2018-2019学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：（每题3分，共36分）

1.（3分）如图所示的工件的主视图是（

2.（3分）反比例函数y=-工的图象在（

A.第一、三象限第一、二象限

C.第二、四象限第三、四象限

3.（3分）如图，直线/1〃/2〃/3,两条直线AC和。尸与A,12,/3分别相交于点A、B、C

和点。、E、F.则下列比例式不正确的是（）

AI\D

AABDEB

=AB=DEcAC=DFr>EF=BC

,BCEF,ACDF'而DE,EDAC

4.（3分）下列说法不正确的是（）

A.所有矩形都是相似的

B.若线段。=5<?m，b=2cm,则。：6=5：2

C.若线段C是线段A8的黄金分割点，S.AOBC,则叵加

四条长度依次为1cm,2cm,2cm,4cm的线段是成比例线段

5.（3分）根据下面表格中的对应值:

ajr+bx+c

判断关于X的方程办2+云+。=0（〃W0）的一个解％的范围是（

A.x＜3.24B.3.24＜无＜3.25

C.3.25<x<3.26D.x>3.26

6.（3分）下列说法不正确的是（）

A.一组同旁内角相等的平行四边形是矩形

B.一组邻边相等的菱形是正方形

C.有三个角是直角的四边形是矩形

D.对角线相等的菱形是正方形

7.（3分）一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同.5位同学进行摸

球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次

为8,5,9,7,6,则估计盒中红球和白球的个数是（）

A.红球比白球多B.白球比红球多

C.红球，白球一样多D.无法估计

8.（3分）如图，在△ABC中，/A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪

开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

9.（3分）设°、6是两个整数，若定义一种运算“△”，a^b^cr+lr+ab,则方程（x+2）

△x=l的实数根是（）

A.无i=x2=lB.xi=0,无2=1C.x\—x2—-1D.xi—1,xi--2

10.（3分）如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG

分别交于点尸、。、K、M、N.设△BP。，LDKM,△CM/的面积依次为Si,S2,S3.若

Si+&=20,贝I]S2的值为（）

A.6B.8C.10D.12

11.（3分）某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6

亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为％,则可列方程为（）

A.3.2+x=6B.3.2x=6

C.3.2(1+x)=6D.3.2(1+x)2=6

12.（3分）如图，正方形中，点E、F、G分别为边48、BC、AO上的中点，连接

AF,DE交于点M,连接GM、CG,CG与DE交于氤N,则结论①GM,CM；②CD=

DM；③四边形AGCP是平行四边形；④中，正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：（每题3分，满分12分）

13.（3分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为形.

14.（3分）已知点A（xi,3）,8（x2,6）都在反比例函数y=上的图象上，则如xi

x

（填或或“=”）

15.（3分）如图，在RtaABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三

角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶

点，已知2C=24c〃z,则这个展开图可折成的正方体的体积为cm3.

16.（3分）如图，正方形A3CO的边长为5,点A的坐标为（-4,0）,点8在y轴上，若

反比例函数y=K晨#0）的图象过点C,则该反比例函数的表达式为:

三、解答题：（17题6分，18题6分，19题7分，20题、21题、22题每题8分，23题9

分，共52分）

17.（6分）用适当的方法解下列方程：

（1）（%-2）2-16=0

（2）5/+2x-1=0.

18.（6分）如图，在6X8的网格图中，每个小正方形边长均为1dm,点、O和的顶

点均为小正方形的顶点.

（1）以。为位似中心，在网格图中作B'C和△ABC位似，且位似比为1：2；

（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米,

与地面的夹角为45°,同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似（树

干对应BC边），求原树高（结果保留根号）

19.（7分）阅读对话，解答问题:

—,—1,—ry

我的袋子中有

四张除数字外

齐全相同的卡片：（

小丽陶小海4

我先从小丽的袋子中抽出

一张卡片,再从小兵的袋

子中抽出T卡片.

