两个半世纪的

探究，尚未被人证明揣测的正确性.

当一个问题涉与相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简洁

情形或特别状况人手，通过对简洁情形或特别状况的试验，从中发觉一般规

律或作出某种揣测，从而找到解决问题的途径或方法，这种讨论问题的方法

叫归纳揣测法，是创建创建的基石.

例题

【例1】（1）用•表示实圆，用。表示空心圆，现有假设干实圆与空心圆按

肯定规律排列如下：

问：前2001个圆中，有个空心圆.

（江苏省泰州市中考题）

（2）古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数，它有肯

定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为.

思路点拨（1）细致视察，从第一个圆开始，假设干个圆中的实圆数循环出现,

而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用假设干个数表示.

【例2】视察以下图形，并阅读图形下面的相关文字:

像这样，10条直线相交，最多交点的个数是（）.

A.40个B.45个C.50个D.55个

思路点拨随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中,

讨论每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系.是解本例的

关键.

【例3】化简99…9x99・・・9+199・・・9

、J、______JV

VVV

〃个〃个〃个

思路点拨先考察”=1,2,3时的简洁情形，然后作出揣测，这样，化

简的目的更加明确.

［例4］古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛

壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地

支的12个汉字分别循环排列成如下两行；

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……

从左向右数，第1列是甲子，第3列是丙寅…，问当第二次甲和子在同

一列时,

该列的序号是多少

思路点拨把“甲〃、“子〃在第一行、第二行出现的位置分别用相应

的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解.

注：视察是解决问题的先导，发觉往往走从视察开始的，归纳与揣测是

建立在细致而深入的视察根底上的，解题中的视察活动主要有三条途径：

(1)数与式的特征视察；(2)图形的构造视察；(3)通过对简洁、特别状况的

视察，再推广到一般状况.

归纳总是与递推联络在一起的，所谓递推，就是在归纳的根底上，发觉

每一步与前一步或前几步之间的联络，更简洁发觉规律嘎证明通过归始所揣

测的规律的正确性.

【例5】图(a)、⑹、(c)、(d)都称作平面图.

图顶点边区域

数数数

(

a463

)

(

b

)

(1)数一数每个图各有多少个顶点，多

条边，这些边围出了多少区域，将结果填

表中(其中(a)已填好).

(2)视察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系

(3)现某一平面图有999个顶点和999个区域，试依据⑵中推断出的关

系，确定这个图有多少条边

思路点拨从特别状况人手，细致视察、分析、试验和归纳，从而发觉

其中的共同规律，这是解本例的关键.

跟踪练习

1.(1)如右图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发觉的，称为杨辉三角形,

依据图中的数构成的规律，。所表示的数是

1

11

121

1331

14a41

15101051

(第1题)

(2)视察一列数:3,8,13,18,23,28,…依此规

律，在此数列中比2000大的最小整数

是.(第2题)

2.如图是2002年6月份的日历.现用一矩形在日历童框出4个

数请用，一个等式表示。、。、C、d之间的关

系：_________________________

3.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第〃个图形由〃个正方形组成.

「IIII厂口门.1□

n=ln=2n=3

通过视察可以发觉；

(1)第4个图形中火柴棒的根数是；

(2)第〃个图形中火柴棒的根数是.

4.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表，则当输

入数据是8时，输出的数据是（).

输入・・・12345•••

245

输出・・・4•・・

2517T726

MKB.――

5.在以下两个数串中:

1,3,5,7,…，1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…,

1990,1993,1996.1990同时出如今这两个数串中的数的个数共有

A.333B.334C.335D.336

性工图②

6.图①是一个程度摆放的小正方体木块，图②、③是由

这样的小正方体木块叠放而成，依据这样的规律接着叠

放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）.