小冬

（1）分别用人6表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图

法或列表法写出（a,b）的所有取值；

（2）求在",6）中使关于龙的一元二次方程/-办+26=0有实数根的概率.

20.（8分）已知，如图，在矩形ABC。中，对角线AC与8。相交于点O,过点C作8。的

平行线，过点。作AC的平行线，两线交于点P.

①求证：四边形CODP是菱形.

②若AO=6,AC=10,求四边形COO尸的面积.

21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线A：y=-L与反比例函数y=N的图象交于

2x

A,B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；

（1）求反比例函数的表达式；

（2）根据图象直接写出-L>k的解集；

2x

（3）将直线/1：y=工沿y向上平移后的直线/2与反比例函数y=K在第二象限内交

2x

于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线/2的函数表达式.

c

22.（8分）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他

看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品

的件数.

购买件数销售价格

不超过30件单价40元

超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30

元

23.（9分）已知：如图，在RtZkABC中，NC=90°,AC^3cm,BC=4on,点尸从点B

出发，沿BC向点C匀速运动，速度为/t7"/s；同时，点。从点A出发，沿向点8匀

速运动，速度为2Si/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接尸。，设运动时

间为f（s）（0<Z<2.5）,解答下列问题:

（1）①8。=,BP；（用含r的代数式表示）

②设△PB。的面积为y（C"2）,试确定y与f的函数关系式;

（2）在运动过程中，是否存在某一时刻3使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一?

如果存在，求出r的值；不存在，请说明理由;

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△2PQ为等腰三角形？如果存在，求出/

的值；不存在，请说明

理由.

2018-2019学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（每题3分，共36分）

1.（3分）如图所示的工件的主视图是（)

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形,

本题找到从正面看所得到的图形即可.

【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角

梯形和一个直角三角形.

故选：B.

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生

易将三种视图混淆而错误的选其它选项,难度适中.

2.（3分）反比例函数y=-L的图象在（）

x

A.第一、三象限B.第一、二象限

C.第二、四象限D.第三、四象限

【考点】G4：反比例函数的性质.

【分析】根据反比例函数y=K（左#0）的图象是双曲线；当k>Q,双曲线的两支分别

x

位于第一、第三象限，在每一象限内yBlx的增大而减小；当上<0,双曲线的两支分别

位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行解答.

【解答】解：♦."=-b

图象在第二、四象限,

故选：C.

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象的性质.

3.（3分）如图，直线两条直线AC和。尸与/1,11,73分别相交于点A、B、C

和点。、E、F.则下列比例式不正确的是（）

BCEFACDFABDEEDAC

【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据平行线分线段成比例即可得到结论.

【解答】解：'：li//h//h,

-AB_DEAB_DEAC_DFEF_BCj

,•而甘'AC^DF，AB^DE，丽下‘

故选：D.

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的

关键.

4.（3分）下列说法不正确的是（）

A.所有矩形都是相似的

B.若线段a=5c机，b=2cm,则。：6=5：2

C.若线段C是线段45的黄金分割点，SLAOBC,则AC=2Z叵机

D.四条长度依次为lern,2cm,2cm,4cm的线段是成比例线段

【考点】LB：矩形的性质；S2：比例线段；S3：黄金分割；S6：相似多边形的性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可.

【解答】解：所有矩形对应边的比不一定相等，不一定都是相似的，A不正确，符合题

忌；

若线段〃=5CM,b=2cm,则〃：b=5：2,8正确，不符合题意；

线段43=倔根，C是线段的黄金分割点，且AOBC,

则匹（cm）,C正确，不符合题意；

22

四条长度依次为lew,2cm,2cm,4cMl的线段是成比例线段，£）正确，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握

它们的概念和性质是解题的关键.

5.（3分）根据下面表格中的对应值：

X3.243.253.26

n

ax+bx+c-0.020.010.03

判断关于x的方程以2+云+°=0（°/0）的一个解尤的范围是（）

A.尤<3.24B.3.24<x<3.25

C.3.25<尤<3.26D.x>3.26

【考点】A4：估算一元二次方程的近似解.

【分析】根据表中数据得至iJx=3.24时，ax2+bx+c=-0.02；x=3.25时，ax2+Z?x+c=0.01,

则x取2.24到2.25之间的某一个数时,使a^+bx+c^Q,于是可判断关于x的方程a^+bx+c

=0（aWO）的一个解尤的范围是3.24<x<3.25.

【解答】解：,尤=3.24时，a^+bx+c—-0.02；x=3.25时，cvr+bx+c—Q.O\,

，关于尤的方程A+bx+cn。（aWO）的一个解x的范围是3.24<x<3.25.

故选：B.

【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，

具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未

知数的值愈接近方程的根.

6.（3分）下列说法不正确的是（）

A.一组同旁内角相等的平行四边形是矩形

B.一组邻边相等的菱形是正方形

C.有三个角是直角的四边形是矩形

D.对角线相等的菱形是正方形

【考点】L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质；LC：矩形的判定；LF：正方形的判

定.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定分别判断后

即可确定正确的选项.

【解答】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；

8、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；

C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；

。、对角线相等的菱形是正方形，正确.

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定，熟

练运用这些性质解决问题是本题的关键.

7.（3分）一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同.5位同学进行摸

球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次

为8,5,9,7,6,则估计盒中红球和白球的个数是（）

A.红球比白球多B.白球比红球多

C.红球，白球一样多D.无法估计

【考点】X8：利用频率估计概率.

【专题】65：数据分析观念.

【分析】计算出摸出红球的平均数后分析，若得到到的平均数大于5,则说明红球比白球

多，反之则不是.

【解答】解：：5位同学摸到红球的频率的平均数为8+5+9+7+6=7,

5

...红球比白球多.

故选：A.

【点评】考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.易错点是得到红

球可能的情况数.

8.（3分）如图，在△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪

开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

4

78°

C

B

【考点】S8：相似三角形的判定.

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选

项错误；

2、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确.

。、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

故选：C.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关

键.

9.(3分)设。、6是两个整数，若定义一种运算“△"，aAb=於+伊+ab,则方程(x+2)

△x=l的实数根是()

A.X1=X2=1B.X1=O,X2=lC.X1=X2=-1D.Xl=l,X2=-2

【考点】A6：解一元二次方程-配方法.

【专题】23：新定义.

【分析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化

为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.

【解答】解：a£\b=c^+b^ab,

(x+2)△x=(x+2)2+x2+x(x+2)=1,

整理得：/+2x+l=0,即(x+1)2=0,

解得：X1=X2=-1.

故选：c.

【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次

项系数化为1,常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方,

左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解.

10.（3分）如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG

分别交于点尸、。、K、M、N.设△8PQ,ADKM,△CAW的面积依次为Si,S2,S3.若

SI+S3=20,则S2的值为（）

A.6B.8C.10D.12

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】由条件可证明且能求得其相似比，再根据相似三角

形的面积比等于相似比的平方，结合条件可求得S2.

【解答】解：•矩形AE8C是由三个全等矩形拼成的，

：.AB=BD=CD,AE//BF//DG//CH,

四边形8EF。，四边形。尸GC是平行四边形，ABQP=ZDMK=ZCHN,

J.BE//DF//CG

：./BPQ=ZDKM=ZCNH,

•/△ABQsLADM,AABQ^^ACH,

•AB=BQ=1BQ=AB=1

"ADMDTCHACT

ABPQs/\DKMs△CNH,

•胆=工

,,而

.S1_1S1_1

,•豆丁s7百，

；.S2=4SI,S3=9SI,

VSI+53=20,

/.S1=2,

；.S2=8.

故选：B.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及相似三

角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

11.（3分）某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6

亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为无，则可列方程为（）

A.3.2+尤=6B.3.2尤=6

C.3.2（1+x）=6D.3.2（1+无）2=6

【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程.