A.25B.66C.91D.120

7.一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1,从第三个数开

始，每一个数都是前两个数的和，也就是1,1,2,3,5,8,13,21,34,

55…，问：这串数的前100个数中（包括第100个数），有个偶

数

8.自然数按下表的规律排列

⑴求上起第10行，左起第13列的数;

（2）数127应在上起第行、左起第^列-”一14-320

25—24——23—22—21

9.(1)视察以下各式，你会发觉什么规律

3X5=15,而15=4?—1,

5X7=35,而35=6,—1,

11X13=143,而143=12?—1

将你揣测到的规律用只含一个字母的式子表示出来

(2)将1,-1,1,-1,…按肯定魁L

23456第2行|

排成下表：从表中可以看到第4行中，自左而翁3k一-11-1-

数是［第5行中从左向右第2数是-‘，蛆第”

912

第仃1T1-121315

199行中自左向右第8个数是,第19§8行中

自左向第11个数是.

10.有一列数01M2,%，。4，…心。〃，其中

%=6x2+1；

%=6x3+2；

%=6x4+3；

%=6x5+4；

则第〃个数。“=;当”“=2001II寸，n=.

11.一个正方体，它的每一个面上写有一个字，组成“数学奥林匹克”.有

三个同学从不同的角度看到的结果依次如下图，则“学〃字对面的字

为

12.用盆栽菊花摆在如下图的大小一样的7个正方形花坛的边缘，正方形每

边都等间隔地摆n（n》3）盆花.则所需菊花的总盆数s与n的关系可以表示

为•

13.假如一个序列｛6｝满意外=2,a“+]=a“+2〃（n为自然数），则是

（）.

A.9900B.9902C.9904D.10100E.10102

14.将正偶数按下表排成5列

第1列第2列第3列第4列第5列

第1行2468

第2行16141210

第3行18202224

2826

依据上面排列规律，则2000应在（）.

A.第125行，第1列B.第125行，第2列

C.第250行，第1列D.第250行，第2列

15.（1）设n为自然数，具有以下形式匕口生&的数是不是两个连续奇数

〃个1〃个5

的积，说明理由.

(2)化简33…3x33…3+199…9,并说明在结果中共有多少个奇数数字

V-v->V-y-J、/

”个3〃个3〃个9

16.(1)图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图②、③、④、⑤

的木块.

我们知道，图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图

②、③、④、

⑤中木块的顶点数、棱数、面数填人下表：

图顶点棱

面数

50日因＞数数

①8126

图①图②图③图④图⑤图⑥

(第】6题)

②

③

{2}视察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、

棱数、面数之间的数虽关系是：_________.一④

(3)图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一⑤

种与图②〜⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实

线，则该木块的顶点数为，棱数为—，面数为—.

17.怎样的两个数，它们的和等于它们的积你也许立刻就会想到2+2=

2X2.其实这样的两个数还有很多，例如：3+』=3X2

22

(1)你能再写出一些这样的两个数吗你能从中发觉一些规律吗

(2)你能否提出一些类似的问题在你提出的问题中选择一个问题进展讨

论.

18.视察按以下规则排成的一列数：

1121231234123451)

1，2，T，3,2，T，4,3,2，T，5,4,3,2，T，6?

(1)在(X)中，从左起第〃，个数记为F(m),当日⑼=二_时，求用的值和

2001

这加个数的积.

(2)在］※)中，未经约分且分母为2的数记为c,它后面的一个数记为d.是

否存在这样的两个数c和d,使cd=20010000,假如存在，求出c和d；假如不

存在，请说明理由。

第二讲列方程解应用题

行程问题的三要素是：间隔（s）、速度（V）、时间（t）,行程问题按运动

方向可分为相遇问题、追与问题；按运动路途可分为直线形问题、环形问题

等.

熟识相遇问题、追与问题等根本类型的等量关系是解行程问题的根底；

而恰当设元、恰当借助直线图协助分析是解行程问题的技巧.

例题

【例1】（重庆市竞赛题）某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流

而上到C地，共乘船4小时，船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速

度为每小时2.5千米，假设A、C两地的间隔为10千米，则A、B两地的间

隔为千米.