【分析】设这两年投入资金的年平均增长率为无，根据题意可得，2015的投入资金X（1+

增长率）2=2017年的投入资金，据此列方程.

【解答】解：设这两年投入资金的年平均增长率为X,

由题意得，3.2（1+无）2=6.

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设

出未知数，找出合适的等量关系，列出方程.

12.（3分）如图，正方形A8CD中，点E、F、G分别为边A3、BC、上的中点，连接

AF.OE交于点M,连接GM、CG,CG与DE交于点、N,则结论①GM_LCM；@CD=

DM；③四边形AGCF是平行四边形；④中，正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【考点】L5：平行四边形的性质；LE：正方形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】要证以上问题，需证CN是OV是垂直平分线，即证N点是。M中点，利用中

位线定理即可，利用反证法证明④不成立即可.

【解答】解：；47〃尸。且47=八?，

四边形AGCP为平行四边形，故③正确；

NGAF=/FCG=ZDGC,/AMN=NGND

在△AOE和△BAF中,

rAE=BF

ZDAE=ZABF>

,AD=AB

AADE^ABAF(SAS),

ZADE=ZBAF,

'：ZADE+ZAEM^90°

：.ZEAM+ZAEM^90°

：.ZAME^9Q°

:./GND=90°

：.ZDELAF,DELCG.

：G点为A。中点，

GN为△ADM的中位线，

即CG为。/的垂直平分线，

：.GM=GD,CD=CM,故②错误;

在△GDC和△GMC中，

，DG=MG

；CD=CM，

,CG=CG

:.丛GDC学AGMC(SSS),

：.ZCDG^ZCMG^90°,

NMGC=NDGC,

：.GM±CM,故①正确；

'：ZCDG=ZCMG=90°,

：.G.D、C、M四点共圆，

/.ZAGM^ZDCM,

•：CD=CM,

：.ZCMD=ZCDM,

在RtZXAA/D中，ZAMD^90°,

：.DM<AD,

：.DM<CD,

.".ZDMC^ZDCM,

：.ZCMD^ZAGM,故④错误.

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用及平行四边

形的性质的运用.在解答中灵活运用正方形的中点问题解决问题，灵活运用了几何图形

知识解决问题.

二、填空题：（每题3分，满分12分）

13.（3分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为菱形.

【考点】KX：三角形中位线定理；L9：菱形的判定；LB：矩形的性质.

【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得跖=G”=LC,FG=EH=LBD,

22

再根据矩形的对角线相等可得从而得到四边形所G8的四条边都相等，然后

根据四条边都相等的四边形是菱形解答.

【解答】解：如图，连接AC、BD,

,:E、F、G、”分别是矩形ABC。的A3、BC、CD、边上的中点，

:.EF=GH=1AC,FG=EH=LBD（三角形的中位线等于第三边的一半），

22

:矩形ABCZ）的对角线AC=B。，

：.EF=GH=FG=EH,

...四边形斯G8是菱形.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出

三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键.

14.（3分）已知点A（xi,3）,B（X2,6）都在反比例函数y=的图象上，则xi<X2

x

（填或“〉”或“=”）

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】根据反比例函数的性质，可得答案.

【解答】解：由题意，得

k=-3,图象位于第二象限，或第四象限,

在每一象限内，y随x的增大而增大，

V3<6,

.*.X1<X2?

故答案为<.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.

15.（3分）如图，在RtZXABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三

角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶

点，已知8C=24c%,则这个展开图可折成的正方体的体积为，2C7，.

【考点】17：展开图折叠成几何体.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为无。"，然后延长正交AC于点根

据三角函数的性质，可求得AC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答

案.

【解答】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为无cm,

延长FE交AC于点

则EF=2xcm,EG=xcm,DF=4xcm,

'JDF//BC,

:.NEFG=NB,

•：tanZEFG=^-=L,

EF2

/.tanB=-^-=—,

BC2

'：BC=24cm,

・・AC=12cm,

.\AD=AC-CD=12-2x(cm)

■:DF〃BC,

AADF^/\ACB,

•DF=AD

,,而而‘

即4x=12-2x；

2412

解得：x=3,

即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm,

这个展开图可折成的正方体的体积为27cs3.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识.此题难度适中，注

意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用.

16.（3分）如图，正方形ABC。的边长为5,点A的坐标为（-4,0）,点8在y轴上，若

反比例函数＞=上（4W0）的图象过点C,则该反比例函数的表达式为y=旦；

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式；

LE：正方形的性质.

【专题】11：计算题；534：反比例函数及其应用.

【分析】过点C作CE”轴于E,根据正方形的性质可得AB=BC,ZABC=90°,再

根据同角的余角相等求出然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全

等，根据全等三角形对应边相等可得。4=BE=4,CE=OB=3,再求出OE,然后写出

点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值.

【解答】解：如图，过点。作CE_Ly轴于瓦在正方形ABC。中，A8=5C,ZABC=90°,

AZABO^ZCBE=90°,

*：ZOAB^ZABO=90°,

：.ZOAB=ZCBEf

•・•点A的坐标为（-4,0）,

AOA=4,

*：AB=5,

•,•<?B=752_42=3,

在△ABO和△BCE中，

'/OAB=/CBE

<NAOB=/BEC，

tAB=BC

AABO^ABCE（AAS）,

：.OA=BE=4,CE=OB=3,

；.OE=BE-08=4-3=1,

.♦.点C的坐标为（3,1）,

:反比例函数y=k1W0）的图象过点C,

X

...%=xy=3X1=3,

・♦•反比例函数的表达式为>=旦.

X

故答案为：y=2.

【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三

角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并

求出点D的坐标是解题的关键.

三、解答题：(17题6分，18题6分，19题7分，20题、21题、22题每题8分，23题9

分，共52分)

17.(6分)用适当的方法解下列方程：

(1)(%-2)2-16=0

(2)5/+2x-1=0.

【考点】A5：解一元二次方程-直接开平方法；A7：解一元二次方程-公式法.

【专题】11：计算题；523：一元二次方程及应用.

【分析】(1)利用直接开平方法求解可得；

(2)利用公式法求解可得.

【解答】解：(1)(x-2)2-16=0,

(x-2)2=16,

.,.x-2=4或尤-2=-4,

解得：xi=-2,%2=6；

(2)"."a—5,b—2,c--1,

.•.△=22-4X5X(-1)=24>0,

则x=-2±2%=-l±泥,

105

即

P»|JAxli—-T--+-%---，AZ--1---5--•

55

【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，

配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

18.(6分)如图，在6X8的网格图中，每个小正方形边长均为1而，点。和△ABC的顶

点均为小正方形的顶点.

(1)以。为位似中心，在网格图中作△&'B'C和△ABC位似，且位似比为1：2；

(2)台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米,

与地面的夹角为45°,同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△A8C相似(树

干对应BC边)，求原树高(结果保留根号)

【考点】SA：相似三角形的应用；SD：作图-位似变换.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】（1）在。4,OB,0c上分别截取。4'OB'=1。3,0C=工。（7,

222

首尾顺次连接A',8,，C'即为所求；

（2）先得出0B=0C=4,BCM",®ZABC=ZDEF^45°,从而由△■DEFSAABC

知理=里，代入求出£尸即可得答案.

ABBC

【解答】解：（1）如图1所示，XNB'C即为所求.

图1图2

（2）；0B=0C=4,

：.NOBC=NDEF=45：42=4加,

•：△DEFs/XABC,

.DE=EF即3=EF

"ABBC'?ITT

:.EF=2®

答：原树IWI为米.

【点评】此题考查了位似三角形的作法和勾股定理等知识，得出位似图形的对应点的坐

标是解题关键.

19.（7分）阅读对话，解答问题:

小丽

我先从小丽的袋子中抽出

一张卡片,再从小兵的袋

子中抽出T卡片.