思路点拨等量关系明显，关键是考虑C地所处的位置.

注：列方程的方法为解应用题供应一般的解题步骤和标准的计算方法，

使问题“化难为易〃，充分显示了字母代数的优越性，它是算术方法解应用

题在字母代数础上的开展.

【例2】（安徽省竞赛题）如图，某人沿着边长为90米的正方形，按

A-B-C-D-A…方向，甲从A以65米/分的速度，乙从B以72米/分

的速度行走，当乙第一次迫上甲时在正方形的（）.

A.AB边上B.DA边上C.BC边上D.CD边上

思路点拨本例是一个特别的环形的追与问题，留意甲实际在乙的前面

3X90=270（米）处.

【例3］（重庆市竞赛题）父亲和儿子在100米的跑道上进展赛跑，儿子

跑5步的时间父亲能跑6步，儿子跑步的间隔与父亲跑4步的间隔相等.如

今儿子站在100米的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑.问

父亲能否在100米的终点处超过儿子并说明理由.

思路点拨把问题转化为追与问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路

程与50的大小，为了理顺步长、路程的关系，需增设未知数，这是解题的关

键.

【例4】（湖北省数学竞赛选拔赛试题）钟表在12点钟时三针重合，经过多

少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分

思路点拨先画钟表示意图，运用秒针分别与时针、分针所成的角相等

建立等量关系，关键是要熟识与钟表相关的学问.

注：明确要求将数学开放性问题作为考试的试题，是近一二年的事情，开放

题是相对于常规的封闭题而言，封闭题往往条件充分，结论确定，而开放题

经常是条件不充分或结论不确定，思维多向.

解钟表上的行程问题，常用到以下学问：

(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与

角度联络起来，每一小格对应6。；

(2)分针走一周，时针走,周，即分针的速度是时针速度的12倍.

12

［例5］七年级93个同学在4位老师的带着下准备到离学校32千米处

的某地进展社会调查，可是只有一辆能坐25人的汽车.为了让大家尽快地到

达目的地，确定采纳步行与乘车相结合的方法。假如你是这次行动的总指挥,

你将怎样支配他们乘车，才能使全体师生花最短的时间到达目的地最短的时

间是多少(师生步行的速度是5千米/时、汽车的速度是55千米/时，上、

下车时间不计.)

思路点拨人和车同时动身，由车来回接运，如能做到人车同时到达目的

地，则时间最短，而实现同时到达目的地的关键在于同等地享用交通工具，

这样，各组乘车的路程一样，步行的路程也就一样.

跟踪练习

1.甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为

每小时17.5千米，乙的速度为每小时15千米，则经过小时，甲、

乙两人相距32.5千米.

2.某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速

度从乙地返回甲地，则此人来回一次的平均速度是千米/小时.

3.（江苏省竞赛题）汽车以每小时72千米的速度笔直地开向宁静的山谷，驾

驶员撒一声喇叭，4秒后听到回响，声音的速度是每秒340米，听到回响

时汽车高山谷的间隔是米.

4.如今是4点5分，再过分钟，分针和时针第一次重合.

5.甲、乙两人同时从A地到B地，假如乙的速度v保持不变，而甲先用2V

的速度到达中点，再用的速度到达B地，则以下结论中正确的选项是

2

（）.

A.甲、乙两人同时到达B地B.甲先到B地

C.乙先到B地D.无法确定谁先到

6.甲与乙竞赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层动身，当甲到达6楼时，

乙刚到达5楼，按此速度，当甲到达顶层时，乙可到达（）.

A.31层B.30层C.29层D.28层

7.小明爸爸骑着摩托车带着小明在马路上匀速行驶，以下图是小明每隔1小

时看到的里程状况，你能确定小明在12：00时看到的里程表上的数吗

12:0013:0014:00

8.如图，是某风景区的旅游路途示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条

路的穿插点，图中数据为两相应点间的间隔（单位：千米）.一学生从A处动

身，以2千米/时的速度步行巡游，每个景点的逗留时间均为0.5小时.