小冬

(1)分别用人6表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图

法或列表法写出(a,b)的所有取值；

(2)求在Q,6)中使关于x的一元二次方程/-办+26=0有实数根的概率.

【考点】AA：根的判别式；X6：列表法与树状图法.

【专题】21：阅读型.

【分析】(1)用列表法易得(a,b)所有情况；

(2)看使关于x的一元二次方程7-"+2b=0有实数根的情况占总情况的多少即可.

【解答】解：(1)(a,b)对应的表格为：

a123

b

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

4(4,1)(4,2)(4,3)

(2):方程f-ox+2b=0有实数根，

，△=/-8620.

...使。2-鲂\0的(a,b)有(3,1),(4,1),(4,2),

【点评】如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现机种

结果，那么事件A的概率P(A)=皿.注意本题是放回实验；一元二次方程有实数根，

n

根的判别式为非负数.

20.(8分)己知，如图，在矩形ABC。中，对角线AC与8。相交于点。，过点C作3。的

平行线，过点。作AC的平行线，两线交于点尸.

①求证：四边形CODP是菱形.

②若AO=6,AC=10,求四边形COD尸的面积.

【考点】LA：菱形的判定与性质；LB：矩形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】①根据Z)P〃AC,CP//BD,即可证出四边形C。。尸是平行四边形，由矩形的

性质得出OC=。。，即可得出结论；

②根据勾股定理可求0=8,由SACOQ=LAADC=L><LXADXCQ=12=4菱形CODP,

2222

可求四边形CODP的面积.

【解答】证明：@'：DP//AC,CP//BD

四边形CODP是平行四边形，

:四边形ABC。是矩形，

：.BD=AC,OD=LBD,OC=LC,

22

：.OD=OC,

四边形COOP是菱形.

②：4。=6,AC=10

•'-DC=VAC2-AD2=8

"：AO=CO

：.SACOD=15AADC=LxL\ADXCD=n

222

..•四边形C。。尸是菱形,

=

••S/^COD1菱形CODP=12，

2

=

••S菱形CODP24

【点评】本题主要考查矩形性质和菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性

质得出是解决问题的关键.

21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线/i：y=-L与反比例函数丁=工的图象交于

2x

A,B两点（点A在点5左侧），已知A点的纵坐标是2；

（1）求反比例函数的表达式；

（2）根据图象直接写出-的解集；

2x

（3）将直线/1：y=工沿y向上平移后的直线/2与反比例函数y=K在第二象限内交

2x

于点C,如果AABC的面积为30,求平移后的直线/2的函数表达式.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】（1）直线/1经过点4且A点的纵坐标是2,可得A（-4,2）,代入反比例函

数解析式可得k的值；

（2）依据直线/1：y=与反比例函数y=K的图象交于A,B两点,即可得到不等

2x

式-的解集为x<-4或0cx<4；

2x

（3）设平移后的直线/2与x轴交于点连接AD,BD,依据a）〃A2,即可得出△ABC

的面积与△A3。的面积相等，求得。（15,0）,即可得出平移后的直线/2的函数表达式.

【解答】解：（1）:直线dy=-g经过点A,A点的纵坐标是2,

...当y=2时，x=-4,

.*.A(-4,2),

反比例函数y=上的图象经过点A,

x

:.k=-4X2=-8,

・♦•反比例函数的表达式为＞=-反；

x

(2),直线A：y=-L与反比例函数＞=上＞的图象交于A,8两点,

2x

：.B(4,-2),

/.不等式-的解集为彳＜-4或0＜x＜4；

2x

(3)如图，设平移后的直线/2与无轴交于点。，连接AO,BD,

'JCD//AB,

.;△ABC的面积与△48。的面积相等，

「△ABC的面积为30,

SAAOD+SABOD—30,即［O£)(|yA|+|ys|)=30,

2''

ODX4=30,

2

A0£＞=15,

：.D(15,0),

设平移后的直线/2的函数表达式为＞=-h+b,

2

把。(15,0)代入，可得0=-Lx15+6,

2

解得

2

二平移后的直线/2的函数表达式为＞=-/+学

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，

函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积.解决问题的关

键是依据△ABC的面积与△A3。的面积相等，得到。点的坐标为(15,0).