（1）当他沿着路途AfD-*C-E-A巡游回到A处时，共用了3小时，求CE的

长.

⑵假设此学生准备从A处动身后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，

且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路途，并

说明这样设计的理由.（不考虑其他因素）.

9.（湖北省孝感市竞赛题）某人从家里骑摩托车到火车站，假如每小时行30

千米，则比火车开车时间早到15分钟，假设每小时行18千米，则比火车开

车时间迟到15分钟，如今此人准备在火车开车前10分钟到达火车站，求此

人此时骑摩托车的速度应当是多少

10.（“盼望杯”邀请赛试题）甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，

它们相向行驶在平行的轨道上，甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过

的时间是10秒，则乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是

秒.

11.（武汉市选拔赛试题）甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相

向动身，并连续来回于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时

行30千米，从乙地开出的汽车为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲

地开出的第一辆汽车第二次从甲地动身后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车

分别行驶了一千米和一千米.

12.（北京市竞赛题）某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人

都急于上楼办事，因此列车的错车问题有别于两人之间的相遇或追与问题

（为什么）解题的关键是将原问题转化为直线上的两人相遇或追与问题.在

乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍

（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上，贝I」，由楼

下到楼上自动扶梯级数为—.

13.（“五羊杯”邀请赛试题）博文中学学生郊游，沿着与笔直的铁路途并列

的马路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎

面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60

秒，假如队伍长500米，则火车长为（）米.

A.2075B.1575C.2000D.1500

14.（“盼望杯〃邀请赛试题）上午九点钟的时候，时针与分针成直角，则下

一次时针与分针成直角的时间是（）.

A.9时30分B.10时5分C.10时5A分D.9时32三分

15.（河北省竞赛题）铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东

行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为10.8千米/小时，假如有

一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了22秒，通过骑车人用26秒，

问这列火车的车身长为多少米

16.（重庆市竞赛题）某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车.第一辆出租车

动身后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，

有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租

汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆.问：第

一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间，车站不能正点发车

17.今有12名旅客要赶往40千米远的汉口新火车站去乘火车，分开车时间

只有3小时，他们步行的速度为每小时4千米，靠走路是来不与了，惟一可

以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆汽车连司机在内最多只能乘5人,

汽车的速度为每小时60千米，假设这12名旅客必需要赶上这趟火车，请你

设计一种方案，扶植司机把这12名旅客与时地送到汉口火车站（不考虑借助

其他交通工具）.

第三讲一次方程组与其应用

一次方程组是在一元一次方程的根底上绽开的.“消元〃是解一次方程

组的根本思想，通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、

加减法是消元的两种根本方法.解一些困难的方程组（如未知数系数较大、方

程个数较多等），需要视察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用

到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧.

因此，解题时需详细呷鹭赞个险索牍糊莘相魏即改用列方程

组来解决问题.

【例1】给出以下程序：，

且当输入X值为1时，输出值为1；输入的X值为一1时•，输出值为一3,则

当输入的x值为:时；输出值为

2

【例2】正整数m、n满意8m+9n=mn+6,则m的最大值为.

【例3】假设a、c、d是整数，b是正整数，且满意a+b=c,b+c=d,c+d=a,

则a+b+c+d的

最大值是()

A.-1B.-5C.0D.1

【例4】方程|x-2y-3|+|x+y+l|=l的整数解的个数是().

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例5】m是整数，方程组［以-3>=6有整数解，求m的值.

6x+my=26

［例6］项王故里的门票价格规定如下表:

购票人51〜100100人以

1~50人

数,X上

每人门

5元4.5元4元

票价

某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故

里，假如两班都以班为单位分别购票，一共需付486元.

(1)假如两班结合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱

(2)两班各有多少名学生

【例7】小刚骑自行车沿马路以akm/min的速度前进，每隔bmin迎

面开来一辆公共汽车，每隔cmin(c>b)从后面开过一辆公共汽车.假设汽车

均为一样的速度，始、终点发车间隔时间一样，求汽车的速度和发车的间隔

时间.

［例8］四十只脚的娱蚣和三个头的龙在同一个笼中，共有26个头和

298只脚，假如40只脚的娱蚣只有一个头，则三个头的龙有几只脚

［例9］某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出

这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小一样，两道侧门大小也一样。平安

检查中，对4道门进展了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟

内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时,，4分钟内可以

通过800名学生。

(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

(2)检查中发觉，紧急状况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%。平安

检查规定：在紧急状况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门平安撤离。

假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建立的这4道门是否符合

平安规定？请说明理由。

跟踪练习

l.[X=2是二元一次方程组h+ny=8的解，则2m—n的算术平方根为（）

y=1\nx-my=\

A.±2B.72C.2

2.关于x,y的方程组5+3.v=4-其中一3<aWl,给出以下结论：

x—y=3a

①卜=5是方程组的解；

y=-1

②当a=—2时，x,y的值互为相反数；

③当a=l时，方程组的解也是方程x+y=4—a的解；

④假设则

其中正确的选项是（）

A.①②B.②③C.②③④D.①③④

3.某校团委与社区结合举办“爱护地球，人人有责〃活动，选派20名学生

分三组到120个店铺发传单，假设第一、二、三小组每人分别负责8、6、

5个店铺，且每组至少有两人，则学生分组方案有（）

A.6种B.5种C.4种

4.关于x,y的二元一次方程组[5x+3.v=23的解是正整数，则整数0的值

x+y=p

为.

方程（x+l）2+（y-2）2=l的整数解有（）.

A.1组B.2组C.4组D.多数组

5.满意卜+正一+%+上一+,+火颐=？的整数组(x,y,z)有()组

A.3B.5C.8D.12

6.：。也c三个数满意，J=1,卢=±，匕=',则———的值为()

a+b3b+c4c+a5ah+be+ca

]171

A.-B.—C.—D.—

6121520

7.设a.0,Z?>0,c>0,假设x=，一=—^—=，一，贝！Jx的值为()

b+ca+ca+b

13

A.-B.1C.-D.2

22

8.m为正整数，二元一次方程组[〃吠+2y=l°有整数解，即x、y均为整数，

3x-2y=0

则m2=.

9.方程组卜/+“y=G的解是卜=3,则方程组尸,"+仿》=5C1的解

a2x+b2y=c2[y=4

是;

10.设fx+y+3z=23,则3x_2y+z=―

11.方程的正整数解(x,y)的组数是()

xy1

A.0B.1C.3D.5

12.在平面直角坐标系9,中，满意不等式x2+/<2x+2y的整数点坐标(x,y)

的个数为()A.10B.9C.7D.5

13.假设a,b,c都是质数，其中a最小，且a+b+c=44,ab+3-c,则

ab+c-；

14.小明每个月有20元零花钱，一块巧克力3元钱，一本玩具小册2元钱。

小明的华蜜值可以用下面这个公式来表示：华蜜值=巧克力块数义玩具小册本

数。小明一个月可到达的华蜜值最高为;

15.有面额为壹元、贰元、伍元的人民币共10张，欲用来购置一盏价值为

18元的护眼灯，要求三种面额都用上，则不同的付款方式有（）

A、8种B、7种C、4种D、3种

16.某果晶商店进展组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克6水果；乙

种搭配：3千克A水果.8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A

水果，6千克B水果，1千克C水果.A水果每千克2元，B水果每千克1.2

元，C水果每千克10元.某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元.其

中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元

17.团体购置公园门票，票价如下:

购票人51~

1-50100以上

数100

每人门

13元11元9元

票数

今有甲、乙两个旅游团，假设分别购票，两团总计应付门票费1314元，

假设合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅游团

各有多少人

18.一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小一样的小球，红球上标有数

字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球，

它们上面所标数字的和等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过多

少个？

19.有一根长38米的铁丝，全部分成5米和3米长的铁丝，要求没有剩余，

问有多少种不同的分法？

20.江堤边一凹地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相

等，假如用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；假如用4台抽水机抽水，16分

钟可抽完.假如要在10分钟内抽完水，贝I」，至少需要抽水机多少台?