22.(8分)学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他

看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品

的件数.

购买件数销售价格

不超过30件单价40元

超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30

元

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出

等式求出答案.

【解答】解：V30X40=1200<1400,

奖品数超过了30件，

设总数为x件，则每件商品的价格为：［40-(x-30)X0.5］元，根据题意可得：

尤［40-(%-30)X0.5］=1400,

解得：xi=40,尤2=70,

：x=70时，40-(70-30)X0.5=20<30,

/.x=70不合题意舍去，

答：王老师购买该奖品的件数为40件.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是

解题关键.

23.(9分)已知：如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,点尸从点8

出发，沿2C向点C匀速运动，速度为/a〃/s；同时，点。从点A出发，沿向点2匀

速运动，速度为2aMs；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接尸。，设运动时

间为f(s)(0<?<2.5),解答下列问题：

(1)(T)BO=5-2/,BP=t；(用含f的代数式表示)

②设△P8。的面积为y(ex??2),试确定y与/的函数关系式；

(2)在运动过程中，是否存在某一时刻,,使APB。的面积为△ABC面积的二分之一？

如果存在，求出/的值；不存在，请说明理由；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△BP。为等腰三角形？如果存在，求出t

的值；不存在，请说明

理由.

【考点】KY：三角形综合题.

【专题】15：综合题.

【分析】（1）①先利用勾股定理求出AB，即可得出结论；

②先作出高，进而得出表示出DQ,最后用三角形的面积公式即可得

出结论；

（2）先求出△A8C的面积，再利用△PB。的面积为△ABC面积的二分之一，建立方程,

进而判断出此方程无解，即可得出结论；

（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得出比例式建立方程求解

即可得出结论.

【解答】解：（1）①在RtaABC中，AC^cm,BC=4cm,

根据勾股定理得，AB^5cm,

由运动知，BP—t,AQ—2t,

：.BQ=AB-AQ=5-2t,

故答案为：5-2t,t；

②如图1,过点。作。于。，

：.ZBDQ=ZC=9Q°,

•:/B=NB,

:.△BDQS^BCA,

•DQBQ

,•而学，

••--D-Q--5--2-t-

35

：.DQ=1.（5-2力

.\y=S^PBQ=-BP9DQ=—XtX^-(5-2力=--^/+—r；

22552

(2)不存在，理由：VAC=3,BC=4,

SAABC=—X3X4=6,

2

由(1)知，S/\PBQ=~

52

•:XPBQ的面积为AABC面积的二分之一，

-当+3=3,

52

：.2?-5什10=0,

VA=25-4X2X10<0,

，此方程无解，

即：不存在某一时刻3使△PB。的面积为AABC面积的二分之一;

(3)由(1)知，AQ=2t,BQ=5-2t,BP=t,

■:丛BPQ是等腰三角形，

，①当8P=8Q时，

・•/=5-2/,

3

②当8P=尸。时，如图2过点P作尸E_LA8于E,

：.BE=LBQ=L(5-2力，

22

■:NBEP=9S=NC,/B=NB,

：./\BEP^/\BCA,

•BEBP

,•而学，

-y(5-2t)

•,Z•------------L,

45

•t=25

18

③当20=尸0时，如图3,过点。作QBLBC于尸，

22

VZBFQ^90°=NC,/B=/B,

：.△BFQs^BCA,

-BF_BQ

"BC^AB，

L

•丁二j5-2t

,,4=5'

•••=I40,

21

即：r为空秒或反秒或9秒时，ZiBP。为等腰三角形.

18321-

图3

图2

图1

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形

的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本