21.某人用15元钱买了20张邮票，其中有1元，8角，2角的邮票。问他可

能有多少种不同的买法？

22.在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠

萝喜获丰收.下面是小明爸爸、妈妈的一段对话.

请你用所学过的学问扶植小明算出他们家今年菠萝的收入收入一投资

=净赚〕.

老李，没关系.你看\

我们家去年只净赚8000元,>

今年却净廉了11800元.增/

加投^^4得！J

阿菊老李

23.为了激励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.如表是

该市居民“一户一表〃生活用水与提示计费价格表的部分信息：

污水处理

自来水销售价格

价格

单价：元单价：元/

每户每月用水量

/吨吨

17吨以下a

超过17吨但不超过30吨

b

的部分

超过30吨的部分

（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+

污水处理费用〕

小王家2021年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费

91元.

（1〕求a、8的值；

（2〕随着夏天的到来，用水量将增加.为了节约开支，小王方案把6月份的

水费限制在不超过家庭月收入的2%.假设小王家的月收入为9200元，则小

王家6月份最多能用水多少吨？

第四讲不等式（组）与不等式（组）的应用

不等式（组）是探求不等关系的根本工具，不等式（组）与方程（组）在相关

概念、解法上有着相像点，又有不同之处，主要表达在：

等式、不等式两者都乘以（或除以）同一个数时，等式仅需考虑这个数是

否为零，而不等式不但要考虑这个数是否为零，而且还需留意这个数的正负

性；

解方程组时，我们可以“统一思想〃，即可以对几个方程进展“代人”

或“加减”式的加工，解不等式组时，我们只能“分而治之”，即只能分别

求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式组的解集.

不等式(组)的应用主要表如今：作差或作商比较数的大小；求代数式的

取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题.

一、求不等式或不等式组中参数的值或取值范围

【例1】关于X的不等式组'4一无解,则a的取值范围是______；

x-a>0

(2)不等式3x—aWO的正整数解恰是1,2,3,则a的取值范围是.

［例2］假设不等式(ax—1)(x十2)>0的解集是一3<x<-2,则a等于

().

A.-B.--C.3D.—3

33

x+6x

【例3】假设关于x的不等式组工>7+1…⑴的解集为x<4,则m的取值

x+m<0…⑵

范围是.

二、代数式的最值问题

［例4］三个非负数a、b、c满意3o+2〃+c=5和2°+/?—3c=1,彳炭设

m=3a+b—7c,求m的最大值和最小值.

【例5］在满意x+2yW3,z20,y20的条件下，2x+y能到达的最大值

是.

【例6】设x”X2，…,x?为自然数，且xKx2<X3<x6<x7,又Xi+x2+•••

+X7=159,则X1+X2+X3的最大值为.

三、方案决策问题

［例7］现方案把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，

这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，运用A型车厢每节费用

为6000元，运用B型车厢每节费用为8000元.

(1)设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写

出y与x之间的关系式：

(2)假如每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B

型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求支配A、B

两种车厢的节数，则共有哪几种支配车厢的方案

(3)在上述方案中，哪个方案运费最省最少运费为多少元

［例8］商业大厦购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125%.现

方案节日期间按原定销售价让利10%,售出至多100件商品，而在销售淡季

按原定销售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季外要

按原定价销售至少多少件商品

【例9】货轮上卸下假设干只箱子，其总重量为10t,每只箱子的重量不超过

It,为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3t的汽车

跟踪练习

x+6x

1.假设关于X的不等式组三的解集为x<4,则m的取值范围

X+"2<0

是.

2.假设不等式组「A"<1的解集为一i<xG,则（a+l）（b-1）的值等

x-2b>3

于.

3.a<0,且中Wa,贝！）|2%一6|—年一2|的最小值为.

4.当1<=____时，方程组［%+2尸6有正整数解.

x-y=9-3k

5.a为整数，关于x的方程。2尤_20=0的根是质数，且满意版-7]>凡则a

等于（）.

A.2B.2或5C.±2D.—2

6.假设方程组「x+y=%+l的解满意条件<工+丁<1,则k的取值范围是

x+4y=3

（）.

A.-4<k<lD.-4<k<0C.0<k<9D.k>—4

7.要使不等式……a1<a5<a3<a<a2<a4<ab<……成立，有理数a的取值

范围是（）.

A.0<a<lB.a〈一1C.-l<a<0D.a>l

8.a、6为常数，假设ax+b>0的解集是则"-a<0的解集是（）.

3

A.x>一3B.x<-3C.x>3D.x<3

9.方程组=2,假设方程组有非负整数解，求正整数m的值.

mx+y=6

x>-1

10.不等式组x<l

x<\-k

⑴当&=J.时，不等式组的解集是；当k=3时，不等式组的解集

2

是;

当k=-2时，不等式组的解集为.

⑵由（1）知，不等式组的解集随数k值的变更而变更，当k为随意有理数时,

不等式组的解集为

11.假如关于x的不等式(2m'—n)x一m—5n>0的解集为x<W,则关于x的

7

不等式mx>n(rnWO)的解集为.

2x<3(x-3)+1

12.关于x的不等式组3尤+2有四个整数解，则a的取值范围是().

------->x+a

[4

A115D115

A.------<a<—D.--------<a<—

4242

„115115

C.------<a<——nD.-------<a<——

4242

13.m、n是整数，3m+2=5n+3,且3m+2>30,5n+3<40,则mn的值是().

A.70,B.72C.77D.84

14.m是整数且一6(Km<-30,关于x,y的二元一次方程组［2兀-3.丫=-5有

-3x-ly=m

整数解，求F+y的值.

15.假如不等式组Q”X—。Q的整数解仅为1,2,3,则合适这个不等式组的

8工一。<0

整数a、b的有序数对(a,b)共有多少个请说明理由.

16.某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的消费方案时，搜集了如

下信息：

(1)消费该种化肥的工人数不能超过200人;

(2)每个工人全年工作时数不得多于2100个；

(3)预料2002年该化肥至少可售销80000袋；

(4)每消费一袋该化肥需要工时4个；

(5)每袋该化肥需要原料20千克；

(6)现库存原料800吨，本月还需用200吨，2002年可以补充1200吨.

依据上述数据，确定2002年该种化肥的消费袋数的范围是.

17.某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶间隔不超过3千米都需

付7元车费)，超过3千米以后.每增加1千米，加收2.4元(缺乏1千米按

1千米计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲

地到乙地经过的路程是x千米，则x的最大值是().

A.11B.3C.7D.5

18.为了爱护环境，某企业确定购置10台污水处理设备.现有A、B两种型

号的设备，其中每台的价格、月处理污水量与年消消耗如下表：

A型B型

价格(万元/台)1210

处理污水量(吨/月)240200

年消消耗(万元/台)11

经预算，该企业购置设备的资金不高于105万元.

(1)请你设计该企业有几种购置方案；

⑵假设企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购置

方案;

(3)在第(2)问的条件下，假设每台设备的运用年限为10年，污水厂处理污水

费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相

比较，10年节约资金多少万元(注：企业处理污水的费用包括购置设备的资

金和消消耗)

19.某企业有员工300人消费A种产品，平均每人每年可创建利润m万元(m

为大于零的常数).为减员增效，确定从中调配x人去消费新开发的B种产

品.依据评估，调配后接着消费A种产品的员工平均每人每年创建的利润可

增加20%,消费B种产品的员工平均每人每年可创建利润1.54m万元.

（1）调配后企业消费A种产品的年利润为万元，消费月种产品的年利

润为万元（用含rn的代数式表示）.假设设调配后企业全年的总利润为

y万元，则y关于X的关系式为

（2）假设要求调配后企业消费A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的

五分之四，消费B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几

种调配方案请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时运算过

程可保存3个有效数字）.

⑶企业确定将⑵中的年最大总利润（m=2）接着投资开发新产品，现有六种

产品可供选择（不得重复投资同一种产品），各产品所需资金以与所获利润如

下表：

产品CDEFGH

所需资金（万元）200348240288240500

年利润（万元）508020604085

假如你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投

资开发哪些产品请你写出两种投资方案.

20.学校6名老师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小

车.假设租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；假设租用2辆大车一辆

小车共需租车费1100元.

11〕求大、小车每辆的租车费各是多少元？

〔2〕假设每辆车上至少要有一名老师，且总租车费用不超过2300元，求最

省钱的租车方案.

21.煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭消费企业需要对煤炭运送到用

煤单位所产生的费用进展核算并纳入企业消费方案.某煤矿现有1000吨煤

炭要全部运往A、B两厂，通过理解获得A、B两厂的有关信息如下表（表中

运费栏“元/t・km〃表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：

r运费［元路程（km）需求量

别/t,km)

A200不超过

600

Ba（a为常数）150不超过

800

U）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量xIt）之间的函数关系式，并

写出自变量的取值范围；

（2〕请你运用函数有关学问，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出

最少的总运费（可用含a的代数式表示）

22.温岭是享有“中国高橙〃之乡，“明圣〃牌高橙获浙江农业博览会金

奖。某合作社欲将n箱高橙运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是

运往A地件数的2倍，各地的运费如下图.设支配x箱高橙运往A地.

〔1〕当n=200时，①依据信息填表：

A地B地C地合计

产品箱数1箱）X2x200

运费（元）3x

②假设运往B地的箱数不多于运往C地的箱数，总运费不超过4000元，则有

哪几种运输方案？

第五讲三角形、四边形和n多边形

内容提要

(1)n边形的内角和等于；

(2)n边形的外角和等于；

(3)n边形的对角线条数为；

(4)解决多边形的问题中重要的思想方法是转化思想。

二.热身练习

1、把一根长100cm的铁丝截成n小段(n>3),每段不小于10cm,假设不

管怎样的截法，总存在3小段，以它们为边可拼成一个三角形，则n的最

小值是()

A、3B、4C、5D、6

2、不等边三角形中，假如一条边长等于另两条边长的平均值，则，最大边上

的高与最小边上的高的比值k的取值范围是()%////

A、2<k<lB、l<k<3C、l<k<2D、l<k<l////

42-////

3、如图，两组平行线a〃az〃a3,b.//b2//b3//b1,则图中的平行顺形,

共有()个

A、12B、15C、18D、20

4、三角形的三个内角分别为a,B,丫，且a2B»Y，a=2y,则B的取

值范围是()

A、36°WBW45°B、45°WBW60°C、60°WBW90°D、45°WBW72°

5、如图，Z^ABC中，ZA=96°,延长BC到D,NABC与NAC?的名

平分线相交于A点，ZA,BC与NACD的平分线相交于

依次类推，NABC与NACD的平分线相交于As,则N是的CD

大小是()

A、3°B、5°C、800

6、凸n(n24)边形中出现锐角的最大个数为M,最小个数为m,则M+m的值

是o

7、三角形的最大角与最小角之比是4：1,则第三个内角a的取值范围是

8、在aABC中，三边长为a=3,b=4,c=6,h.表示a边上的高的长，瓜，hc

意义类似,

则(ha+hb+hc)•(4+；+；)的值为_________o